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文檔簡介
1、重慶市各區(qū)2021年中考模擬數(shù)學(xué)試題匯編:圖形的變化解答1(2021九龍坡區(qū)校級(jí)模擬)在ABC中,BAC90,點(diǎn)E為AC上一點(diǎn),ABAE,AGBE,交BE于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)M是BC邊上的點(diǎn)(1)如圖1,若點(diǎn)M與點(diǎn)G重合,AH2,BC,求CE的長;(2)如圖2,若ABBM,連接MH,HMGMAH,求證:AM2HM;(3)如圖3,若點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),作點(diǎn)B關(guān)于AM的對稱點(diǎn)N,連接AN、MN、EN,請直接寫出AMH、NAE、MNE之間的角度關(guān)系2(2021萬州區(qū)模擬)如圖,點(diǎn)B,C,D在同一條直線上,BCF和ACD都是等腰直角三角形連接AB,DF,延長DF交AB于點(diǎn)E(1)如圖1,若ADBD,
2、DE是ABD的平分線,BC1,求CD的長度;(2)如圖2,連接CE,求證:DECE+AE;(3)如圖3,改變BCF的大小,始終保持點(diǎn)F在線段AC上(點(diǎn)F與點(diǎn)A,C不重合)將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到EP取AD的中點(diǎn)O,連接OP當(dāng)AC2時(shí),直接寫出OP長度的最大值3(2021九龍坡區(qū)校級(jí)模擬)在ABC和AEF中,AFEABC90,AEFACB30,AEAC,連接EC,點(diǎn)G是EC中點(diǎn),將AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(1)如圖1,若E恰好在線段AC上,AB2,連接FG,求FG的長度;(2)如圖2,若點(diǎn)F恰好落在射線CE上,連接BG,證明:GBAB+GC;(3)如圖3,若AB3,在AEF旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)GB
3、GC最大時(shí),直接寫出直線AB,AC,BG所圍成三角形的面積4(2021沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)如圖1,在四邊形ABCD中,AC交BD于點(diǎn)E,ADE為等邊三角形(1)若點(diǎn)E為BD的中點(diǎn),AD4,CD5,求BCE的面積;(2)如圖2,若BCCD,點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),求證:AB2AF;(3)如圖3,若ABCD,BAD90,點(diǎn)P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且APD90,連接BP,取BP的中點(diǎn)Q,連接CQ當(dāng)AB6,AD4,tanABC2時(shí),求CQ+BQ的最小值5(2021沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬)如圖,已知ABC中,ABC45,CD是邊AB上的高線,E是AC上一點(diǎn),連接BE,交CD于點(diǎn)F(1)如圖1,若ABE15,BC+1
4、,求DF的長;(2)如圖2,若BFAC,過點(diǎn)D作DGBE于點(diǎn)G,求證:BECE+2DG;(3)如圖3,若R為射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以BR為斜邊向外作等腰直角BRH,M為RH的中點(diǎn)在(2)的條件下,將CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),得到CEF,E,F(xiàn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為E,F(xiàn),直線MF與直線AB交于點(diǎn)P,tanACD,直接寫出當(dāng)MF取最小值時(shí)的值6(2021北碚區(qū)校級(jí)模擬)在ABC中,CAB90,ACAB若點(diǎn)D為AC上一點(diǎn),連接BD,將BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到BE,連接CE,交AB于點(diǎn)F(1)如圖1,若ABE75,BD4,求AC的長;(2)如圖2,點(diǎn)G為BC的中點(diǎn),連接FG交BD于點(diǎn)H若ABD30,猜想線段DC
5、與線段HG的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;(3)如圖3,若AB4,D為AC的中點(diǎn),將ABD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得ABD,連接AC、AD,當(dāng)AD+AC最小時(shí),求SABC7(2021渝中區(qū)校級(jí)二模)如圖1,在RtABC與RtABD中,ACBADB90,BAC60,CEAB交AB于點(diǎn)E,AEAD,點(diǎn)F在線段BD上,連接AF(1)若AC4,求線段BD的長;(2)如圖2,若DAF60,點(diǎn)M為線段BF的中點(diǎn),連接CM,證明:2CMBF+AC;(3)如圖3,在(2)的條件下,將ADF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得ADF,連接BF,點(diǎn)M為線段BF的中點(diǎn),連接DM,當(dāng)DM長度取最小時(shí),在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)N,連接MN,將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋
