工程力學(xué)華中科大課件剛體力學(xué)基本概念與理論

1、第二章 剛體靜力學(xué)基本概念與理論2.5 平面力系的平衡條件2.1 力2.2 力偶2.3 約束與約束反力2.4 受力圖返回主目錄1研究對(duì)象被抽象為剛體，暫不考慮其變形， 為研究力系的平衡提供了極大的方便。-形狀和大小不變，且內(nèi)部各點(diǎn)的相對(duì)位置 也不變的一種物體理想模型。剛體研究剛體在力系作用下的平衡問題。剛體靜力學(xué) 若干定義：第二章 剛體靜力學(xué)基本概念與理論2(3)應(yīng)用平衡條件解決工程中的各種問題。(2)平衡條件建立物體處于平衡狀態(tài)時(shí)， 作用在其上各力組成的力系 所應(yīng)滿足的條件。(1)受力分析分析作用在物體上的各種力 弄清被研究對(duì)象的受力情況。 基本問題：返回主目錄3單位：N or KN； 力不

2、可直接度量?？梢远攘康氖瞧湫?yīng)， 作用效應(yīng)相同，則力系等效。定義：力是物體間的相互作用，作用效應(yīng)是使物體 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化（外）或使物體變形（內(nèi)）。1. 基本概念作用力和反作用力： 力是成對(duì)出現(xiàn)的，作用在 不同的物體上，等值、反向、共線。力是矢量： 力的作用效果，取決于大小、方向、作用點(diǎn)。 剛體-不考慮內(nèi)效應(yīng)；則力可沿其作用線滑移。 三要素成為力的大小、方向和作用線。 因此，對(duì)于剛體而言，力是滑移矢。力的合成滿足矢量加法規(guī)則。 若干個(gè)共點(diǎn)力，可以合成為一個(gè)合力。2.1 力返回主目錄42. 共點(diǎn)力的合成用幾何法求匯交力系合力時(shí)，應(yīng)注意分力首尾相接，合力是從第一力的箭尾指向最后一力的箭頭。幾何法：

3、用平行四邊形法則進(jìn)行合成和分解。 FR=F1+F2+Fn=FOa) 平行四邊形法則F2F1FRb) 力三角形F2FRd) 力多邊形F1OF5Oc) 匯交力系F4F2F1F3OF1F2F4F3F5FR5 F2q20F1FR故可知： =70時(shí)， F2最小。且可求得： F1=940N, F2=342N 。例2.1 圖中固定環(huán)上作用著二個(gè)力F1和F2，若希望 得到垂直向下的合力F=1kN，又要求力F2盡 量小，試確定角和F1、F2的大小。解：力三角形如圖。有F2/sin20=F/sin(180-20-)F1/sin=F/sin(180-20-) dF2/d=-Fsin20cos(160-)/sin2(

4、160-)=0由F2最小的條件，還有q20FRF1F26 解析法（投影求和法） 力F在任一軸x上的投影，等于力的大小乘以力與軸正向夾角的余弦。有： Fx=Fcos 力的投影是代數(shù)量。或者：力在任一軸上投影的大小等于力的大小乘以力與軸所夾銳角的余弦，其正負(fù)則由從力矢量起點(diǎn)到終點(diǎn)的投影指向與軸是否一致確定。aFx 力在任一軸上的投影Fx7y xFO 力在任一軸上的投影大小都不大于力的大小。 而分力的大小卻不一定都小于合力。力在任一軸上的投影可求，力沿一軸上的分量不可定。xFOFx分力Fx=？討論：力的投影與分量可見，力 F在垂直坐標(biāo)軸 x、y上的投影分量與沿軸分解的分力大小相等。力 F在相互不垂直

5、的軸 x、y上的投影分量與沿軸分解的分力大小是不相等的。FxyOxFy OFyFxFyFxFyFx8合力投影定理：合力在任一軸上的投影等于各分 力在該軸上之投影的代數(shù)和。表示合力FR與 x軸所夾的銳角，合力的指向由FRx、FRy的符號(hào)判定。 ac-bc=ab由合力投影定理有： FRx=F1x+F2x+Fnx=Fx FRy=F1y+F2y+Fny=Fy 合力的投影abcFRF1xF2正交坐標(biāo)系有: ;RxRxFF=RyRyFF=合力:FRxxyFRyFRa9例2.3 求圖示作用在O點(diǎn)之共點(diǎn)力系的合力。FRx=Fx=-400+250cos45-2004/5 =-383.2 NFRy=Fy=250c

