十種算法課件

1、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中應(yīng)當(dāng)掌握的十類算法 ：1、蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機(jī)性模擬算法，是通過計(jì)算機(jī)仿真來解決問題的算法，同時(shí)可以通過模擬來檢驗(yàn)自己模型的正確性，是比賽時(shí)必用的方法）2、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具）3、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題（建模競(jìng)賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時(shí)候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實(shí)現(xiàn)） 4、圖論算法（這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需

2、要認(rèn)真準(zhǔn)備）5、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分支定界等計(jì)算機(jī)算法（這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中）6、最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對(duì)于有些問題非常有幫助，但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難，需慎重使用）7、網(wǎng)格算法和窮舉法（網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競(jìng)賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級(jí)語言作為編程工具）8、一些連續(xù)離散化方法（很多問題都是實(shí)際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代

3、替積分等思想是非常重要的）9、數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級(jí)語言進(jìn)行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進(jìn)行調(diào)用）10、圖象處理算法（賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進(jìn)行處理） 十類算法的詳細(xì)說明1、蒙特卡羅方法（MC）（Monte Carlo）：蒙特卡羅（Monte Carlo）方法，或稱計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。這一方法源于美國(guó)在第二次世界大戰(zhàn)進(jìn)行研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)

4、學(xué)家馮諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥的Monte Carlo來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。蒙特卡羅方法的基本原理及思想如下：當(dāng)所要求解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的期望值時(shí)，它們可以通過某種“試驗(yàn)”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個(gè)隨機(jī)變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。蒙特卡羅方法通過抓住事物運(yùn)動(dòng)的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學(xué)方法來加以模擬，即進(jìn)行一種數(shù)字模擬實(shí)驗(yàn)。它是以一個(gè)概率模型為基礎(chǔ)，按照這個(gè)模型所描繪的過程，通過模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，作為問題的近似解。可以把蒙特卡羅解題歸結(jié)為三個(gè)主要步驟： 構(gòu)造或描述概率過程；實(shí)現(xiàn)從已知概率分布

5、抽樣；建立各種估計(jì)量。例. 蒲豐氏問題 為了求得圓周率值，在十九世紀(jì)后期，有很多人作了這樣的試驗(yàn)：將長(zhǎng)為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（ la）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準(zhǔn)確的關(guān)系式： 求出值 其中為投計(jì)次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表 ：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929 每次投針試驗(yàn)，實(shí)際上變成在計(jì)算機(jī)

6、上從兩個(gè)均勻分布的隨機(jī)變量中抽樣得到（x,），然后定義描述針與平行線相交狀況的隨機(jī)變量s(x,)，為 如果投針次，則 是針與平行線相交概率的估計(jì)值。事實(shí)上， 于是有 因此，可以通俗地說，蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分，即將所要計(jì)算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機(jī)變量(r)的數(shù)學(xué)期望 通過某種試驗(yàn)，得到個(gè)觀察值r1，r2，rN（用概率語言來說，從分布密度函數(shù)f(r)中抽取個(gè)子樣r1，r2，rN，），將相應(yīng)的個(gè)隨機(jī)變量的值g(r1)，g(r2)，g(rN)的算術(shù)平均值 作為積分的估計(jì)值（近似值）。 用比較抽象的概率語言描述蒙特卡羅方法解題的步驟如下：構(gòu)造一個(gè)概率空間(W ,A,

7、P)，其中，W 是一個(gè)事件集合，A是集合W 的子集，P是在A上建立的某個(gè)概率測(cè)度；在這個(gè)概率空間中，選取一個(gè)隨機(jī)變量q (w ), 使得這個(gè)隨機(jī)變量的期望值正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的簡(jiǎn)單子樣的算術(shù)平均值作為Q 的近似值。舉個(gè)例子就是97 年的A 題，每個(gè)零件都有自己的標(biāo)定值，也都有自己的容差等級(jí)，而求解最優(yōu)的組合方案將要面對(duì)著的是一個(gè)極其復(fù)雜的公式和108 種容差選取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最優(yōu)的方案呢？隨機(jī)性模擬搜索最優(yōu)方案就是其中的一種方法，在每個(gè)零件可行的區(qū)間中按照正態(tài)分布隨機(jī)的選取一個(gè)標(biāo)定值和選取一個(gè)容差值作為一種方案，然后通過蒙特卡羅算法仿真出大量的方