6、轉(zhuǎn)60至MN,連接DN,若AC4,請直接寫出(2MNDN)的最小值8(2021渝中區(qū)校級(jí)三模)如圖1,等腰RtABC中,BAC90,ABAC8,AD平分BAC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E、F分別是線段AC、AB上兩點(diǎn),且AEAF,連接BE交AD于點(diǎn)Q,過點(diǎn)F作FGBE交BE于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)G(1)若BF2,求DQ的長;(2)求證:;(3)如圖1,AE4,連接EF,將EAF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)M為EF中點(diǎn),連接BM,CM,以BM為直角邊構(gòu)造等腰RtBMN,過點(diǎn)N作NRBC交BC于點(diǎn)R,連接RM,當(dāng)NR最小時(shí),直接寫出MR的長度9(2021重慶模擬)如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,以正方形
7、的邊長BC為斜邊在正方形內(nèi)作RtBEC,BEC90(1)求證:BECEOE;(2)若CE3,BE4,OBE的面積為 (直接寫出結(jié)果);點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn),則OPE周長的最小值為 (直接寫出結(jié)果)10(2021銅梁區(qū)校級(jí)一模)ABC為等邊三角形,將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段CD,F(xiàn)為平面內(nèi)一點(diǎn)接BF,作ABF的角平分線交CF延長線于點(diǎn)E,連接DE(1)如圖1,連接BD,若點(diǎn)F恰好在線段BD上,CEBC,BC2,求EF的長度;(2)如圖2,若FBC2ECD,證明:BE+DEEC;(3)如圖3,當(dāng)BC2,ACE45時(shí),以CE為斜邊構(gòu)造直角PEC,Q為CP中點(diǎn),連接AQ當(dāng)AQ最大時(shí),求AC
8、Q的面積11(2021重慶模擬)如圖,在RtABC中,ABC90,BAC30,點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng),連接AD,以AD為斜邊在直線AD的右側(cè)作RtADE,其中AED90,DAE30(1)如圖1,點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí),DE與AB相交于點(diǎn)O,當(dāng)AO平分DAE時(shí),若DC6,求AD的長;(2)如圖2,點(diǎn)D沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)BDAB時(shí),連接BE,過點(diǎn)B作BFBE交EA的延長線于點(diǎn)F,取CD的中點(diǎn)G,連接EG求證:DE+AEEG;(3)如圖3,點(diǎn)D沿射線CB方向運(yùn)動(dòng)過程中,連接BE,將線段BE繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60,得到線段EH,連接AH、CH若AB6,當(dāng)CH+AH取得最小值時(shí),請直接寫出AB
9、E的面積12(2021兩江新區(qū)模擬)如圖,ACB和DCE均為等腰直角三角形,ACBDCE90,ACBC,DCEC現(xiàn)將DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(1)如圖1,若A、D、E三點(diǎn)共線,AD,求點(diǎn)B到直線CE的距離;(2)如圖2,連接AE、BD,點(diǎn)F為線段BD的中點(diǎn),連接CF,求證:AECF;(3)如圖3,若點(diǎn)G在線段AB上,且AC8,AG7,在ACG內(nèi)部有一點(diǎn)O,請直接寫出OC+OA+OG的最小值13(2021沙坪壩區(qū)校級(jí)一模)如圖1,在RtABC中,BAC90,ABAC,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,把AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到AE,連接DE(1)如圖1所示,若BC4,在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)tanBDE
