直線與方程知識(shí)點(diǎn)歸納

1、第三章 直線與方程3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí), 取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), 規(guī)定= 0.2、 傾斜角的取值范圍：0180. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), = 90.3、直線的斜率:一條直線的傾斜角(90)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫(xiě)字母k表示,也就是 k = tan當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), =0, k = tan0=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), = 90, k 不存在.由此可知, 一條直線l的傾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.4、 直線的斜

2、率公式:給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即（充要條件）注意: 上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立即如果k1=k2, 那么一定有l(wèi)1l22、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即（充要條件）3.2.1 直線的點(diǎn)斜式方程1、 直線的點(diǎn)斜式

3、方程：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為 2、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為 3.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程1、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)其中 y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)為B，其中3.2.3 直線的一般式方程1、直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）2、各種直線方程之間的互化。3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)L1 ：3x+4y-2=0 L2：2x+y +2=0 解：解方程組 得 x=-2，y=2所以L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，2）兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間的距

4、離公式點(diǎn)到直線的距離公式1點(diǎn)到直線距離公式：點(diǎn)到直線的距離為：2、兩平行線間的距離公式：已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，則與的距離為基礎(chǔ)練習(xí)一 選擇題1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,2)，傾斜角為60的直線方程是()Ay2eq r(3)(x3) By2eq f(r(3),3)(x3)Cy2eq r(3)(x3) Dy2eq f(r(3),3)(x3)答案：C2如下圖所示，方程yaxeq f(1,a)表示的直線可能是()答案：B3已知直線l1：ykxb，l2：ybxk，則它們的圖象可能為()答案：C4經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角是直線yeq f(r(2),2)x1傾斜角2倍的直線是()Ax0 By0Cyeq r(2)

5、x Dy2eq r(2)x答案：D5欲使直線(m2)xy30與直線(3m2)xy10平行，則實(shí)數(shù)m的值是()A1 B2C3 D不存在解析：把直線化為斜截式，得出斜率，通過(guò)直線平行的條件計(jì)算答案：B6直線yk(x2)3必過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)為()A(3,2) B(2,3)C(2，3) D (2,3)解析：直線方程改寫(xiě)為y3k(x2)，則過(guò)定點(diǎn)(2,3)答案：B7若直線(m2)x(m22m3)y2m在x軸上的截距是3，則m的值是()A.eq f(2,5) B6 C eq f(2,5) D6解析：令y0，得(m2)x2m，將x3代入得m6，故選D.答案：D8過(guò)P1(2,0)，P2(0,3)兩點(diǎn)的直線方程是

6、()A.eq f(x,3)eq f(y,2)1 B.eq f(x,2)eq f(y,3)1C.eq f(x,3)eq f(y,2)1 D.eq f(x,2)eq f(y,3)1答案：B9直線eq f(x,a2)eq f(y,b2)1在y軸上的截距為()A|b| Bb Cb2 Db2答案：D10下列四個(gè)命題中是真命題的是()A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可以用方程yy0k(xx0)表示B經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示C不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程eq f(x,a)eq f(y,b)1表示D經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

7、A(0，b)的直線都可以用方程ykxb表示答案：B11直線axby1(a， b0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是()A.eq f(1,2)ab B. eq f(1,2)|ab| C.eq f(1,2ab) D.eq f(1,2|ab|)解析：直線axby1可化為eq f(x,f(1,a)eq f(y,f(1,b)1，故其圍成的三角形的面積為Seq f(1,2) eq f(1,|a|) eq f(1,|b|)eq f(1,2|ab|).答案：D12過(guò)點(diǎn)(1,3)且垂直于直線x2y30的直線方程為()A2xy10 B2xy50Cx2y50 Dx2y70答案：A13直線l1：xay60與l2：(a2

8、)x3y2a0平行，則a的值等于()A1或3 B1或3 C3 D1解析：由題意，兩直線斜率存在，由l1l2知eq f(1,a2)eq f(a,3)eq f(6,2a)，a1答案：D14直線3x2y40的截距式方程是()A.eq f(3x,4)eq f(y,4)1 B.eq f(x,f(1,3)eq f(y,f(1,2)4C.eq f(3x,4)eq f(y,2)1 D.eq f(x,f(4,3)eq f(y,2)1答案：D15已知點(diǎn)A(1,2)，B(3,1)，則線段AB的垂直平分線的方程是()A4x2y5 B4x2y5Cx2y5 Dx2y5解析：kABeq f(12,31)eq f(1,2)，

9、由kkAB1得k2.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得xeq f(13,2)2，yeq f(21,2)eq f(3,2)，中點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2).由點(diǎn)斜式方程得yeq f(3,2)2(x2)，即4x2y5.答案：B16直線(a2)x(1a)y30與(a1)x(2a3)y20互相垂直，則a()A1 B1 C1 Deq f(3,2)解析：由(a2)(a1)(1a)(2a3)0化簡(jiǎn)得1a20，a1.答案：C17直線l的方程為AxByC0，若直線l過(guò)原點(diǎn)和二、四象限，則()AC0，B0 BA0，B0，C0CAB0，C0答案：D18直線的截距式方程eq f(x,a)eq f(