8、案，從中選取一個(gè)最佳的。因此，研究能在搜索過程中自動(dòng)獲取和積累有關(guān)搜索空間的知識(shí)，并自適應(yīng)地控制搜索過程，從而得到最優(yōu)解地通用搜索方法一直是令人矚目地課題。遺傳算法就是這種特別有效地算法。生物的進(jìn)化是一個(gè)奇妙的優(yōu)化過程，它通過選擇淘汰，突然變異，基因遺傳等規(guī)律產(chǎn)生適應(yīng)環(huán)境變化的優(yōu)良物種。遺傳算法是根據(jù)生物進(jìn)化思想而啟發(fā)得出的一種全局優(yōu)化算法。盡管遺傳算法本身在理論和應(yīng)用方法上仍有許多待進(jìn)一步研究地問題，但它已在很多領(lǐng)域地應(yīng)用中展現(xiàn)了其特色和魅力。遺傳算法的基本概念遺傳算法的基本思想是基于Darwin進(jìn)化論和Mendel的遺傳學(xué)說的。Darwin進(jìn)化論最重要的是適者生存原理。它認(rèn)為每一物種在發(fā)展

9、中越來越適應(yīng)環(huán)境。物種每個(gè)個(gè)體的基本特征由后代所繼承，但后代又會(huì)產(chǎn)生一些異于父代的新變化。在環(huán)境變化時(shí)，只有那些能適應(yīng)環(huán)境的個(gè)體特征方能保留下來。Mendel遺傳學(xué)說最重要的是基因遺傳原理。它認(rèn)為遺傳以密碼方式存在細(xì)胞中，并以基因形式包含在染色體內(nèi)。每個(gè)基因有特殊的位置并控制某種特殊性質(zhì)；所以，每個(gè)基因產(chǎn)生的個(gè)體對(duì)環(huán)境具有某種適應(yīng)性?；蛲蛔兒突螂s交可產(chǎn)生更適應(yīng)于環(huán)境的后代。經(jīng)過存優(yōu)去劣的自然淘汰，適應(yīng)性高的基因結(jié)構(gòu)得以保存下來。由于遺傳算法是由進(jìn)化論和遺傳學(xué)機(jī)理而產(chǎn)生的直接搜索優(yōu)化方法；故而在這個(gè)算法中要用到各種進(jìn)化和遺傳學(xué)的概念。這些概念如下：一、串(String) 它是個(gè)體(Indiv

10、idual)的形式，在算法中為二進(jìn)制串，并且對(duì)應(yīng)于遺傳學(xué)中的染色體(Chromosome)。二、群體(Population) 個(gè)體的集合稱為群體，串是群體的元素三、群體大小(Population Size) 在群體中個(gè)體的數(shù)量稱為群體的大小。四、基因(Gene) 基因是串中的元素，基因用于表示個(gè)體的特征。例如有一個(gè)串S1011，則其中的1，0，1，1這4個(gè)元素分別稱為基因。它們的值稱為等位基因(Alletes)。五 、基因位置(Gene Position) 一個(gè)基因在串中的位置稱為基因位置，有時(shí)也簡(jiǎn)稱基因位。基因位置由串的左向右計(jì)算，例如在串S1101中，0的基因位置是3。基因位置對(duì)應(yīng)于遺傳學(xué)

11、中的地點(diǎn)(Locus)。六、基因特征值(Gene Feature) 在用串表示整數(shù)時(shí)，基因的特征值與二進(jìn)制數(shù)的權(quán)一致；例如在串S=1011中，基因位置3中的1，它的基因特征值為2；基因位置1中的1，它的基因特征值為8。七、串結(jié)構(gòu)空間SS 在串中，基因任意組合所構(gòu)成的串的集合?；虿僮魇窃诮Y(jié)構(gòu)空間中進(jìn)行的。串結(jié)構(gòu)空間對(duì)應(yīng)于遺傳學(xué)中的基因型(Genotype)的集合。八、參數(shù)空間SP 這是串空間在物理系統(tǒng)中的映射，它對(duì)應(yīng)于遺傳學(xué)中的表現(xiàn)型(Phenotype)的集合。九、非線性 它對(duì)應(yīng)遺傳學(xué)中的異位顯性(Epistasis)十、適應(yīng)度(Fitness) 表示某一個(gè)體對(duì)于環(huán)境的適應(yīng)程度。三、遺傳算法