10、時(shí),求線段CD的長;(2)如圖2所示,點(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn),連接BF并延長交CA延長線于點(diǎn)M,連接DM,交AB于點(diǎn)N,連接CF,AF,當(dāng)點(diǎn)N在線段CF上時(shí),求證:AD+BFCF;(3)如圖3,若AB2,將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得ABC,連接CC,P為線段CC上一點(diǎn),且CCPC,連接BP,將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BQ,連接PQ,K為PQ的中點(diǎn),連接CK,請直接寫出線段CK的最大值14(2021沙坪壩區(qū)模擬)如圖,在銳角ABC中,ACB45,點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段AE,連接DE交AC于點(diǎn)F(1)如圖1,若ADC60,求證:DFAF+EF;(2)
11、如圖2,在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中,當(dāng)ADC是銳角時(shí),點(diǎn)M在線段DC上,且AMAD,連接ME,猜想線段ME,MD,AC之間存在的數(shù)量關(guān)系,并證明你猜想的結(jié)論;(3)在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中,當(dāng)ADC是鈍角時(shí),點(diǎn)N是線段DE上一動(dòng)點(diǎn),連接CN,若CFAFm,請直接用含m的代數(shù)式表示2CN+NE的最小值15(2021潼南區(qū)一模)如圖1ABC為等邊三角形,D為AC右側(cè)一點(diǎn),且ACAD,連接BD交AC于點(diǎn)E,延長DA、CB交于點(diǎn)F(1)若BAF30,AF2,求AD;(2)證明:CFAF+AE;(3)如圖2若AB4,G為BC中點(diǎn),連接AG,M為AG上一動(dòng)點(diǎn),連接CM,將CM繞著M點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到MN,連接AN、C
12、N,當(dāng)AN最小時(shí),直接寫出CMN的面積參考答案1【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可;(2)根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可;(3)根據(jù)對稱的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可【解答】解:(1)BAC90,ABAE,BAE為等腰直角三角形,AGBE,AH是BAE的中線,BE2AH4,BEA45,BEC135,在BCE中,過點(diǎn)C作CDBE交BE的延長線于點(diǎn)D,如圖1,DEC45,DEC是等腰直角三角形,設(shè)EDx,則DCx,CEx,在RtBCD中,BC2BD2+DC2,即,x11或x25(舍去),CE;(2)如圖2,過H作HDH
13、M交AM于點(diǎn)D,連接BD,ABAE,BAC90,ABE是等腰直角三角形,AGBE,ABH為等腰直角三角形,BHAH,BAN45,BHA90,ABBM,BAMBMA,HMGMAH,BAMMAHBMAHMG,即BAHAMH45,HDHM,DHM為等腰直角三角形,DHHM,DHM90,BHDBHA+AHD,AHMDHM+AHD,BHDAHM,在BHD與AHM中,BHDAHM(SAS),DBHMAH,BDAM,BHABDA90,BABM,D是AM的中點(diǎn),AM2DM2HM,即AM2HM;(3)H是BE的中點(diǎn),M是BC的中點(diǎn),MH是BCE的中位線,MHCE,AMHMAC,BAC90,AMBM,MABABM
14、,點(diǎn)B與點(diǎn)N關(guān)于線段AM對稱,ABMANM,ABAN,AEAN,AENANE,在AEN中,NAE+2ANE180,ANEANM+MNE,ABMANMMAB90MAC,ANE90MAC+MNE,ANE90AMH+MNE,將代入,得:NAE+2(90AMH+MNE)180,NAE+1802AMH+2MNE180,NAE+2MNE2AMH2【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),求出FCBC1,再判斷出FAFB,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出ABCDFC,得出BACCDF,進(jìn)而判斷出ACEDCH,得出AEDH,CECH,即可得出結(jié)論;(3)先判斷出OEOQ2,再判斷出OEDQEP,進(jìn)而求出PQOD即可
15、得出結(jié)論【解答】(1)解:BCF和ACD都是等腰直角三角形,ACCD,F(xiàn)CBC1,F(xiàn)B,ADBD,DE是ABD的平分線,DE垂直平分AB,F(xiàn)AFB,ACFA+FC,CD;(2)證明:如圖2,過點(diǎn)C作CHCE交ED于點(diǎn)H,BCF和ACD都是等腰直角三角形,ACDC,F(xiàn)CBC,ACBDCF90;ABCDFC(SAS),BACCDF,ECH90,ACE+ACH90,ACD90,DCH+ACH90,ACEDCH在ACE和DCH中,ACEDCH(ASA),AEDH,CECH,EHCEDEEH+DHCE+AE;(3)解:如圖3,連接OE,將OE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到EQ,連接OQ,PQ,則OQOE由(2