6、os45-500+2003/5 =-203.2N解：取坐標(biāo)如圖。 合力在坐標(biāo)軸上的投影為：35445F3=500NF4=200NyxOF2=250NF1=400NFR合力為： =433.7N; =arctg(203.2/383.2)=27.9 在第三象限，如圖所示。22RyRxRFFF+=yxOF2F3F4F1 FR10 3. 二力平衡:二力桿或二力構(gòu)件: 只在二點(diǎn)受力而處于平衡的無(wú)重桿或無(wú)重構(gòu)件。 ABCF三鉸拱BC二力桿推論：在力系中加上或減去一平衡力系并不改變 原力系對(duì)剛體的作用效果。若剛體在二個(gè)力的作用下處于平衡，則此二力必大小相等、方向相反、且作用在兩受力點(diǎn)的連線上。FCFBABOA

7、B棘爪棘輪返回主目錄11作用在同一平面內(nèi)，大小相等、方向相反、作用線相互平行的兩個(gè)力。1. 基本概念力偶使剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變。作用效應(yīng)度量轉(zhuǎn)動(dòng)作用效應(yīng)的物理量。單位為N.m或kN.m在平面內(nèi)，M是代數(shù)量，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。力偶矩力偶的作用平面、轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小，可以用一個(gè)矢量（力偶矩矢M）來(lái)描述。力偶的三要素FF hoxyM2.2 力偶 （又一基本量）返回主目錄122. 平面力偶的等效與合成b)在保持力偶矩不變的情況下，可以任意改變力和力臂的大小。 由此即可方便地進(jìn)行力偶的合成。 平面力偶等效定理同一平面內(nèi)的二個(gè)力偶，只要其力偶矩相等，則二力偶等效。a)力偶可以在剛體內(nèi)任意移轉(zhuǎn)。即力偶矩矢

8、M的作用點(diǎn)可以在平面上任意移動(dòng)，力偶矩矢是自由矢。推論60N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24N.m13c）平面力偶系的合成若干個(gè)力偶組成的力偶系，可以合成為一個(gè)合力偶。平面力偶系的合力偶之矩等于力偶系中各力偶之矩的代數(shù)和。 M=Mi合力偶定理F1h1F2h2h1F1+h1F2h2M=F1h1+F2h214比較：使物體沿力的作用 線移動(dòng)。使物體在其作用平面 內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。力力偶力是矢量（滑移矢）力偶是矢量(自由矢) 平面力偶是代數(shù)量共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)合力。平面力偶系可合成為一個(gè)合力偶。合力偶定理: M=Mi合力投影定理有： FRx=F1x+F2x+Fnx=Fx FRy=F1y+F2y+F

9、ny=Fy 返回主目錄15W運(yùn)動(dòng)受到限制的物體。吊重、火車、傳動(dòng)軸等。非自由體：限制物體運(yùn)動(dòng)的周圍物體。如繩索、鐵軌、軸承。約束：約束作用于被約束物體的力。約束力：是被動(dòng)力，大小取決于作用于物體的主動(dòng)力。作用位置在約束與被約束物體的接觸面上。作用方向與約束所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。FT2.3 約束與約束力返回主目錄16W1)可確定約束力方向的約束約束力只能是沿柔性體自身的拉力。約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。柔性約束:FT2FT1FT1FT2FT1FT2171)可確定約束反力方向的約束約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。W0G光滑約束（接觸面法向壓力）G1G2FNFN約束反力是沿