10、y,b)1化為斜截式方程為y2xb，化為一般式方程為bxay80.求a，b的值（ ）解析：由eq f(x,a)eq f(y,b)1，化得yeq f(b,a)xb2xb，又可化得：bxayabbxay80，則eq f(b,a)2，且ab8.解得a2，b4或a2，b4.19直線x2y20與直線2xy30的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A(4,1) B(1,4)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(4,3)答案：C20已知兩直線a1xb1y10和a2xb2y10的交點(diǎn)是P(2,3)，則過(guò)兩點(diǎn)Q1(a1，b1)，Q2(

11、a2，b2)的直線方程是()A3x2y0 B2x3y50C2x3y10 D3x2y10答案：C21兩直線3axy20和(2a1)x5ay10分別過(guò)定點(diǎn)A，B，則|AB|等于()A.eq f(r(89),5) B.eq f(17,5) C.eq f(13,5) D.eq f(11,5)解析：易知A(0，2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(1，f(2,5)，|AB|eq f(13,5).答案：C22設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P(2，1)，則|AB|等于()A5 B4eq r(2) C2eq r(5) D2eq r(10)解析：設(shè)A(x,0)，B(0，y)，由中點(diǎn)公式得

12、x4，y2，則由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|eq r(042202)eq r(20)2eq r(5).答案：C23已知M(1,0)，N(1,0)，點(diǎn)P在直線2xy10上移動(dòng)，則|PM|2|PN|2的最小值為_(kāi)答案：2.424已知點(diǎn)(3，m)到直線xeq r(3)y40的距離等于1，則m等于()A.eq r(3) Beq r(3) Ceq f(r(3),3) D.eq r(3)或eq f(r(3),3)解析：eq f(|3r(3)m4|,2)1，解得meq r(3)或eq f(r(3),3).答案：D25兩平行線ykxb1與ykxb2之間的距離是()Ab1b2 B.eq f(|b1b2|,r(1k

13、2)C|b1b2| Db2b1解析：兩直線方程可化為kxyb10，kxyb20.deq f(|b1b2|,r(1k2).答案：B26過(guò)點(diǎn)(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50解析：所求為過(guò)A(1,2)，且垂直O(jiān)A的直線，keq f(1,2)，y2eq f(1,2)(x1)，即x2y50.答案：A27點(diǎn)P(mn，m)到直線eq f(x,m)eq f(y,n)1的距離等于()A.eq r(m2n2) B.eq r(m2n2)C.eq r(n2m2) D.eq r(m2n2)解析：直線方程可化為nxmymn0，故deq f(|mnnm2mn|,

14、r(m2n2)eq f(|mnn2m2mn|,r(m2n2)eq r(m2n2).答案：A28已知直線3x2y30和6xmy10互相平行，則它們之間的距離是()A4 B.eq f(2r(13),13) C.eq f(5,26)eq r(13) D.eq f(7,26)eq r(13)解析：由題意m4，則deq f(|61|,r(3616)eq f(7,r(52)eq f(7,2r(13)eq f(7r(13),26).答案：D29垂直于直線xeq r(3)y10且到原點(diǎn)的距離等于5的直線方程是_解析：由題意，可設(shè)所求直線方程為eq r(3)xyc0，則eq f(|c|,2)5.|c|10，即c

15、10.答案：eq r(3)xy100或eq r(3)xy10030點(diǎn)P(x，y)在直線xy40上，則x2y2的最小值是()A8 B2eq r(2) C.eq r(2) D16答案：A31到直線3x4y10的距離為2的直線方程為()A3x4y110B3x4x90C3x4y110或3x4y90D3x4y110或3x4y90答案：C強(qiáng)化練習(xí)一 選擇題1直線y2x3的斜率和在y軸上的截距分別是()A2,3 B3，2C2，2 D3,3答案A2過(guò)點(diǎn)(1,3)且斜率不存在的直線方程為()Ax1 Bx3Cy1 Dy3答案A3方程yy0k(xx0)()A可以表示任何直線B不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線C不能表示與y軸垂直

16、的直線D不能表示與x軸垂直的直線答案D解析直線的點(diǎn)斜式方程不能表示沒(méi)有斜率的直線，即不能表示與x軸垂直的直線4已知兩條直線yax2和y(2a)x1互相平行，則a等于()A2 B1C0 D1答案B解析根據(jù)兩條直線的方程可以看出它們的斜率分別是k1a，k22a.兩直線平行，則有k1k2.所以a2a，解得a1.5方程yaxeq f(1,a)表示的直線可能是()答案B解析直線yaxeq f(1,a)的斜率是a，在y軸上的截距是eq f(1,a).當(dāng)a0時(shí)，斜率a0，在y軸上的截距是eq f(1,a)0，則直線yaxeq f(1,a)過(guò)第一、二、三象限，四個(gè)選項(xiàng)都不符合；當(dāng)a0時(shí)，斜率a0，在y軸上的截

17、距是eq f(1,a)0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0，b0，b0，判知l2的圖像符合，在C選項(xiàng)中，由l1知a0，b0，排除C；在D選項(xiàng)中，由l1知a0，b0，排除D.所以應(yīng)選B.24直線l的方程為AxByC0，若l過(guò)原點(diǎn)和二、四象限，則()A.eq blcrc (avs4alco1(C0,B0) B.eq blcrc (avs4alco1(C0,B0,A0)C.eq blcrc (avs4alco1(C0,AB0) D.eq blcrc (avs4alco1(C0,AB0)答案D解析l過(guò)原點(diǎn)，C0，又l過(guò)二、四象限，l的斜率eq f(A,B)0.25直線eq r(3)xy0與xy0