16、)知,AEDABC+CDFABC+BAC90,在RtAED中,點(diǎn)O是斜邊AD的中點(diǎn),OEODADAC,OQOE,在OED和QEP中,OEDQEP(SAS),PQODOPOQ+PQ,當(dāng)且僅當(dāng)O、P、Q三點(diǎn)共線時(shí),取“”號(hào),OP的最大值是3【分析】(1)如圖1中,過點(diǎn)F作FHAE于H解直角三角形求出FH,GH,再利用勾股定理求解即可(2)如圖2中,取AC的中點(diǎn)M,連接BM,GM,BF證明BAFBMG(SAS),推出ABFMBG,BFBG,推出FBGABM60,可得BFG是等邊三角形,推出BGFG,可得BGEF+EGAE+CGAB+CG(3)如圖3中,取AC的中點(diǎn)M,連接BM,GM,BF在MC上取一
17、點(diǎn)D,使得MDMG,連接DG,BD證明MDGMGC,推出,推出DGCG,推出GBCGGBDGBD,推出當(dāng)B,D,G共線時(shí),BGCG的值最大,最大值為BD的長【解答】(1)解:如圖1中,過點(diǎn)F作FHAE于H在RtABC中,ACB90,AB2,C30,AC2AB4,BCAB2,AEECAC2,EGGC,EGCG1,AFE90,AEF30,EFAEcos30,F(xiàn)HEF,HEFH,GHHE+EG,F(xiàn)G(2)證明:如圖2中,取AC的中點(diǎn)M,連接BM,GM,BFAMMC,ABC90,BMAMCM,AC2AB,ABAMBM,BAMAMBABM60,BMC120,AE2AF,EAF60,BAF120+EAC,
18、AMMC,EGGC,GMAEAF,GMAE,CMGEAC,BMG120+CMG120+EACBAF,BAFBMG(SAS),ABFMBG,BFBG,F(xiàn)BGABM60,BFG是等邊三角形,BGFG,BGEF+EGAE+CGAB+CG(3)解:如圖3中,取AC的中點(diǎn)M,連接BM,GM,BF在MC上取一點(diǎn)D,使得MDMG,連接DG,BD同法可證:BAFBMG(SAS),ABFMBG,BFBG,F(xiàn)BGABM60,BFG是等邊三角形,BGFG,AMCM,EGCG,MGAE,AB3,ABC90,ACB30,AC2AB6,AMCM3,AEAC3,MG,MDMG,DMGGMC,MDGMGC,DGCG,GBCG
19、GBDGBD,當(dāng)B,D,G共線時(shí),BGCG的值最大,最大值為BD的長,直線AB,AC,BG圍成的三角形為ABD,ADAM+DM3+,SABD,當(dāng)GBGC最大時(shí),直線AB,AC,BG所圍成三角形的面積為4【分析】(1)如圖1中,過點(diǎn)C作CHBD于H,設(shè)EHx利用勾股定理構(gòu)建方程求出x,即可解決問題(2)如圖2中,延長AF到G,使得AFFG,連接DG,CG,延長GC交BD于T,過點(diǎn)C作CHBD于H想辦法證明AEBADG(SAS),可得結(jié)論(3)如圖3中,取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OB,OC,取OB的中點(diǎn)J,連接QJ,CJ,過點(diǎn)C作CFAB于F,在JB上取一點(diǎn)T,使得JT,連接QT,TC想辦法證明Q
20、JTBJQ,推出,推出QTBQ,推出CQ+BQCQ+QTCT,求出CT,可得結(jié)論【解答】(1)解:如圖1中,過點(diǎn)C作CHBD于H,設(shè)EHxADE是等邊三角形,ADDE4,AEDCEH60,CHE90,CEEHtan60 x,CD2CH2+DH2,253x2+(x+4)2,4x2+8x90 x或(舍棄),CH,SBEC42解法二:過點(diǎn)B作BJAC交AC的延長線于J,過點(diǎn)D作DTAE于T證明BJDT,求出DT,即可解決問題(2)證明:如圖2中,延長AF到G,使得FGAF,連接DG,CG,延長GC交BD于T,過點(diǎn)C作CHBD于HAFFG,CFFD,四邊形ACGD是平行四邊形,ACDG,GCAD,CA
21、D+ADG180,ADE是等邊三角形,AEAD,AEDADEEAD60,AEBADG120,CGDEAD60GDT,DGT是等邊三角形,DGDT,CTECET60,CET是等邊三角形,CTCE,CTECET60,CBCD,CHBD,BHDH,THEH,BTDE,BEDTDH,AEBADG(SAS),ABAG2AF(3)解:如圖3中,取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OB,OC,取OB的中點(diǎn)J,連接QJ,CJ,過點(diǎn)C作CFAB于F,在JB上取一點(diǎn)T,使得JT,連接QT,TCABCD,BAD90,ADC90,CFAB,CFA90,四邊形AFCD是矩形,ADCF4,tanCBA2,BF2,AB6,AF4,A
22、DAF,四邊形AFCD是正方形,BC2,CO2,OB4,CBCO,CFCD,CFBCDO90,RtCFBRtCDO(HL),BCFDCO,BCODCF90,BJJO,CJOB2,CT,BQQP,BJJO,QJOP,QJ22,TJJB22,QJ2JTJB,QJTQJB,QJTBJQ,QTBQ,CQ+BQCQ+QTCT,CQ+BQ的最小值為5【分析】(1)如圖1中,過點(diǎn)F作FHBC于H設(shè)FHCHm,則BHm,根據(jù)BC+1,構(gòu)建方程求出m,即可解決問題(2)如圖2中,連接DE,過點(diǎn)D作DHDE交BE于H證明BHEC,DHE是等腰直角三角形即可解決問題(3)如圖3中,過點(diǎn)M作MJBC于J,過點(diǎn)P作PK
23、BC于K證明tanMBJ2,推出點(diǎn)M的在射線BM上運(yùn)動(dòng),推出當(dāng)C,F(xiàn),M共線,且CMBM時(shí),F(xiàn)M的值最小設(shè)ADm,想辦法求出RM,PF可得結(jié)論【解答】(1)解:如圖1中,過點(diǎn)F作FHBC于HCDAB,BDC90,DBC45,DCB904545,F(xiàn)HCH,F(xiàn)HC90,HFCHCF45,CHFH,設(shè)FHCHm,ABE15,F(xiàn)BC451530,BHHFm,m+m+1,m1,CFCH,CDBC,DFCDCF(2)證明:如圖2中,連接DE,過點(diǎn)D作DHDE交BE于HADCFDB90,DBDC,BFAC,RtBDFRtCDA(HL),DBFACD,BFDCFE,BFDCFE,DFEBFC,DFEBFC,D