12、的步驟 1初始化選擇一個(gè)群體，即選擇一個(gè)串或個(gè)體的集合bi，i=1，2，.n。這個(gè)初始的群體也就是問題假設(shè)解的集合。一般取n30-160。通常以隨機(jī)方法產(chǎn)生串或個(gè)體的集合bi,i1，2，.n。問題的最優(yōu)解將通過這些初始假設(shè)解進(jìn)化而求出。2選擇根據(jù)適者生存原則選擇下一代的個(gè)體。在選擇時(shí)，以適應(yīng)度為選擇原則。適應(yīng)度準(zhǔn)則體現(xiàn)了適者生存，不適應(yīng)者淘汰的自然法則。給出目標(biāo)函數(shù)f，則f(bi)稱為個(gè)體bi的適應(yīng)度。以 為選中bi為下一代個(gè)體的次數(shù)。 顯然：(1)適應(yīng)度較高的個(gè)體，繁殖下一代的數(shù)目較多。(2)適應(yīng)度較小的個(gè)體，繁殖下一代的數(shù)目較少；甚至被淘汰。這樣，就產(chǎn)生了對(duì)環(huán)境適應(yīng)能力較強(qiáng)的后代。對(duì)于問題

13、求解角度來講，就是選擇出和最優(yōu)解較接近的中間解。選擇的方法有：適應(yīng)度比例法 期望值法 排位次法 精華保存法 3交叉對(duì)于選中用于繁殖下一代的個(gè)體，隨機(jī)地選擇兩個(gè)個(gè)體的相同位置，按交叉概率P。在選中的位置實(shí)行交換。這個(gè)過程反映了隨機(jī)信息交換；目的在于產(chǎn)生新的基因組合，也即產(chǎn)生新的個(gè)體。交叉時(shí)，可實(shí)行單點(diǎn)交叉或多點(diǎn)交叉。例如有個(gè)體S1=100101S2=010111選擇它們的左邊3位進(jìn)行交叉操作，則有S1=010101S2=100111一般而言，交叉概率P，取值為0.250.75。4變異根據(jù)生物遺傳中基因變異的原理，以變異概率Pm對(duì)某些個(gè)體的某些位執(zhí)行變異。在變異時(shí)，對(duì)執(zhí)行變異的串的對(duì)應(yīng)位求反，即把

14、1變?yōu)?，把0變?yōu)?。變異概率Pm與生物變異極小的情況一致，所以，Pm的取值較小，一般取0.01-0.2。例如有個(gè)體S101011。對(duì)其的第1，4位置的基因進(jìn)行變異，則有S=001111 單靠變異不能在求解中得到好處。但是，它能保證算法過程不會(huì)產(chǎn)生無法進(jìn)化的單一群體。因?yàn)樵谒械膫€(gè)體一樣時(shí)，交叉是無法產(chǎn)生新的個(gè)體的，這時(shí)只能靠變異產(chǎn)生新的個(gè)體。也就是說，變異增加了全局優(yōu)化的特質(zhì)。5全局最優(yōu)收斂(Convergence to the global optimum) 當(dāng)最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度達(dá)到給定的閥值，或者最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度和群體適應(yīng)度不再上升時(shí)，則算法的迭代過程收斂、算法結(jié)束。否則，用經(jīng)過選擇、交叉

15、、變異所得到的新一代群體取代上一代群體，并返回到第2步即選擇操作處繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行。遺傳算法基本處理流程圖如下：二、遺傳算法的應(yīng)用關(guān)鍵遺傳算法在應(yīng)用中最關(guān)鍵的問題有如下3個(gè)1串的編碼方式這本質(zhì)是問題編碼。一般把問題的各種參數(shù)用二進(jìn)制編碼，構(gòu)成子串；然后把子串拼接構(gòu)成“染色體”串。串長(zhǎng)度及編碼形式對(duì)算法收斂影響極大。2適應(yīng)函數(shù)的確定適應(yīng)函數(shù)(fitness function)也稱對(duì)象函數(shù)(object function)，這是問題求解品質(zhì)的測(cè)量函數(shù)；往往也稱為問題的“環(huán)境”。一般可以把問題的模型函數(shù)作為對(duì)象函數(shù)；但有時(shí)需要另行構(gòu)造。3遺傳算法自身參數(shù)設(shè)定遺傳算法自身參數(shù)有3個(gè)，即群體大小n、交叉概率