10、接觸處的公法線且指向物體的壓力。光滑約束:FN1FN2FN1FN2FN3181)可確定約束反力方向的約束約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。約束反力是沿接觸處的公法線且指向物體的壓力。光滑約束:節(jié)圓2020壓力角FNFN192)可確定約束反力作用線的約束反力作用線過(guò)鉸鏈中心且垂直于支承面，指向待定約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。滾動(dòng)支承（滾動(dòng)鉸）： 滾動(dòng)(鉸)支承AAFA可動(dòng)鉸BFBCFC滾動(dòng)支座202)可確定約束反力作用線的約束滑道滑塊導(dǎo)軌滑套約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。約束反力垂直于滑道、導(dǎo)軌，指向亦待定。滑道、導(dǎo)軌：二力構(gòu)件:二力沿作用點(diǎn)連線,指向亦待定。FNFN

11、BCG二力桿AFCFA21AA固定鉸鏈3)可確定作用點(diǎn)的約束約束反力RA，過(guò)鉸鏈中心。 大小和方向待定，用XA、YA表示。約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。固定鉸鏈：約束力可與固定鉸同樣表示。中間鉸：中間鉸CFCyFCxxyFAFAxFAyFAxFAy22ABAA空間 球鉸 一對(duì)軸承 固定端4)幾種常見約束約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。反力是過(guò)球鉸中心的FAx、FAy、FAz三個(gè)分力?？臻g球鉸共五個(gè)反力。允許繞 x 軸轉(zhuǎn)動(dòng)；x方向有間隙。一對(duì)軸承限制所有運(yùn)動(dòng)，有六個(gè)反力。固定端FAzFAyFAxFAxFAzFAyFBzFByFAzFAyMxMyMz23ABAA平面如果討論的是x

12、、y平面內(nèi)的問題，則：約束力方向與所能限制的物體運(yùn)動(dòng)方向相反。指向不能確定的約束反力，可以任意假設(shè)。若求解的結(jié)果為正，所設(shè)指向正確；為負(fù)則指向與假設(shè)相反。固定端 用二個(gè)反力限制移動(dòng)，一個(gè)反力偶限制轉(zhuǎn)動(dòng)?？臻g球形鉸鏈 相當(dāng)于固定鉸，反力用FAx、FAy二分力表示.一對(duì)軸承 則只有三個(gè)反力。FAyMAFAxFAyFAxFAyFAxFBy返回主目錄24 將研究對(duì)象（物體或物體系統(tǒng)）從周圍物體的約束中分離出來(lái)，畫出作用在研究對(duì)象上全部力（主動(dòng)力和約束力）的圖，稱為受力圖或分離體圖。畫受力圖是對(duì)物體進(jìn)行受力分析的第一步， 也是最重要的一步。 畫受力圖時(shí)必須清楚： 研究對(duì)象是什么？ 將研究對(duì)象分離出來(lái)需要

13、解除哪些約束？ 約束限制研究對(duì)象的什么運(yùn)動(dòng)？ 如何正確畫出所解除約束處的反力？2.4 受力圖返回主目錄25例 2.4 球G1、G2置于墻和板AB間，BC為繩索。 畫受力圖。注意FK與FK、 FE與FE間作用力與反作用力關(guān)系。還要注意，部分受力圖中反力必須與整體受力圖一致。未解除約束處的系統(tǒng)內(nèi)力，不畫出。G1 (b)(c)G2G2G1AB(d)(e)ABG2G1ABC(a)G1G2 D E H KFAxFAyFTFDFKFDFEFDFHFEFKFHFDFAxFAyFTFAxFAyFHFEFT26例 2.5 連桿滑塊機(jī)構(gòu)如圖，受力偶 M和力F作用， 試畫出其各構(gòu)件和整體的受力圖。注意，若將個(gè)體受力

14、圖組裝到一起，應(yīng)當(dāng)?shù)玫脚c整體受力圖相同的結(jié)果。力不可移出研究對(duì)象之外。AMBCFBC解: 研究系統(tǒng)整體、桿AB、BC(二力桿)及滑塊C。AMBCFFAyFAxFCFBCFCBFAyFAxFBCFCBFC27例 2.6 試畫出圖示梁AB及BC的受力圖。ABCFqCFqFAyFAxMAFByFBxFAyFAxMAFCFByFBxFC28正確畫出受力圖的一般步驟為：取研究對(duì)象，解除其約束，將研究對(duì)象分離出來(lái)畫出已知外力(力偶),按約束類型畫出約束反力是否有二力桿注意作用力與反作用力的關(guān)系注意部分與整體受力圖中同一約束處反力假設(shè)的一致性關(guān)鍵是正確畫出所解除約束處的反力。反力方向與約束所能限制的物體運(yùn)動(dòng)