18、的位置關(guān)系是()A相交 B平行C重合 D垂直答案A解析A1B2A2B1eq r(3)11(1)eq r(3)10，又A1A2B1B2eq r(3)1(1)1eq r(3)10，則這兩條直線相交，但不垂直26直線2x3y80和直線xy10的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A(2，1) B(1，2)C(1,2) D(2,1)答案B解析解方程組eq blcrc (avs4alco1(2x3y80，,xy10，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y2，)即交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，2)27直線ax3y50經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，則a的值等于()A2 B1C0 D1答案B解析由題意得2a350，解得a1.28若三條直線2

19、x3y80，xy1，和xky0相交于一點(diǎn)，則k的值等于()A2 Beq f(1,2)C2 D.eq f(1,2)答案B解析由eq blcrc (avs4alco1(xy1,2x3y80)得交點(diǎn)(1，2)，代入xky0得keq f(1,2)，故選B.29直線kxy13k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn)()A(0,0) B(0,1)C(3,1) D(2,1)答案C解析方程可化為y1k(x3)，即直線都通過(guò)定點(diǎn)(3,1)30已知點(diǎn)M(0，1)，點(diǎn)N在直線xy10上，若直線MN垂直于直線x2y30，則N點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(2，3) B(2,1)C(2,3) D(2，1)答案C解析將A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)

20、代入xy10否定A、B，又MN與x2y30垂直，否定D，故選C.31過(guò)兩直線3xy10與x2y70的交點(diǎn)，并且與第一條直線垂直的直線方程是()Ax3y70 Bx3y130C2xy70 D3xy50答案B解析由eq blcrc (avs4alco1(3xy10，,x2y70，)得交點(diǎn)(1,4)所求直線與3xy10垂直，所求直線斜率keq f(1,3)，y4eq f(1,3)(x1)，即x3y130.32已知直線mx4y20與2x5yn0互相垂直，垂足為(1，p)，則mnp為()A24 B20C0 D4答案B解析兩直線互相垂直，k1k21，eq f(m,4)eq f(2,5)1，m10.又垂足為(

21、1，p)，代入直線10 x4y20得p2，將(1，2)代入直線2x5yn0得n12，mnp20.33已知點(diǎn)A(a,0)，B(b,0)，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()Aab BbaC.eq r(a2b2) D|ab|答案D解析代入兩點(diǎn)間距離公式34一條平行于x軸的線段長(zhǎng)是5個(gè)單位，它的一個(gè)端點(diǎn)是A(2,1)，則它的另一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A(3,1)或(7,1) B(2，3)或(2,7)C(3,1)或(5,1) D(2，3)或(2,5)答案A解析ABx軸，設(shè)B(a,1)，又|AB|5，a3或7.35已知A(5,2a1)，B(a1，a4)，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是()Aeq f(7,2) B

22、eq f(1,2)C.eq f(1,2) D.eq f(7,2)答案C解析|AB|eq r(a4)2(a3)2)eq r(2a22a25)eq r(2(af(1,2)2f(49,2)，當(dāng)aeq f(1,2)時(shí)，|AB|取最小值36設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P(2，1)，則|AB|等于()A5 B4eq r(2)C2eq r(5) D2eq r(10)答案C解析設(shè)A(x,0)、B(0，y)，由中點(diǎn)公式得x4，y2，則由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|eq r(04)2(20)2)eq r(20)2eq r(5).37ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，4)、B(2,2)、C(4，2)，則

23、三角形AB邊上的中線長(zhǎng)為()A.eq r(26) B.eq r(65)C.eq r(29) D.eq r(13)答案A解析AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(1，1)|CD|eq r(14)2(1(2)2)eq r(26)；故選A.38已知三點(diǎn)A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，則ABC的形狀是()A直角三角形 B等邊三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析|AB|eq r(30)2(25)2)3eq r(2)，|BC|eq r(04)2(56)2)eq r(17)，|AC|eq r(34)2(26)2)eq r(17)，|AC|BC|AB|，且|AB|2|AC|2|BC|2.ABC是等腰三角

24、形，不是直角三角形，也不是等邊三角形39兩直線3axy20和(2a1)x5ay10分別過(guò)定點(diǎn)A、B，則|AB|等于()A.eq f(r(89),5) B.eq f(17,5)C.eq f(13,5) D.eq f(11,5)答案C解析易得A(0，2)，B(1，eq f(2,5)40在直線2x3y50上求點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A(2,3)距離為eq r(13)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是()A(5,5) B(1,1)C(5,5)或(1,1) D(5,5)或(1，1)答案C解析設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則yeq f(2x5,3)，由|PA|eq r(13)得(x2)2(eq f(2x5,3)3)213，即(x2)29，解得x1