24、EFBCF45,DHDE,HDE90,DHEDEH45,DHDE,BDCEDH90,BDHCDE,DBDC,DHDE,BDHCDE(SAS),BHEC,DHDE,DGEH,GHEG,DGEH,BEBH+HEEC+2DG(3)解:如圖3中,過點(diǎn)M作MJBC于J,過點(diǎn)P作PKBC于KBHR,DBC都是等腰直角三角形,DBCHBR45,HBC90,HHBJMJB90,四邊形BHMJ是矩形,BHMJ,HMBJ,BHHR,HMMR,MJ2BJ,tanMBJ2,點(diǎn)M的在射線BM上運(yùn)動(dòng),當(dāng)C,F(xiàn),M共線,且CMBM時(shí),F(xiàn)M的值最小設(shè)ADm,tanACD,CDBD3m,DFADm,CFCF2m,BC3m,CM
25、B90,tanCBM2,BMm,CMm,BJHMm,JMBHHRm,MRm,設(shè)BKPKn,CK2n,nm,BKPKm,CK2m,PCm,PFPCCFm2m,6【分析】(1)通過作輔助線,構(gòu)造直角三角形,借助解直角三角形求得線段的長度;(2)通過作輔助線,構(gòu)造全等三角形,設(shè)ACa,利用中位線定理,解直角三角形,用a的代數(shù)式表示CD和HG,即可得CD與HG的數(shù)量關(guān)系;(3)構(gòu)造阿氏圓模型,利用兩點(diǎn)之間線段最短,確定A(4)的位置,繼而求得相關(guān)三角形的面積【解答】解:(1)過D作DGBC,垂足是G,如圖1:將BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到BE,EBD90,ABE75,ABD15,ABC45,DBC30
26、,在直角BDG中有DG2,ACB45,在直角DCG中,CGDG2,BCBG+CG,ACBC;(2)線段DC與線段HG的數(shù)量關(guān)系為:HG,證明:延長CA,過E作EN垂直于CA的延長線,垂足是N,連接BN,ED,過G作GMAB于M,如圖:END90,由旋轉(zhuǎn)可知EBD90,EDB45ENDEBD90,E,B,D,N四點(diǎn)共圓,BNEEDB45,NEB+BDN180BDC+BDN180,BCD45,BENBDC,BNE45BCD,在BEN和BDC中,BENBDC(AAS),BNBC,BAC90,在等腰BNC中,由三線合一可知BA是CN的中線,BACEND90,ENAB,A是CN的中點(diǎn),F(xiàn)是EC的中點(diǎn),G
27、是BC的中點(diǎn),F(xiàn)G是BEC的中位線,F(xiàn)GBE,F(xiàn)GBE,BEBD,F(xiàn)GBD,ABD30,BFG60,ABC45,BGF75,設(shè)ACa,則ABa,在RtABD中,AD,BDBE,F(xiàn)GBE,F(xiàn)G,GMAB,BGM是等腰三角形,MGMB,在RtMFG中,MFG60,MFMG,MF,BFBM+MF,在RtBFH中,BFG60,F(xiàn)Ha,HGFGFHa,又CD,HG;(3)設(shè)ABa,則BC,取BC的中點(diǎn)N,連接AD,AC,AN,連接DN,如圖3,由旋轉(zhuǎn)可知ABABa,又ABNCBA,ABNCBA,ANAC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)和兩點(diǎn)之間線段最短可知,最小,即是AD+AN最小,此時(shí)D、A、N共線,即A在線段DN上,設(shè)此
28、時(shí)A落在A處,過A作AFAB于F,連接AA,如圖4,D,N分別是AC,BC的中點(diǎn),DN是ABC的中位線,DNAB,ABAC,DNAC,AAFAADA90,四邊形AFAD是矩形,AFAD,AFAD2,又ABAB4,設(shè)AFx,在直角三角形AFB中,AB2AF2+BF2,4222+(4x)2,解得x此時(shí)SABCSABCSAABSAACABACABAFACAD44424(42)447【分析】(1)利用30角求出AB和AE的長度,AE即為AD長度,利用勾股求出BD長度;(2)構(gòu)造兩個(gè)120的等腰三角形,底邊FFAFAC,得出AC+FBFB,根據(jù)SAS證ABFABF,得FBBF,由中位線得BF2CM,即可
29、得證結(jié)論;(3)延長FD,使DFDF,由D、M分別為中點(diǎn),得DMFB,當(dāng)F、A、B 三點(diǎn)共線時(shí)FD最小,則DM最小,確定此時(shí)點(diǎn)D在AC上,過M作AC平行線MP,易得DPM為等邊三角形,由MNN是等邊三角形,根據(jù)SAS證DMNPMN,可得MDNMPN60PDM,即確定了N運(yùn)動(dòng)軌跡在直線DP上,2MN+DN,可轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形得斜邊和直角邊數(shù)量關(guān)系,最后根據(jù)三角形兩邊之差第三邊(共線時(shí)取等號(hào))求出最小值即可【解答】解:(1)ACB90,BAC60,AC4,ABACcos608,CEAB,AEACcos602,ADAE2,ADB90,BD2;(2)延長FD至F,使DFDF,延長BC至B使CBCB
