矩陣概念及運算課件

1、第二節(jié) 矩陣的概念及運算一 矩陣的概念例1 某公司生產(chǎn)四種產(chǎn)品A,B,C,D,第一季度的銷量分別如下表所示： 產(chǎn)品 銷量 月份 A B C D 一月 300 250 220 180 二月 320 230 200 200 三月 310 280 210 220 為了研究方便，在數(shù)學中常把表中的說明去掉，將上表簡化為如下的矩形數(shù)表：此表在數(shù)學上稱為矩陣。定義 由 個數(shù)，排成的m行n列的數(shù)表叫做m行n列矩陣（或 矩陣）；其中 叫做矩陣的元素； 分別叫做 的行標和列標。通常用大寫字母 或 表示矩 陣，也可記作 或n階方陣（m=n時）： 行矩陣（m=1時）：列矩陣（n=1時）：零矩陣： 或主對角線（方陣中

2、元素所在的對角線）對角方陣（除主對角線外，其余元素均為0的方陣）： 如 為對角方陣上三角陣例如 為上三角陣轉(zhuǎn)置矩陣：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列，得到的新矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作例如， ，則矩陣的相等：（即：矩陣的相等恰意味著元素對應相等）二 矩陣的加法與減法設(shè) 規(guī)定（即：矩陣的加減意味著元素對應相加減）如： 則 注意：兩個矩陣只有當它們的行數(shù)、列數(shù)分別相同時，才可進行加減。矩陣加法滿足以下規(guī)律：（1）交換律：A+B=B+A（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)（其中A,B,C都是 矩陣）例3 已知求四 矩陣與矩陣相乘先看一個例子：某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，第一季度的銷售額如表（1）所示（單位

3、：千元），表（2）為產(chǎn)品質(zhì)量全為一等品或全為二等品時的利潤表。 產(chǎn)品 A B 等級 一等品 二等品月份 產(chǎn)品 一月 5 7 A 20% 10% 二月 6 10 B 30% 15% 三月 8 12 表（1） 表（2）因此，該廠產(chǎn)品若全為一等品或全為二等品時利潤如下所示。 等級 一等品 二等品 月份 一月 二月 三月上述三個數(shù)表，用矩陣表示為可記C=AB 。其中而 （即A的第i行與B的第k列對應相乘再相加）在矩陣的乘法中，單位陣I所起的作用與普通代數(shù)中數(shù)1的作用類似，即AI=IA=A注意：當A,B均 時，可以有AB=0 。例如：則 但AB=0（因此，通常的約分律在此不能濫用）五 逆矩陣概念定義 對

4、于n階方陣A，若存在n階方陣C，使得AC=CA=I（I為單位陣），則稱C為A的逆矩陣（簡稱逆陣），記作 即 。從而這時方陣A稱為可逆的（非奇異的），否則，A叫做不可逆的（奇異的）。例如，則AC=CA=I。故 。逆矩陣有以下性質(zhì)：（1）若A可逆，則 是唯一的。（2）若A可逆，則 。（3）若A, B均為n階方陣，且A, B均可逆，則 。以下為補充知識：1 矩陣概念的其它背景：（1）線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣（2）線性變換的系數(shù)矩陣2 矩陣加法的一種實際背景：某種物資（單位：噸）從m個產(chǎn)地運往n個銷地，兩次調(diào)運方案分別用矩陣表示。則求各產(chǎn)地到各銷地的兩次物資調(diào)運量就是作矩陣A和B的加法：3 “數(shù)

5、乘矩陣”的一種實際背景：如果一個系統(tǒng)A的輸出信號 太小，需外接一個放大器，其放大倍數(shù)為k，即輸出信號 都放大到k倍，則實際上相當于數(shù)k與矩陣 作了乘積5 利用矩陣的乘法，也可以把n個輸入m個輸出的線性系統(tǒng)簡寫成矩陣形式Y(jié)=AX, 其中即6 在線性控制系統(tǒng)中，往往要把一個線性系統(tǒng)A的輸出送到另一個線性系統(tǒng)B中作為輸入。于是，將A, B兩個系統(tǒng)串聯(lián)起來的系統(tǒng)等效于線性系統(tǒng)C=BA事實上，設(shè)Y=AX，Z=BY， 則Z=B(AX)=(BA)X，即 Z=(BA)X因此，A,B的串聯(lián)系統(tǒng)確實等效于C=BA系統(tǒng)。ABXYZ7 對于n個未知數(shù)、n個方程的線性方程組AX=B（矩陣形式），若系數(shù)矩陣A可逆，則必有 （事實上，由AX=B有： ，即 ，