25、或x5，當(dāng)x1時(shí)，y1，當(dāng)x5時(shí)，y5，P(1,1)或(5,5)41點(diǎn)(0,5)到直線y2x的距離是()A.eq f(5,2) B.eq r(5)C.eq f(3,2) D.eq f(r(5),2)答案B解析由y2x得：2xy0，由點(diǎn)到直線的距離公式得：deq f(5,r(5)eq r(5)，故選B.42已知直線3x2y30和6xmy10互相平行，則它們之間的距離是()A4 B.eq f(2r(13),13)C.eq f(5r(13),26) D.eq f(7r(13),26)答案D解析兩直線平行，eq f(6,3)eq f(m,2)，m4，兩平行直線6x4y60和6x4y10的距離deq f

26、(|16|,r(6242)eq f(7r(13),26).43已知點(diǎn)A(3,4)，B(6，m)到直線3x4y70的距離相等，則實(shí)數(shù)m等于()A.eq f(7,4) Beq f(29,4)C1 D.eq f(7,4)或eq f(29,4)答案D解析由題意得eq f(|9167|,5)eq f(|184m7|,5)，解得meq f(7,4)或meq f(29,4).44點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線3x4y60的距離為6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(8,0) B(12,0)C(8,0)或(12,0) D(0,0)答案C解析設(shè)P(a,0)，則eq f(|3a6|,r(3242)6，解得a8或a12，點(diǎn)P的坐

27、標(biāo)為(8,0)或(12,0)45過(guò)點(diǎn)(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50答案A解析由已知得，所求直線過(guò)(1,2)且垂直于(0,0)與(1,2)兩點(diǎn)的連線，所求直線的斜率keq f(1,2)，y2eq f(1,2)(x1)，即x2y50.46已知直線l過(guò)點(diǎn)(3,4)且與點(diǎn)A(2,2)，B(4，2)等距離，則直線l的方程為()A2x3y180B2xy20C3x2y180或x2y20D2x3y180或2xy20答案D解析設(shè)所求直線方程為y4k(x3)，即kxy43k0.由已知有eq f(|2k243k|,r(k21)eq f(|4k243k|

28、,r(k21)，所以k2或keq f(2,3)，所以直線方程為2xy20或2x3y180.47P，Q分別為3x4y120與6x8y60上任一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A.eq f(9,5) B.eq f(18,5)C3 D6答案C解析|PQ|的最小值是這兩條平行線間的距離在直線3x4y120上取點(diǎn)(4,0)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式得|PQ|的最小值為3.48點(diǎn)P(x，y)在直線xy40上，則x2y2的最小值是()A8 B2eq r(2)C.eq r(2) D16答案A解析x2y2表示直線上的點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)距離的平方，原點(diǎn)到直線xy40的距離為eq f(|4|,r(2)2eq r(2

29、)，x2y2最小值為8.故選A.二 填空題1過(guò)點(diǎn)(1,3)，且斜率為2的直線的斜截式方程為_(kāi)答案y2x1解析點(diǎn)斜式為y32(x1)，化為斜截式為y2x1.2已知直線l1過(guò)點(diǎn)P(2,1)且與直線l2：yx1垂直，則l1的點(diǎn)斜式方程為_(kāi)答案y1(x2)解析設(shè)l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，l1l2，k1k21.又k21，k11.l1的點(diǎn)斜式方程為y1(x2)3已知點(diǎn)(1，4)和(1,0)是直線ykxb上的兩點(diǎn)，則k_，b_.答案22解析由題意，得eq blcrc (avs4alco1(4kb，,0kb，)解得k2，b2.4ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC為直角三角

30、形，則直線BC的方程為_(kāi)答案8xy90或2xy10或yx或3xy40解析若A為直角，則ACAB，kACkAB1，即eq f(m1,25)eq f(11,15)1，得m7；此時(shí)BC：8xy90.若B為直角，則ABBC，kABkBC1，即eq f(1,2)eq f(m1,21)1，得m3；此時(shí)直線BC方程為2xy10.若C為直角，則ACBC，kACkBC1，即eq f(m1,3)eq f(m1,21)1，得m2.此時(shí)直線BC方程為yx或3xy40.5直線eq f(x,4)eq f(y,5)1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為_(kāi)答案1解析直線eq f(x,4)eq f(y,5)1在x軸上截距為4，在y軸上截距

31、為5，因此在兩坐標(biāo)軸上截距之和為1.6過(guò)點(diǎn)(0,1)和(2,4)的直線的兩點(diǎn)式方程是_答案eq f(y1,41)eq f(x0,20)(或eq f(y4,14)eq f(x2,02)7過(guò)點(diǎn)(0,3)，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于5的直線方程是_答案3x2y60解析設(shè)直線方程為eq f(x,a)eq f(y,b)1，則eq blcrc (avs4alco1(b3，,ab5，)解得a2，b3，則直線方程為eq f(x,2)eq f(y,3)1，即3x2y60.8直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)，分別與x，y軸交于A，B兩點(diǎn)，若P為線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)答案2xy40解析設(shè)A(x,0)，B(0，y)