16、Pc和變異概率Pm。群體大小n太小時(shí)難以求出最優(yōu)解，太大則增長(zhǎng)收斂時(shí)間。一般n30-160。交叉概率Pc太小時(shí)難以向前搜索，太大則容易破壞高適應(yīng)值的結(jié)構(gòu)。一般取Pc=0.25-0.75。變異概率Pm太小時(shí)難以產(chǎn)生新的基因結(jié)構(gòu)，太大使遺傳算法成了單純的隨機(jī)搜索。一般取Pm00102。matlab遺傳算法工具箱函數(shù)及實(shí)例講解 核心函數(shù)： (1)function pop=initializega(num,bounds,eevalFN,eevalOps,options)-初始種群的生成函數(shù) 【輸出參數(shù)】 pop-生成的初始種群 【輸入?yún)?shù)】 num-種群中的個(gè)體數(shù)目 bounds-代表變量的上下界的矩

17、陣 eevalFN-適應(yīng)度函數(shù) eevalOps-傳遞給適應(yīng)度函數(shù)的參數(shù) options-選擇編碼形式(浮點(diǎn)編碼或是二進(jìn)制編碼)precision F_or_B,如 precision-變量進(jìn)行二進(jìn)制編碼時(shí)指定的精度 F_or_B-為1時(shí)選擇浮點(diǎn)編碼，否則為二進(jìn)制編碼,由precision指定精度) 2)function x,endPop,bPop,traceInfo = ga(bounds,evalFN,evalOps,startPop,opts,. termFN,termOps,selectFN,selectOps,xOverFNs,xOverOps,mutFNs,mutOps)-遺傳算法

18、函數(shù) 【輸出參數(shù)】 x-求得的最優(yōu)解 endPop-最終得到的種群 bPop-最優(yōu)種群的一個(gè)搜索軌跡 【輸入?yún)?shù)】 bounds-代表變量上下界的矩陣 evalFN-適應(yīng)度函數(shù) evalOps-傳遞給適應(yīng)度函數(shù)的參數(shù) startPop-初始種群 optsepsilon prob_ops display-opts(1:2)等同于initializega的options參數(shù)，第三個(gè)參數(shù)控制是否輸出，一般為0。如1e-6 1 0 termFN-終止函數(shù)的名稱,如maxGenTerm termOps-傳遞給終止函數(shù)的參數(shù),如100 selectFN-選擇函數(shù)的名稱,如normGeomSelect se

19、lectOps-傳遞給選擇函數(shù)的參數(shù),如0.08 xOverFNs-交叉函數(shù)名稱表，以空格分開，如arithXover heuristicXover simpleXover xOverOps-傳遞給交叉函數(shù)的參數(shù)表，如2 0;2 3;2 0 mutFNs-變異函數(shù)表，如boundaryMutation multiNonUnifMutation nonUnifMutation unifMutation mutOps-傳遞給交叉函數(shù)的參數(shù)表,如4 0 0;6 100 3;4 100 3;4 0 0 【問題】求f(x)=x+10*sin(5x)+7*cos(4x)的最大值，其中0=x=9 【分析】選

20、擇二進(jìn)制編碼，種群中的個(gè)體數(shù)目為10，二進(jìn)制編碼長(zhǎng)度為20，交叉概率為0.95,變異概率為0.08 【程序清單】 %編寫目標(biāo)函數(shù) functionsol,eval=fitness(sol,options) x=sol(1); eval=x+10*sin(5*x)+7*cos(4*x); %把上述函數(shù)存儲(chǔ)為fitness.m文件并放在工作目錄下 initPop=initializega(10,0 9,fitness);%生成初始種群，大小為10 x endPop,bPop,trace=ga(0 9,fitness,initPop,1e-6 1 1,maxGenTerm,25,normGeomSe

21、lect,. 0.08,arithXover,2,nonUnifMutation,2 25 3) %25次遺傳迭代 因此，問題的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)雙目標(biāo)優(yōu)化：minz1=Q(x)minz2=-R(x)s.t二、模型求解對(duì)于上述雙目標(biāo)優(yōu)化模型這類問題大多用某種方式化為單目標(biāo)問題來求解，主要有以下三種：（1）固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益；（2）固定贏利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)；（3）確定投資者對(duì)風(fēng)方法險(xiǎn)收益的相對(duì)偏好系數(shù)。前（1）、（2）兩種方法分別是以犧牲某一目標(biāo)來達(dá)到另一目標(biāo)的優(yōu)化，而對(duì)第三種則由于決策者很難知道偏好系數(shù)具體的值。 故這三種方法都不太理想， 下面我們考慮用遺傳算法來解決這個(gè)問題。 由于在雙目標(biāo)情