30、,連接FB、AB、AF,DFDF,CBCB,ADFACB90,AFAF,ABAB,CABDAF60,BABFAF120,BAB+FABFAF+FAB,即BAFBAF,ABFABF(SAS),BFBF,C、M分別是BB、FB的中點(diǎn),BF2CM,AC2AE,AF2AD,ADAE,ACAF,AFAF,F(xiàn)AF120,F(xiàn)FAFAC,BF+ACBF+FFBFBF2CM,即2CMBF+AC;(3)延長FD至F,使FDFDD、M分別為FF、FB中點(diǎn),DMFB且DMFB,當(dāng)F在線段AB上時(shí),F(xiàn)B最?。ㄈ缬覉D3),此時(shí)D在線段AC上,此時(shí)DM最小FB42AD,過點(diǎn)M作MPAC,交AB于點(diǎn)P,連接DP,DN,MPA
31、D,APDM,ADDM2,四邊形ADMP是菱形,CAB60,DMP是等邊三角形,MPN60,MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)60,MNN是等邊三角形,DMNPMN(SSS),MDNMPN60PDM,即N運(yùn)動(dòng)軌跡在DP上,以DN為斜邊作等腰直角三角形ODN,則ONDN,(2MNDN)2(MNDN)2(MNON),MNONMO,當(dāng)NOM 三點(diǎn)共線時(shí)MNON最小為OM,NDM60,NDO45,ODM15,作GMDGDM15,則MGD30,設(shè)OMx,OGx,GMDG2x,DO2x+x,DO2+MO2DM2,(2x+x)2+x222,解得x,(2MNDN)最小值2OM8【分析】(1)過點(diǎn)E作EHBC于點(diǎn)H,根據(jù)等腰直角三
32、角形的性質(zhì)求出ADBDCD4,由EHBC可得出EHHCCE,則BHBCCH7,證出ADEH,可得BDQBHE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得DQ的長;(2)過點(diǎn)A作AKBE交BC于點(diǎn)K,延長BA至點(diǎn)R,使得ARAE,連接CR,延長BE交CR于點(diǎn)T,利用ASA證明BAQACK(ASA),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AQCK,再證ABEACR(SAS),得ABEACR,可得出ETC90,則AKCR,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得GKCK,則BCACBG+CGBG+2CKBG+2AQ,即可得出結(jié)論;(3)解:連接AM,過點(diǎn)M作MSBC于點(diǎn)S,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AMEF2,則點(diǎn)M在以A為圓心,2為半徑
33、的A上移動(dòng),利用AAS證明MBSBNR(AAS),可得BSNR,MSBR,則當(dāng)NR最小時(shí),即BS最小,由圖可得當(dāng)且僅當(dāng)MS與A相切時(shí),BS取得最小值,此時(shí),AMME2,點(diǎn)E落在線段AB上,AEBE4,BSES2,在RtMSR中,根據(jù)勾股定理即可求解【解答】(1)解:過點(diǎn)E作EHBC于點(diǎn)H,ABAC8,BAC90,BCAB8,ABCACB45,AD平分BAC,ADBC,ADBDCD4,AEAF,ABAFACAE,BFCE2,EHBC,ADEH,EHC90,HECHCE45,HEHCCE,BHBCCH7,ADEH,BDQBHE,DQHE;(2)證明:過點(diǎn)A作AKBE交BC于點(diǎn)K,延長BA至點(diǎn)R,使
34、得ARAE,連接CR,延長BE交CR于點(diǎn)T,AD平分BAC,BAC90,BAD45,BADACB,AKBE,ABQ+BAK90,BAK+CAK90,在ABQCAK中,BAQACK(ASA),AQCK,在ABE和ACR中,ABEACR(SAS),ABEACR,ABE+AEB90,AEBCET,ACR+CET90,ETC90,即CRBE,AKBE,AKCR,AEAFAR,GKCK,BCACBG+CGBG+2CK,ACBG+2AQ,AC2AQBG;(3)解:連接AM,過點(diǎn)M作MSBC于點(diǎn)S,AEAF4,EAF90,EFAE4,點(diǎn)M是 EF的中點(diǎn),AMEF2,點(diǎn)M在以A為圓心,2為半徑的A上移動(dòng),BM
35、N是等腰直角三角形,BMBN,MBN90,NBR+MBS90,NRBC,MSBC,NRBBSM90,NBR+BNR90,MBSBNR,在MBS和BNR中,MBSBNR(AAS),BSNR,MSBR,當(dāng)NR最小時(shí),即BS最小,如圖當(dāng)且僅當(dāng)MS與A相切時(shí),BS取得最小值,此時(shí),AMME2,點(diǎn)E落在線段AB上,AEBE4,BSES2,MSBRME+ES4,SRBRBS2,在RtMSR中,MR2,當(dāng)NR最小時(shí),MR的長度為29【分析】(1)如圖1中,設(shè)BE交AC于點(diǎn)J,過點(diǎn)O作OTOE交BE于T證明OBTOCE(ASA),推出BTCE,OTOE,OET是等腰直角三角形,即可解決問題(2)如圖2中,過點(diǎn)
