2022年圓的方程知識點及題型歸納總結

1、圓的方程知識點及題型歸納總結知識點精講一、基本概念平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式1.圓的四種方程（1）圓的原則方程：，圓心坐標為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注 對于圓的最值問題，往往可以運用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后運用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2.點與圓的位置關系判斷（1）點與圓的

2、位置關系：點P在圓外；點P在圓上；點P在圓內(nèi).（2）點與圓的位置關系：點P在圓外；點P在圓上；點P在圓內(nèi).題型歸納及思路提示題型1 求圓的方程思路提示（1）求圓的方程必須具有三個獨立的條件，從圓的原則方程上來講，核心在于求出圓心坐標(a,b)和半徑r；從圓的一般方程來講，必須懂得圓上的三個點.因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的措施.（2）用幾何法來求圓的方程，要充足運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形等.例9.17 根據(jù)下列條件求圓的方程：（1）的三個頂點分別為A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圓的方程；（2）通過點

3、A(6,5),B(0,1),且圓心在直線3x+10y+9=0上；（3）通過點P(-2,4),Q(3,-1),且在x軸上截得的弦長等于6.分析 根據(jù)待定系數(shù)法求出相應的量即可.解析 （1）解法一：設所求圓的方程為，則由題意有，解得故所求圓的方程為解法二：由題意可求得AC的中垂線方程為x=2,BC的中垂線方程為x+y-3=0，因此圓心是兩條中垂線的交點P(2,1),且半徑因此所求圓的方程為即（2）AB的中垂線與AB垂直，則斜率AB的中點(3,3)，則由點斜式可得，即線段AB的中垂線方程為3x+2y-15=0由，解得，因此圓心為C(7,-3),又故所求的圓的方程為（3）設圓的方程為，將點P，Q的坐標

4、分別代入，得，又令y=0,得.設是方程的兩根，則由韋達定理有，由有，即解得或故所求圓的方程為或評注 圓的方程有兩種形式：原則方程和一般方程.求圓的方程問題一般采用待定系數(shù)法，并有兩種不同的選擇，一般地，已知圓 上的三點時用一般方程；已知圓心或半徑關系時用原則方程.即一方面設出圓的方程（原則方程或一般方程），然后根據(jù)題意列出有關圓的方程中參數(shù)的方程（組），解方程或方程組即可求得圓的方程.一般地，擬定一種圓需要三個獨立的條件.變式1 求過點A(6,0),B(1,5),且圓心在直線上的圓的方程.變式2 在平面直角坐標系xOy中，曲線與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程例9.18 已知圓的半徑為，圓

5、心在直線y=2x上，圓被直線y=x截得的弦長為，求此圓的方程.分析 求圓的原則方程，就是求中的a,b,r，可優(yōu)先考慮待定系數(shù)法.解析 解法一：設圓的方程為.由圓心在直線y=2x上，得b=2a（）由圓在直線y=x上截得的弦長為，將y=x代入，整頓得由弦長公式，得即，化簡得（）由式可得或故所求圓的方程為或解法二：據(jù)幾何性質(zhì)，半徑、弦長的一半、弦心距構成直角三角形，可得弦心距，又弦心距等于圓心(a,b)到直線x-y=0的距離，即，又已知b=2a，解得或故所求圓的方程為或評注 注意靈活運用垂徑定理來簡化圓中弦長的求解過程.變式1 求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為的

6、圓的方程例9.19 圓有關直線2x-y+3=0對稱的圓的方程是（ ）A.B.C.D.解析 解法一：（推演法）將圓的方程化為原則方程，得圓心為(1,0)，半徑為，設對稱圓的圓心坐標為(a,b)，則,得.故對稱圓的方程是解法二：（排除法）將圓的方程化為原則方程,得,則對稱圓的半徑也應為，故排除選項A,B，在選項C中，圓心為(-3,2)，驗證兩圓圓心所在的直線的斜率為，與直線垂直.故選C評注 根據(jù)圓的性質(zhì)求圓有關直線的對稱圓的方程問題，一般轉(zhuǎn)化為求圓心有關直線對稱點的問題，半徑保持不變.變式1 若不同兩點P,Q的坐標分別為，,則線段PQ的垂直平分線l的斜率為_，圓有關直線l對稱的圓的方程為_題型2