22、況下，兩目標(biāo)通常本質(zhì)上是相互矛盾的，最優(yōu)解需要替代為非劣解，即對(duì)于任何目標(biāo)函數(shù)在不犧牲其它目標(biāo)的情況下就不能改進(jìn)的解。三個(gè)定義定義1：非劣解：可行解定義2：正理想解：正理想解由所有可達(dá)到的最好的目標(biāo)值構(gòu)成定義3：負(fù)理想解：負(fù)理想解由所有可達(dá)到的最壞的目標(biāo)值構(gòu)成 我們考慮用遺傳算法產(chǎn)生整個(gè)非劣解的集合，或近似的集合，然后讓決策者自己來選擇最好地表達(dá)他對(duì)各個(gè)目標(biāo)的權(quán)衡取舍的非劣解。 對(duì)于這個(gè)雙目標(biāo)規(guī)劃問題可采用自適應(yīng)移動(dòng)線技術(shù)建立一種求加權(quán)和的方法，這種方法可迫使遺傳搜索去探索目標(biāo)空間中非劣解的集合?？偟牟襟E：步驟1： 構(gòu)造染色體，產(chǎn)生初始種群：選用二進(jìn)制編碼，隨機(jī)產(chǎn)生一組染色體xk放入集合E中步

23、驟2：染色體交叉，對(duì)上面產(chǎn)生的種群按交叉概率pc 選擇“個(gè)體對(duì)”進(jìn)行單點(diǎn)交叉。一般取pc從0.25到1.00之間。步驟3： 染色體變異：為使群體保持多樣性，可按變異率pm進(jìn)行變異（可隨機(jī)選擇變異點(diǎn)）步驟4：更新集合E：1）對(duì)雙親和后代的每個(gè)染色體計(jì)算兩個(gè)目標(biāo)的值；（2）將新的非劣解加入E，從而更新E并從E刪去劣點(diǎn)；（3）確定集合E 中新的特殊點(diǎn)步驟5：評(píng)估：按公式計(jì)算雙親和后代的每個(gè)染色體的適值。步驟6 ：選擇：（1）刪去所有重復(fù)的染色體；（2）按降序排列余下的染色體；（3）選擇前pop_size 個(gè)染色體組成新的種群.步驟7: 檢查終止條件：若運(yùn)行次數(shù)已達(dá)預(yù)先確定的代數(shù)目則停止，否則轉(zhuǎn)步驟2

24、 故運(yùn)用該算法若干次后最終能得到一個(gè)非劣解集，供決策者參考.遺傳算法從多個(gè)初始點(diǎn)開始尋優(yōu)，沿多路徑搜索，可獲全局或準(zhǔn)全局最優(yōu)解. 我們可類似地用上述算法獲得多目標(biāo)規(guī)劃模型的非劣解集合.3、數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等算法數(shù)據(jù)擬合在很多賽題中有應(yīng)用，與圖形處理有關(guān)的問題很多與擬合有關(guān)系，一個(gè)例子就是98 年美國(guó)賽A 題，生物組織切片的三維插值處理，94 年A 題逢山開路，山體海拔高度的插值計(jì)算，還有吵的沸沸揚(yáng)揚(yáng)可能會(huì)考的“非典”問題也要用到數(shù)據(jù)擬合算法，觀察數(shù)據(jù)的走向進(jìn)行處理。此類問題在MATLAB中有很多現(xiàn)成的函數(shù)可以調(diào)用，熟悉MATLAB，這些方法都能游刃有余的用好。4、規(guī)劃類問題算法競(jìng)賽中很多問題都和數(shù)學(xué)規(guī)劃有關(guān)，可以說不少的模型都可以歸結(jié)為一組不等式作為約束條件、幾個(gè)函數(shù)表達(dá)式作為目標(biāo)函數(shù)的問題，遇到這類問題，求解就是關(guān)鍵了，比如98年B 題，用很多不等式完全可以把問題刻畫清楚，因此列舉出規(guī)劃后