36、O作OTBE于T利用(1)中結(jié)論,求出OE,OT,可得結(jié)論如圖3中,作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)T,連接OT交BC于R,連接ER,ET,ET交BC于O,連接OP,此時(shí)PE+PO的值最小,OPE的周長也最小【解答】(1)證明:如圖1中,設(shè)BE交AC于點(diǎn)J,過點(diǎn)O作OTOE交BE于T四邊形ABCD是正方形,ACBD,OBODOAOC,BOCTOE90,BOTCOE,BOJCEJ90,OJBCJE,OBJECJ,OBTOCE(ASA),BTCE,OTOE,OET是等腰直角三角形,OEB45,ETOE,BEBT+ET,BEEC+OE,BEECOE(2)解:如圖2中,過點(diǎn)O作OTBE于TBE4,EC3,BEE
37、COE,OE,OTE90,OET45,OTET,SOBEBEOT41故答案為:1如圖3中,作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)T,連接OT交BC于R,連接ER,ET,ET交BC于O,連接OP,此時(shí)PE+PO的值最小,OPE的周長也最小OBOC,OTBC,RBRC,BOCBEC90,ORERBRCRTR,B,C,E,O四點(diǎn)共圓,OT是直徑,OET90,BC5,OT5,OE,ET,OP+PE的最小值ET,POE的周長的最小值為+4故答案為:410【分析】(1)由CA旋轉(zhuǎn)60得到CD可知DBC30,由BE平分ABF可得EFB45,由CEBC可求出EC,F(xiàn)C的長度,ECFC即為EF長度;(2)過C作ECG120交E
38、B延長線于點(diǎn)G,根據(jù)SAS證BCGDCF,得出EGEC,即可得證BE+EDEC;(3)根據(jù)PEC為直角三角形,得P到CE中點(diǎn)H距離為定值,求出Q到CH中點(diǎn)K距離為定值,當(dāng)AKQ三點(diǎn)共線時(shí)AQ最大,利用相似求出高QJ,再求出面積即可【解答】解:(1)CA繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60得到CD,ABC是等邊三角形,BCCD,BCD120,DBCBDC(180120)230,BE平分ABF,EBF(ABCDBC)15,EBCDBC+EBF30+1545,CEBC,BC2,F(xiàn)CBCtan302,ECBCtan452,EFECEF2;(2)如右圖2,過C作ECG120交EB延長線于點(diǎn)G,F(xiàn)BC30,F(xiàn)BC2ECD,EC
39、D15,BCEECGECD12015105,EBC15+3045,BEC180EBCBEC1804510530,ECG120,G180BECECG30,即GBEC,CGCE,ECGDCB,BCGDCE,BCDC,GCEC,BCGDCF (SAS),EDBG,EGEB+EDEG2ECcos30EC,EB+EDEC;(3)ACE45,EBC45,BCE105,過點(diǎn)C作CMBE于M,BC2,BMCM,CE2CM2,取CE中點(diǎn)H,取CH中點(diǎn)K,連接PH、QK,直角PEC,PHCE,Q、K分別為PC、HC中點(diǎn),QKPHCE,Q點(diǎn)軌跡是以K為圓心,為半徑的圓,當(dāng)Q在AK延長線和圓K交點(diǎn)時(shí)AQ最大,如圖3,
40、過K作KNAC,過Q作QJAC交AC延長線于點(diǎn)J,CKQK,ACBC2,ACE45,CNKNCKsin45,ANACCN2,AK,AK+QKAQ,當(dāng)A,K,Q三點(diǎn)在一直線上時(shí)AQ最大,AQ最大+,QAGQAJ,ANKAJQ90,AKNAQJ,即,解得JQ,ACQ面積211【分析】(1)如圖1中,過點(diǎn)D作DMAC于M,證明ADM是等腰直角三角形即可解決問題(2)如圖2中,取AD的中點(diǎn)H,連接BH,GH,EH證明EBG是底角為30的等腰三角形,即可解決問題(3)如圖3中,當(dāng)點(diǎn)D在射線CB上時(shí),點(diǎn)E在射線BE上運(yùn)動(dòng),此時(shí)EBC30,當(dāng)點(diǎn)C,H,N三點(diǎn)共線時(shí),CH+AHCH+HN最短,此時(shí)點(diǎn)E也在線段
41、CN上,由此即可解決問題【解答】(1)解:如圖1中,過點(diǎn)D作DMAC于M,在RtCDM中,DCA60,DC6,CM3,DM3,OA是DAE的角平分線,DAEBAC30,DAO15,DAC45,AMD90,AMDM3,ADAM3(2)證明:如圖2中,取AD的中點(diǎn)H,連接BH,GH,EHABC+AED180,BAE+BDE180,BAE+FAB180,F(xiàn)ABBDE,F(xiàn)BBE,F(xiàn)BEABD90,F(xiàn)BAEBD,ABBD,F(xiàn)ABEDB(SAS),AFDE,BFBE,在RtABD和RtAED中,EAD30,BAD45,點(diǎn)H為AD的中點(diǎn),BHAD,BHEHAD,DACDHG15,G為CD的中點(diǎn),ACHG,D
42、ACDHG15,BHGBHDGHD901575,EHGEHD+DHG60+1575,BHGEHG,且BHE150,BHGEHG(SAS),BGEG,GBEGEBHBDHBE30,EBG是底角為30的等腰三角形,BEGE,DE+AEAF+AEEFBEGE(3)解:如圖3中,當(dāng)點(diǎn)D在射線CB上時(shí),點(diǎn)E在射線BE上運(yùn)動(dòng),此時(shí)EBC30,則線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段EH,則點(diǎn)H在AB上運(yùn)動(dòng),在點(diǎn)A的左側(cè)作射線AM,使得BAM30,過點(diǎn)H作HNAM于N,當(dāng)點(diǎn)C,H,N三點(diǎn)共線時(shí),CH+AHCH+HN最短,此時(shí)點(diǎn)E也在線段CN上,則BCH30,AHCH2BH,3BH6,BH2,過點(diǎn)E作EGBH于