15、方向相反。29受力圖討論 1：FAFDF30受力圖討論 2：BCFABCDEFAyFAxMAF DBF CEFAyFAxMAFDAEFDEFFCEDF DEFDBFDA31DC-二力桿？受力圖討論 3：DCACABABCFDFACFCAFDxFDyFF CAFAxFAyF DyF DxF BFAxFAyF B？ABFAxFAyF DyF DxF BFACFAxFAyFABxFAByFAC32習(xí)題： 2-1; 2-5; 2-6; 2-7 再 見返回主目錄33研究思路：受力分析如何簡(jiǎn)化 ？共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力力偶系可合成為一個(gè)合力偶力向一點(diǎn)平移力系的簡(jiǎn)化平衡條件一般力系xyM2M1問題：如何將力

16、移到同一個(gè) 作用點(diǎn)上？或者說(shuō)力如何移到任一點(diǎn)O？OF2.5 平面力系的平衡條件返回主目錄342.5 平面力系的平衡條件 作用在剛體上力的F， 可以平移到其上任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一力偶，力偶矩等于力的大小乘以點(diǎn)到力作用線間的距離。2.5.1 力對(duì)點(diǎn)之矩1. 力的平移定理OFOF F hFoM=FhF35 2. 力對(duì)點(diǎn)之矩力F平移，等效變換成作用在O點(diǎn)的力F 和力偶M。力偶矩M=Fh，是力F使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量。 力臂h為點(diǎn)O（矩心）到力F作用線的垂直距離。 注意力和力偶對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果的差別。故力F對(duì)任一點(diǎn)O之矩(力矩)為:OF F hF力對(duì)點(diǎn)之矩與點(diǎn)有關(guān)；若力過(guò)O點(diǎn)，則 MO(F)=

17、0。力矩是代數(shù)量，逆時(shí)針為正。36合力矩定理：合力對(duì)點(diǎn)之矩等于其各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。直接求力矩：MO(F)=F.d =F(Lsina+bcosa+asina)MO(Fx)+ MO(Fy)=Fy(L+a)+Fxb =F(Lsina+bcosa+asina)= MO(F)利用合力矩定理：OaF求 MO(F)FxFy37推論： 力偶對(duì)任一點(diǎn)之矩就等于該力偶矩。注意： 力偶在任一軸上的投影為零。MO(F)+ MO(F ) =FAO+FBO=FAB=M F F OAB力偶有: F=F ; F/F 請(qǐng)自行證明: Fx+Fy =0 xF F 382.5.2 平面一般力系的簡(jiǎn)化 若作用于物體上所有的力（

18、包括力偶）都在同一平面內(nèi)，則力系稱為平面一般（任意）力系。平面一般力系：各力作用線匯交于同一點(diǎn)(不含力偶)匯交力系:平行力系:各力作用線相互平行(可包含力偶)特例一般力系yxM2M1匯交力系yxA平行力系yxM339平面一般力系，向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力FR（主矢）, 即： FR=F1+F2+Fn=Fi或用解析法寫為: FRx=F1x+F2x+Fnx=Fx FRy=F1y+F2y+Fny=Fy注意：FR與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置選取無(wú)關(guān)。 得到一個(gè)匯交于O點(diǎn)的共點(diǎn)力系和一個(gè)平面力偶系。xyO(a)F4F2F1F5F3MyxF2OM3M(b)F3F4F5F1M2M1M4M5yx(c)OF

19、RMO40力偶系可合成為一個(gè)合力偶，合力偶之矩 MO是各力偶之矩的代數(shù)和。即: MO=MO(F1)+MO(F2)+MO(Fn)+MO(M)=MO(Fi)FRM0O平面一般力系力主矢FR力偶主矩MO 簡(jiǎn)化 力？平移MO稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩，顯然， MO與簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的位置有關(guān)。h=M0/FR FRA41 情況 向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果 力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果 分類 主矢FR 主矩MO （與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)）討論1 平面一般力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果yxOFRMOFRh3 FR0 MO=0 合力FR=FR，作用線過(guò)O點(diǎn)。2 FR=0 MO0 一個(gè)合力偶，M=MO。 1 FR=0 MO=0 平衡狀態(tài)（力系對(duì)物體的移