32、由P(1,2)為AB的中點(diǎn)，eq blcrc (avs4alco1(f(x0,2)1，,f(0y,2)2，)eq blcrc (avs4alco1(x2，,y4)由截距式得l的方程為eq f(x,2)eq f(y,4)1，即2xy40.9經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,7)，且傾斜角為45的直線的一般式方程為_(kāi)答案xy110解析直線的斜率ktan451，則直線的方程可寫(xiě)為y7x4，即xy110.10如下圖所示，直線l的一般式方程為_(kāi)答案2xy20解析由圖知，直線l在x軸，y軸上的截距分別為1，2，則直線l的截距式方程為eq f(x,1)eq f(y,2)1，即2xy20.11若直線(a2)x(a22a3)y2a

33、0在x軸上的截距為3，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案6解析把x3，y0代入方程(a2)x(a22a3)y2a0中得3(a2)2a0，a6.12已知直線的斜率為eq f(1,6)，且和坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，該直線的方程為_(kāi)答案x6y60或x6y60解析設(shè)直線的方程為eq f(x,a)eq f(y,b)1，直線的斜率keq f(1,6)，eq f(b,a)eq f(1,6)，又eq f(1,2)|ab|3，eq blcrc (avs4alco1(a6，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a6，,b1.)所求直線方程為：x6y60或x6y60.13過(guò)原點(diǎn)和直線l1：x3y40與l2：2xy

34、50的交點(diǎn)的直線的方程為_(kāi)答案3x19y0解析由eq blcrc (avs4alco1(x3y40，,2xy50，)得交點(diǎn)坐標(biāo)(eq f(19,7)，eq f(3,7)，所求方程為yeq f(3,19)x，即3x19y0.14在ABC中，高線AD與BE的方程分別是x5y30和xy10，AB邊所在直線的方程是x3y10，則ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A_；B_；C_.答案(2,1)(1,0)(2,5)解析高線AD與邊AB的交點(diǎn)即為頂點(diǎn)A，高線BE與邊AB的交點(diǎn)即為頂點(diǎn)B，頂點(diǎn)C通過(guò)垂直關(guān)系進(jìn)行求解15兩條直線xmy120,2x3ym0的交點(diǎn)在y軸上，則m的值是_答案6解析設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，b)，則有e

35、q blcrc (avs4alco1(mb120，,3bm0，)解得m6.16已知直線l1：a1xb1y1和直線l2：a2xb2y1相交于點(diǎn)P(2,3)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直線方程是_答案2x3y1解析由題意得P(2,3)在直線l1和l2上，所以有eq blcrc (avs4alco1(2a13b11，,2a23b21，)則點(diǎn)P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的坐標(biāo)是方程2x3y1的解，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1(a1，b1)和P2(a2，b2)的直線方程是2x3y1.17已知點(diǎn)M(m，1)，N(5，m)，且|MN|2eq r(5)，則實(shí)數(shù)m_.答案1或3解析由題意得eq

36、 r(m5)2(1m)2)2eq r(5)，解得m1或m3.18已知A(1，1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|BC|，則a_.答案eq f(1,2)解析eq r(a1)2(31)2)eq r(4a)2(53)2)，解得aeq f(1,2).19已知點(diǎn)A(4,12)，在x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離等于13，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)答案(9,0)或(1,0)解析設(shè)P(a,0)，則eq r(a4)2122)13，解得a9或a1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(9,0)或(1,0)20已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(7,8)、B(10,4)、C(2，4)，則BC邊上的中線AM的長(zhǎng)為_(kāi)答案eq r(65)21已知點(diǎn)A(0,4)，

37、B(2,5)，C(2,1)，則BC邊上的高等于_答案eq f(r(2),2)解析直線BC：xy30，則點(diǎn)A到直線BC的距離deq f(|043|,r(2)eq f(r(2),2)，即BC邊上的高等于eq f(r(2),2).22過(guò)點(diǎn)A(3,1)的所有直線中，與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線方程是_答案3xy100解析當(dāng)原點(diǎn)與點(diǎn)A的連線與過(guò)點(diǎn)A的直線垂直時(shí)，距離最大kOAeq f(1,3)，所求直線的方程為y13(x3)，即3xy100.23直線l1：2x4y10與直線l2：2x4y30平行，點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任一點(diǎn)，P到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，則d1d2的最小值是_答案eq f(r(5)

38、,5)解析l1與l2的距離deq f(|31|,r(416)eq f(r(5),5)，則d1d2deq f(r(5),5)，即d1d2的最小值是eq f(r(5),5).24兩條平行線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)和(0,5)，且兩條直線的距離為5，它們的方程是_答案y5和y0或者5x12y600和5x12y50.解析設(shè)l1：ykx5，l2：xmy1，在l1上取點(diǎn)A(0,5)由題意A到l2距離為5，eq f(|05m1|,r(1m2)5，解得meq f(12,5)，l2：5x12y50.在l2上取點(diǎn)B(1,0)則B到l1的距離為5，eq f(|k05|,r(1k2)5，k0或keq f(5,12)，l1

39、：y5或5x12y600，結(jié)合l2斜率不存在的情況知兩直線方程分別為：l1：y5，l2：y0；或l1：5x12y600，l2：5x12y50.三 解答題1已知直線l1的方程為y2x3，l2的方程為y4x2，直線l與l1平行且與l2在y軸上的截距相同，求直線l的方程解析由斜截式方程知直線l1的斜率k12.又ll1，l的斜率kk12.由題意知l2在y軸上的截距為2，l在y軸上的截距b2，由斜截式可得直線l的方程為y2x2.2已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，試求BC邊上的高所在直線的點(diǎn)斜式方程分析BC邊上的高與邊BC垂直，由此求得BC邊上的高所在直線的斜率，從而由