7、直線系方程和圓系方程思路提示求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是運用它們的直線系方程（圓系方程）.（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：簡記為： 當時，簡記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A,B兩點，則過A,B兩點的圓系方程為：簡記為：，不含當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注 與圓C共根軸l的圓系例9.20 （1）設直線與直線相交于點P,求過點P且與直線平行的直線的方程.（2）求圓心在直線上且過兩圓與的交點的圓的方程.分析 把兩條直線（圓）的方程聯(lián)立，解得直線（圓）的交點坐標的措施看似平常，實則復雜難

8、解，而運用直線系（圓系）方程的概念，則較易求得答案.解析 （1）解法一：由，得交點.由于，故設，又過點，故，得即解法二：設，即由于，因此，得，故(2)設所求圓為化為一般式因此，故圓心為代入直線中，得解得，把代入所設的方程中，得故所求圓的方程為評注 直線系或圓系是具有共同性質(zhì)的直線或圓的集合，在解題過程中合適運用直線系或圓系方程，往往可以簡化運算，迅速得出結論.變式1 過直線和圓的交點且面積最小的圓的方程是_變式2 （1）設直線與直線相交于點P，求過點P且與直線垂直的直線的方程.（2）已知圓，若直線與圓C相交于A,B兩點，且（O為坐標原點），求m的值和以AB為直徑的圓的方程.題型3 與圓有關的軌

9、跡問題思路提示要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x,y的等量關系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動點有關的數(shù)量關系，是解決此類問題的核心所在.例9.21（北京豐臺高三期末理18）在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，動點P與兩個定點的距離之比為.（1）求動點P的軌跡W的方程；（2）若直線與曲線W交于A,B兩點，在曲線W上與否存在 一點Q，使得，若存在，求出此時直線l的斜率；若不存在，闡明理由.解析 （1）設點P的坐標為，由題意知，即即（2）由于直線與曲線W相交于A,B兩點，因此即或 假設曲線W上存在點Q，使得由于A,B在圓上，因此，且由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形OA

10、QB為菱形，因此OQ與AB互相垂直平分.故，即，解得，符合式因此存在點Q，使得評注 在平面上到兩定點的距離之比不為1的正數(shù)的動點軌跡為圓.變式1 在中，若，則的最大值為_變式2 （北京石景山一模理8）如圖9-10所示，已知平面是l上的兩個點，C,D在平面內(nèi)，且,AD=4,AB=6,BC=8，在平面上有一種動點P，使得，則P-ABCD體積的最大值是（ ）A.B.16C.48D.144例9.22 如圖9-11所示，已知P(4,0)是圓內(nèi)的一點，A,B是圓上兩動點，且滿足，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程解析 解法一：設AB的中點為R,點Q的坐標為(x,y),則在中，又由于R是弦AB的中點，由垂徑定

11、理，在中，又(*),得,故則矩形的頂點Q的軌跡方程是解法二：設AB的中點為R，Q的坐標為(x,y),則，在矩形中有在中，則，即評注 式（*）的根據(jù)是，平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和.在矩形APBQ中，O為矩形外一點，有變式1 已知圓上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)的一定點，P，Q為圓上的動點.（1）求線段AP中點M的軌跡方程；（2）若，求線段PQ中點N的軌跡.變式2 已知點P(0,5)及圓（1）直線l過P且被圓C截得的線段長，求l的方程；（2）求過點P的圓C的動弦的中點M的軌跡方程.題型4 用二元二次方程表達圓的一般方程的充要條件思路提示方程表達圓的充要條件是，故在解決圓的