43、G,則EG,SABEABEG6312【分析】(1)作BGCE交CE延長線于G,求出BG的長即為B到直線CE的距離;(2)先證CDFHDB,得出BHCF,再根據(jù)SAS證HCBEAC,根據(jù)角的關(guān)系導(dǎo)出EOC90,進(jìn)而得出AECF;(3)當(dāng)O為ABC的中垂線交點(diǎn)時(shí)OC+OA+OG的值最小,根據(jù)數(shù)據(jù)求值即可【解答】解:(1)如圖1,作BGCE交CE延長線于G,ACD+DCB90,DCB+BCE90,ACDBCE,又ACBC,CDCE,CDACEB(SAS),BEAD,CEBCDA,CDE45,CDA135CEB,GEB180CEB18013545,BGBEsin45,即點(diǎn)B到直線CE的距離為;(2)如
44、圖2,延長DC,使CHDC,連接BH,設(shè)EA交CF于O,CDFHDB,CDFHDB,F(xiàn)CDBHD,BHCF,HCBECH+ECB,ECAECB+BCA,ECHBCA90,HCBECA,又CHCE,BCAC,HCBEAC(SAS),BHCCEA,BHCFCD,BHCFCDCEA,ECF+FCDECD90,ECA+ECF90,CEA+ECF+EOC180,EOC90,AECF;(3)如圖3,OG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90且OG2OG,即OOOG,作AGAG,且AG2AG,并延長AG交BC于M,OGA+AGO90,AGO+AGO90,AOGAOG,且相似比為1:2,OA2OA,即OC+OO+OAOC+2OA+O
45、G,OC+OA+OG(OC+2OA+OG),當(dāng)OC+OO+OA最小時(shí),OC+OA+OG有最小值,即當(dāng)OO在線段CA上時(shí)OC+OA+OG有最小值,最小值為AC,作AHCB延長線于H,ABC為等腰直角三角形,MBG45,又GMAB,MGB為等腰直角三角形,AC8,AG7,AB8,MGBGABAG87,MBBG2,AG2AG14,AMAG+MG15,HMA45,AMH為等腰直角三角形,AHMHAM15,CHBC+MHMB21,AC3,OC+OA+OG的最小值為AC313【分析】(1)根據(jù)SAS證ABEACD,再證出BEBC,然后根據(jù)tanBDE,設(shè)BE8xCD,解出x即可;(2)連接BE,過點(diǎn)A作A
46、GAF,交CF于點(diǎn)G,根據(jù)SAS證ABMACN,再同理證ABFACG,得出AD+BEGF+BFGF+CGCF,即可得證;(3)在AC上取點(diǎn)M,使ACAM,將BM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得BN,連接MN,R為MN的中點(diǎn),根據(jù)旋轉(zhuǎn)和等邊三角形的性質(zhì)得證BKRBPM和MCDACC,得出邊的比例關(guān)系即可求出CK最大值【解答】解:(1)如圖1,連接BE,AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到AE,ADAE,DAE90BAD+BAE,在RtABC中,BAC90,ABAC,BAD+CAD90,CADBAE(同角的補(bǔ)角相等),在ABE和ACD中,ABEACD(SAS),ABEC,BECD,在RtABC中,BAC90,C+
47、ABC90,ABE+ABC90,BEBC,在RtBDE中,tanBDE,設(shè)BE8xCD,則BD11x,BCBD+CD,BC4,11x+8x4,解得x,CD8;(2)證明:如圖2,連接BE,過點(diǎn)A作AGAF,交CF于點(diǎn)G,由(1)得,BEBC,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),BFDE(直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半),同理AFDE,BFAF,ABFBAF,BAC90,點(diǎn)M在CA的延長線上,BAM90BAF+MAF,在RtABM中,ABM+AMB90,AMBMAF,F(xiàn)MAF,F(xiàn)MBFDF,BMDFDM,MBDFDB,在BDM中,BMD+MBD+BDM180,BMD+MBD+FDB+FDM180,2FDM+2
48、FDB180,F(xiàn)DM+FDB90BMD,MDBD,AMNANMBMD45,AMAN,在ABM和ACN中,ABMACN(SAS),ABMACN,同理ABFACG(ASA),BFCG,AFAG,EGAF,ADAF,CGAD,AD+BEGF+BFGF+CGCF,故AD+BFCF;(3)如圖3,在AC上取點(diǎn)M,使ACAM,即構(gòu)造ABM30,AMB60的RtABM,將BM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得BN,連接MN,R為MN的中點(diǎn),AB2,ABAC,AMMR2,CMACAM22,過點(diǎn)C作CTMR于點(diǎn)T,由BM繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得BN知,BMN為等邊三角形,BMN60,CMT180AMBBMN60,MTCMcos60CM1,CTMTtan60MT3,RTMRMT3,CTRT,即RCT為等腰直角三角形,CRCT3,MCPACC,CACCMT60,MCDACC,PMC
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