6.4.1平面幾何中的向量方法（教案）- 高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

1、第六章 平面向量及其應用6.4 平面向量的應用6.4.1平面幾何中的向量方法教學設計教學目標1. 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，達到直觀想象核心素養(yǎng)水平一的要求.2. 掌握利用向量方法研究物理中相關(guān)問題的步驟，達到邏輯推理核心素養(yǎng)水平一的要求.二、教學重難點1.教學重點向量在平面幾何及物理學中的實際應用.2.教學難點如何將幾何問題，物理中的實際問題化歸為向量問題.三、教學過程（一）復習導入教師：大家想一想，平面向量可以解決哪些常見的平面幾何問題?學生：思考討論并給予回答.教師:總結(jié)：（1）解決有關(guān)夾角，長度等的計算或度量問題.（2）解決直線平行，垂直，三點共線等位置關(guān)系問題.（二）探

2、索新知探究一：平面向量解決幾何問題教師：平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，如圖，你能觀察發(fā)現(xiàn)和猜想出平行四邊形ABCD的對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎?學生：思考討論并回答.教師總結(jié)解題方法：解：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題：如圖，取 QUOTE 為基底，設 QUOTE AB=a，AD=b AB=a，AD=b，則 QUOTE AC=a+b AC=a+b， QUOTE DB=a-b DB=a-b. 第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系： QUOTE AC2=(a+b)2=a2+2a?b+b

3、2 AC2=(a+b)2=a2+2a?b+b2， QUOTE DB2=(a-b)2=a2-2a?b+b2 DB2=(a-b)2=a2-2a?b+b2.上面兩式相加，得 QUOTE AC2+DB2=2(a2+b2) AC2+DB2=2(a2+b2).第三步，把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系： QUOTE AC2+BD2=2(AB2+AD2) AC2+BD2=2(AB2+AD2). 學生：認真聽講，做筆記.教師：用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等

4、問題；（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.應用示例：如圖，DE是ABC的中位線，用向量方法證明： QUOTE ， QUOTE 證明：如圖，因為DE是ABC的中位線，所以 QUOTE AD=12AB AD=12AB， QUOTE AE=12AC AE=12AC.從而 QUOTE DE=AE-AD=12AC-12AB=12AC-AB. DE=AE-AD=12AC-12AB=12AC-AB.又 QUOTE BC=AC-AB BC=AC-AB，所以 QUOTE DE=12BC DE=12BC.于是 QUOTE ， QUOTE （三）課堂練習1.在四邊形中,則四邊形是( )A.梯形B.平行四邊形C.矩形D.正方形答案：A解析：在四邊形中,.又,.四邊形是梯形.故選A.2.在中，則 （ ） ABCD2答案：B解析：如圖，設，又，.故選：B.3. 已知等邊的邊長為2,且,則的最大值為( )A. B. C. D.2答案：B解析：已知等邊的邊長為2,以線段的中點為原點,線段所在的直線為軸建立平面直角坐標系,則由得,且.則,最大值為.（四）小結(jié)作業(yè)小結(jié)：用向量方法解決