40、點(diǎn)斜式得直線方程解析設(shè)BC邊上的高為AD，則BCAD，kBCkAD1.eq f(23,03)kAD1，解得kADeq f(3,5).BC邊上的高所在直線的點(diǎn)斜式方程是y0eq f(3,5)(x5)即yeq f(3,5)x3.3已知直線yeq f(r(3),3)x5的傾斜角是直線l的傾斜角的大小的5倍，分別求滿足下列條件的直線l的方程(1)過(guò)點(diǎn)P(3，4)；(2)在x軸上截距為2；(3)在y軸上截距為3.解析直線yeq f(r(3),3)x5的斜率ktaneq f(r(3),3)，150，故所求直線l的傾斜角為30，斜率keq f(r(3),3).(1)過(guò)點(diǎn)P(3，4)，由點(diǎn)斜式方程得：y4eq

41、 f(r(3),3)(x3)，yeq f(r(3),3)xeq r(3)4.(2)在x軸截距為2，即直線l過(guò)點(diǎn)(2,0)，由點(diǎn)斜式方程得：y0eq f(r(3),3)(x2)，yeq f(r(3),3)xeq f(2r(3),3).(3)在y軸上截距為3，由斜截式方程得yeq f(r(3),3)x3.4求與兩坐標(biāo)軸圍成面積是12，且斜率為eq f(3,2)的直線方程解析設(shè)直線方程為yeq f(3,2)xb，令y0得xeq f(2,3)b，由題意知eq f(1,2)|b|eq f(2,3)b|12，b236，b6，所求直線方程為yeq f(3,2)x6.5求過(guò)點(diǎn)P(6，2)，且在x軸上的截距比在

42、y軸上的截距大1的直線方程解析設(shè)直線方程的截距式為eq f(x,a1)eq f(y,a)1.則eq f(6,a1)eq f(2,a)1，解得a2或a1，則直線方程是eq f(x,21)eq f(y,2)1或eq f(x,11)eq f(y,1)1，即2x3y60或x2y20.6已知三角形的頂點(diǎn)是A(8,5)、B(4，2)、C(6,3)，求經(jīng)過(guò)每?jī)蛇呏悬c(diǎn)的三條直線的方程解析設(shè)AB、BC、CA的中點(diǎn)分別為D、E、F，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(6，eq f(3,2)、E(1，eq f(1,2)、F(1,4)由兩點(diǎn)式得DE的直線方程為eq f(yf(3,2),f(1,2)f(3,2)eq f(x6,16)

43、.整理得2x14y90，這就是直線DE的方程由兩點(diǎn)式得eq f(yf(1,2),4f(1,2)eq f(x(1),1(1)，整理得7x4y90，這就是直線EF的方程由兩點(diǎn)式得eq f(yf(3,2),4f(3,2)eq f(x6,16)整理得x2y90這就是直線DF的方程7ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,4)，B(2,6)，C(8,0)(1)分別求邊AC和AB所在直線的方程；(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程；(3)求AC邊的中垂線所在直線的方程；(4)求AC邊上的高所在直線的方程；(5)求經(jīng)過(guò)兩邊AB和AC的中點(diǎn)的直線方程解析(1)由A(0,4)，C(8,0)可得直線AC的截距式方程為e

44、q f(x,8)eq f(y,4)1，即x2y80.由A(0,4)，B(2,6)可得直線AB的兩點(diǎn)式方程為eq f(y4,64)eq f(x0,20)，即xy40.(2)設(shè)AC邊的中點(diǎn)為D(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x4，y2，所以直線BD的兩點(diǎn)式方程為eq f(y6,26)eq f(x2,42)，即2xy100.(3)由直線AC的斜率為kACeq f(40,08)eq f(1,2)，故AC邊的中垂線的斜率為k2.又AC的中點(diǎn)D(4,2)，所以AC邊的中垂線方程為y22(x4)，即2xy60.(4)AC邊上的高線的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)B(2,6)，所以其點(diǎn)斜式方程為y62(x2)，即2xy20.

45、(5)AB的中點(diǎn)M(1,5)，AC的中點(diǎn)D(4,2)，直線DM方程為eq f(y2,52)eq f(x(4),1(4)，即xy60.8求分別滿足下列條件的直線l的方程：(1)斜率是eq f(3,4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是6；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(1,0)，B(m,1)；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等分析欲求直線的方程，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇一種最合適的形式解析(1)設(shè)直線l的方程為yeq f(3,4)xb.令y0，得xeq f(4,3)b，eq f(1,2)|b(eq f(4,3)b)|6，b3.直線l的方程為yeq f(4,3)x3(2)當(dāng)m1時(shí)，直線l的方