20、動(dòng) 和轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果均為零）。4 FR0 MO0 一個(gè)合力，其大小為 FR=FR， 作用線到O點(diǎn)的距離為h=MO/FR FR在O點(diǎn)哪一邊，由LO符號(hào)決定平面力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果，只有三種可能：一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶饬ο怠?2例：求圖示力系的合力。FRx=Fx=F1+4F2/5-3F3/5 =6+8-9=5 kN FRy=Fy=-3F2/5-4F3/5+F4 =-6-12+8=-10 kN合力FR=FR=11.1kN； 作用線距O點(diǎn)的距離h為： h=M0 /FR=1.09 (m) ； 位置由Mo 的正負(fù)確定，如圖。Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3 /5)-4F4+M=12 kN.m解：

21、力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，有：xO(m)y(m)22242F1=6kNF2 =10kNF3 =15kNF4=8kNM=12kN.m4FR hFRMO主矢 FR= = kN； 指向如圖。22yRxRFF+12543設(shè)載荷集度為q(x)，在距O點(diǎn)x 處取微段dx, 微段上的力為q(x)dx。討論2 同向分布平行力系合成合力FR的作用線到O的距離為： h=MO/FR= / ldxxq0)(ldxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O(shè)點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，主矢和主矩為： FR=q(x)dx= ；MO=xq(x)dx=ldxxq0)(ldxxxq0)( FR0，MO0；故可合成為一個(gè)合力，且 FR= FR=ldx

22、xq0)(FR大小等于分布載荷圖形的面積FR的作用線通過(guò)分布載荷圖形的形心。44 故同向分布平行力系可合成為一個(gè)合力，合力的大小等于分布載荷圖形的面積，作用線通過(guò)圖形的形心，指向與原力系相同。例 求梁上分布載荷的合力。 解：載荷圖形分為三部分，有設(shè)合力FR距O點(diǎn)為x，由合力矩定理有： -FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m得到 x=6.4/3.1=2.06m 故合力為3.1kN，作用在距O點(diǎn)2.06m處，向下。FR1=1.6kN; 作用線距O點(diǎn)1m。FR2=0.6kN; 作用線距O點(diǎn)3.5m。FR3=0.9kN; 作用線距O點(diǎn)3m。合力 FR

23、=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx45例 求圖中分布力系的合力。解： FR1=2q1=1 kN; FR2=3q2/2=6 kN;合力的大?。?FR=FR2-FR1=5 kN 方向同F(xiàn)R2 ，如圖。合力作用位置(合力矩定理): FRx=3FR2-1FR1 ; x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5 KN/m2m3mq2=4 KN/mAFR1FR2FRx462.5.3 平面力系的平衡條件 平面一般力系處于平衡，充分和必要條件為力系的主矢FR和主矩MO都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過(guò)O點(diǎn)；1、2式指出：若有合

24、力。必垂直于x軸且垂直于y軸。故平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）（x軸不平行于y軸）47平面一般力系平衡方程還可表達(dá)為下列二種形式： 二力矩式（AB不垂直于x軸)注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫出無(wú)數(shù)個(gè)平衡方程。但只要滿足了其中一組，其余方程均應(yīng)自動(dòng)滿足，故獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)。 三力矩式(A、B、C三點(diǎn)不共線)48取匯交點(diǎn)為矩心，力矩方程自動(dòng)滿足。獨(dú)立平衡方程只有二個(gè),為： 平面匯交力系:取x軸垂直于各力，則x的投影方程滿足。獨(dú)立平衡方程也只有二個(gè),為：平面平行力系:yxMyx49三拱鉸受力再分析ABCF三鉸拱ABFo討論1： 二力平衡必共線F1oF2討論2： 三力平衡必共點(diǎn)F1F2F3oBCFB二力桿FC50問題討論1： 若q=a, 求梁上分布載荷的合力。aaar =aq2q解： FR1=3qa=3a2 FR2