46、程是eq f(y0,10)eq f(x1,m1)，即yeq f(1,m1)(x1)當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程是x1.(3)設(shè)l在x軸、y軸上的截距分別為a、b.當(dāng)a0，b0時(shí)，l的方程為eq f(x,a)eq f(y,b)1；直線過(guò)P(4，3)，eq f(4,a)eq f(3,b)1.又|a|b|，eq blcrc (avs4alco1(f(4,a)f(3,b)1，,ab.)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a7，,b7.)當(dāng)ab0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)且過(guò)(4，3)，l的方程為yeq f(3,4)x.綜上所述，直線l的方程為xy1或eq

47、f(x,7)eq f(y,7)1或yeq f(3,4)x.點(diǎn)評(píng)明確直線方程的幾種特殊形式的應(yīng)用條件，如(2)中m的分類(lèi)，再如(3)中，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等包括截距都為零的情況9把直線l的一般式方程2x3y60化成斜截式，求出直線l的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫(huà)出圖形分析求l在x軸上的截距，即求直線l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在l的方程中令y0，解出x值，即為x軸上的截距，令x0，解出y值，即為y軸上的截距解析由2x3y60得3y2x6，yeq f(2,3)x2，即直線l的一般式方程化成斜截式為yeq f(2,3)x2，斜率為eq f(2,3).在l的方程2x3y60中，令y0，得x3；令

48、x0，得y2.即直線l在x軸與y軸上的截距分別是3，2.則直線l與x軸，y軸交點(diǎn)分別為A(3,0)，B(0，2)，過(guò)點(diǎn)A，B作直線，就得直線l的圖形，如右圖所示點(diǎn)評(píng)已知一般式方程討論直線的性質(zhì)：令x0，解得y值，即為直線在y軸上的截距，令y0，解得x值，即為直線在x軸上的截距，從而確定直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而畫(huà)出圖形當(dāng)然也可將一般式方程化為截距式來(lái)解決；化為斜截式可討論斜率與傾斜角，以及在y軸上的截距10(1)已知三直線l12x4y70，l2x2y50，l34x2y10，求證：l1l2，l1l3；(2)求過(guò)點(diǎn)A(2,2)且分別滿足下列條件的直線方程：與直線l：3x4y200平行；與直線l

49、：3x4y200垂直解析(1)把l1、l2、l3的方程寫(xiě)成斜截式得l1yeq f(1,2)xeq f(7,4)；l2yeq f(1,2)xeq f(5,2)；l3y2xeq f(1,2)，k1k2eq f(1,2)，b1eq f(7,4)eq f(5,2)b2，l1l2.k32，k1k31，l1l3.(2)解法1：已知直線l：3x4y200的斜率keq f(3,4).過(guò)A(2,2)與l平行的直線方程為y2eq f(3,4)(x2)即3x4y140.過(guò)A與l垂直的直線的斜率k1eq f(1,k)eq f(4,3)方程為y2eq f(4,3)(x2)即4x3y20為所求解法2：設(shè)所求直線方程為3x

50、4yc0，由(2,2)點(diǎn)在直線上，3242c0，c14.所求直線為3x4y140.設(shè)所求直線方程為4x3y0，由(2,2)點(diǎn)在直線上，42320，2.所求直線為4x3y20.11求與直線3x4y70平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為1的直線l的方程解析解法1：由題意知：可設(shè)l的方程為3x4ym0，則l在x軸、y軸上的截距分別為eq f(m,3)，eq f(m,4).由eq f(m,3)eq f(m,4)1知，m12.直線l的方程為：3x4y120.解法2：設(shè)直線方程為eq f(x,a)eq f(y,b)1，由題意得eq blcrc (avs4alco1(ab1，,f(b,a)f(3,4).) 解得

51、eq blcrc (avs4alco1(a4,b3).直線l的方程為：eq f(x,4)eq f(y,3)1.即3x4y120.12設(shè)直線l的方程為(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根據(jù)下列條件分別確定實(shí)數(shù)m的值(1)l在x軸上的截距為3；(2)斜率為1.解析(1)令y0，依題意得eq blcrc (avs4alco1(m22m30,f(2m6,m22m3)3)由得m3且m1；由得3m24m150，解得m3或meq f(5,3).綜上所述，meq f(5,3)(2)由題意得eq blcrc (avs4alco1(2m2m10,f(m22m3),2m2m1)1)，由得m1且meq f(1,

52、2)，解得m1或eq f(4,3)，meq f(4,3).13判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：(1)l1：2xy30，l2：x2y10；(2)l1：3x4y20，l2：6x8y30；(3)l1：xy10，l2：2x2y20.解析(1)解方程組eq blcrc (avs4alco1(2xy30，,x2y10，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)所以直線l1與l2相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)(2)解方程組eq blcrc (avs4alco1(3x4y20，,6x8y30，)2得10，矛盾，方程組無(wú)解所以直線l1與l2無(wú)公共點(diǎn)，即l1l2.(3)解方程組eq

53、 blcrc (avs4alco1(xy10，,2x2y20，)2得2x2y20.因此，和可以化為同一個(gè)方程，即和表示同一條直線，所以直線l1與l2重合14已知直線xy3m0和2xy2m10的交點(diǎn)M在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍分析解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)M在第四象限列出不等式組，解得m的取值范圍解析由eq blcrc (avs4alco1(xy3m0，,2xy2m10，)得eq blcrc (avs4alco1(xf(m1,3)，,yf(8m1,3).)交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(eq f(m1,3)，eq f(8m1,3)交點(diǎn)M在第四象限，eq blcrc (avs4alco1(f(m1,3)0，

54、,f(8m1,3)0，)解得1meq f(1,8).m的取值范圍是(1，eq f(1,8)15直線l過(guò)定點(diǎn)P(0,1)，且與直線l1：x3y100，l2：2xy80分別交于A、B兩點(diǎn)若線段AB的中點(diǎn)為P，求直線l的方程解析解法1：設(shè)A(x0，y0)，由中點(diǎn)公式，有B(x0，2y0)，A在l1上，B在l2上，eq blcrc (avs4alco1(x03y0100,2x0(2y0)80)eq blcrc (avs4alco1(x04,y02)，kAPeq f(12,04)eq f(1,4)，故所求直線l的方程為：yeq f(1,4)x1，即x4y40.解法2：設(shè)所求直線l方程為：ykx1，l與l

55、1、l2分別交于M、N.解方程組eq blcrc (avs4alco1(ykx1,x3y100)N(eq f(7,3k1)，eq f(10k1,3k1)解方程組eq blcrc (avs4alco1(ykx1,2xy80)M(eq f(7,k2)，eq f(8k2,k2)M、N的中點(diǎn)為P(0,1)則有：eq f(1,2)(eq f(7,3k1)eq f(7,k2)0keq f(1,4).故所求直線l的方程為x4y40.解法3：設(shè)所求直線l與l1、l2分別交于M(x1，y1)、N(x2，y2)，P(0,1)為MN的中點(diǎn)，則有：eq blcrc (avs4alco1(x1x20，,y1y22)eq

56、 blcrc (avs4alco1(x2x1，,y22y1.)代入l2的方程，得：2(x1)2y180即2x1y160.解方程組eq blcrc (avs4alco1(x13y1100,2x1y160)M(4,2)由兩點(diǎn)式：所求直線l的方程為x4y40.解法4：同解法1，設(shè)A(x0，y0)，eq blcrc (avs4alco1(x03y0100,2x0y060)，兩式相減得x04y040，(1)考察直線x4y40，一方面由(1)知A(x0，y0)在該直線上；另一方面，P(0,1)也在該直線上，從而直線x4y40過(guò)點(diǎn)P、A.根據(jù)兩點(diǎn)決定一條直線知，所求直線l的方程為：x4y40.16求證：不論

57、m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m1)x(m3)y(m11)0都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)分析題目所給的直線方程的系數(shù)中含有字母m，給定m一個(gè)實(shí)數(shù)值，就可以得到一條確定的直線，因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線系方程，要證明這個(gè)直線系中的直線都過(guò)一定點(diǎn)，就是證明它是一個(gè)共點(diǎn)的直線系，我們可以給出m的兩個(gè)特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點(diǎn)即是直線系中任何直線都過(guò)的定點(diǎn)另一思路是：由于方程對(duì)任意的m都成立，那么就以m為未知數(shù)，整理為關(guān)于m的一元一次方程，再由一元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解的條件求得定點(diǎn)的坐標(biāo)解析證法一：對(duì)于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y

58、100.解方程組eq blcrc (avs4alco1(x3y110，,x4y100，)得兩直線的交點(diǎn)為(2，3)將點(diǎn)(2，3)代入已知直線方程左邊，得(2m1)2(m3)(3)(m11)4m23m9m110.這表明不論m取什么實(shí)數(shù)，所給直線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2，3)證法二：將已知方程以m為未知數(shù)，整理為(2xy1)m(x3y11)0.因?yàn)閙可以取任意實(shí)數(shù)，所以有eq blcrc (avs4alco1(2xy10，,x3y110，)解得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y3.)所以不論m取什么實(shí)數(shù)所給的直線都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2，3)規(guī)律總結(jié)：(1)分別令參數(shù)取兩個(gè)特殊值得方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)

59、，代入原方程滿足，則此點(diǎn)為定點(diǎn)(2)直線過(guò)定點(diǎn)，即與參數(shù)無(wú)關(guān)，則參數(shù)的同次冪的系數(shù)為0，從而求出定點(diǎn)17已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，(1)求BC邊上的中線AM的長(zhǎng)；(2)證明ABC為等腰直角三角形解析(1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)M為BC邊的中點(diǎn)，eq blcrc (avs4alco1(xf(31,2)2，,yf(37,2)2，)即M(2,2)，由兩點(diǎn)間的距離公式得：|AM|eq r(32)2(12)2)eq r(26).BC邊上的中線AM長(zhǎng)為eq r(26).(2)由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|eq r(33)2(13)2)2eq r(13)，|

60、BC|eq r(13)2(73)2)2eq r(26)，|AC|eq r(31)2(17)2)2eq r(13)，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC為等腰直角三角形18求證：等腰梯形的對(duì)角線相等證明已知：等腰梯形ABCD.求證：ACBD.證明：以AB所在直線為x軸，以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖平面直角坐標(biāo)系設(shè)A(a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性質(zhì)知B(a,0)，C(b，c)則|AC|eq r(ba)2(c0)2)eq r(ab)2c2)，|BD|eq r(ba)2(0c)2)eq r(ab)2c2)，|AC|BD|.即：等腰梯形的對(duì)角線相等19已知直線l1：2xy