12、一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為，半徑例9.23方程表達圓，則a的取值范疇是（ ）A.B.C.D.解析 由可得即，得 .故選D評注 對于用二元二次方程表達圓的方程的充要條件的不等式不需要記憶，只需通過配方，然后讓右邊不小于零即可變式1 方程表達圓的方程的充要條件是（ ）A.B.C.D. 變式2 若圓有關直線對稱，則實數(shù)a 的值為_題型5 點與圓的位置關系判斷思路提示在解決點與圓的位置關系問題時，應注意圓的不同方程形式相應的不同判斷措施，此外還應注意其她約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約.例9.24 若點A(1,1)在圓的內(nèi)部，則實數(shù)a 的取值范

13、疇是（ ）A.B.C.D.解析 點A(1,1)在圓內(nèi)部，滿足，即，解得故選A評注 判斷點與圓的位置關系的代數(shù)措施為若點在圓上,則；若點在圓外,則；若點在圓內(nèi),則.反之也成立.變式1 點A(1,0)在圓上，則a的值為_變式2 過占P(1,2)可以向圓引兩條切線，則k的范疇是（ ）A.B.C.D.題型6 與圓有關的最值問題思路提示解決此類問題，應綜合運用方程消元法、幾何意義法、參數(shù)方程法等多種思想和措施求解，才干做到靈活、高效.例9.25 已知實數(shù)x,y滿足方程（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值分析 方程表達圓心為（2，0），半徑為的圓.的幾何意義是圓上一

14、點M(x,y)與原點連線的斜率；設y-x=b，可看作直線y=x+b在y軸上的截距；是圓上一點與原點距離的平方，可借助于平面幾何知識，運用數(shù)形結合的措施求解.解析 （1）原方程可化為，表達以點（2，0）為圓心，覺得半徑的圓.設，即.當直線與圓相切時，斜率最大值和最小值，此時，解得故的最大值為，最小值為（2）設y-x=b，即y=x+b，當y=x+b與圓相切時，縱截距b獲得最大值和最小值，此時，即，故y-x的最大值為，最小值為（3）解法一：（幾何法）表達圓上點與原點距離的平方，由平面幾何知識知它在原點與圓心連線與圓的兩個交點處獲得最大值和最小值，又圓心到原點的距離為2，故,解法二：（參數(shù)方程法）把圓

15、的方程化為原則方程設（為參數(shù),）則故當時，當時，解法三：（方程消元法）由圓的原則方程為，可得且故由故故所求最大值為，最小值為評注 波及與圓有關的最值，可借助圖形性質(zhì)，運用數(shù)形結合求解.一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點(a,b)的距離平方的最值問題變式1 若圓上任意一點(x,y)都使不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范疇是（ ）A.B.C.D.變式2 若圓上任意一點(x,y)都使不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范疇是（ ）A.B.C.D.題型7 數(shù)形結合思想的應用思路提示研究曲線的交

16、點個數(shù)問題常用數(shù)形結合法，即需要作出兩種曲線的圖像.在此過程中，特別要注意需對代數(shù)式進行等價變形，以防浮現(xiàn)錯誤.例9.26 方程表達的曲線是（ ）A.一條射線B.一種圓C.兩條射線D.半個圓分析 對于方程的變形要注意等價性，即在變形前，先制約變量的取值范疇解析 由題可知，且，故原方程表達圓心在（0，0），半徑為5的下半圓.故選D變式1 方程表達的曲線是（ ）A.一條射線B.一種圓C.兩條射線D.半個圓例9.27 直線與曲線有且僅有一種公共點，則b的取值范疇是（ ）A.B.C. D.分析 運用數(shù)形結合法求解解析 將曲線方程變形為，當直線與曲線相切時，滿足，整頓可得，即.如圖9-12所示，可得當或

17、時，直線與曲線有且僅有一種公共點.故選B變式1 當曲線與直線有兩個相異交點時，實數(shù)k的取值范疇是（ ）A.B.C.D.變式2 若直線與曲線有公共點，則b的取值范疇是（ ）A.B.C.D.變式3 設集合,，若，則實數(shù)m的取值范疇是_有效訓練題1.若直線y=kx與圓的兩個交點有關直線x+y+b=0對稱，則（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-22.若點(4a-1,3a+2)不在圓的外部，則a的取值范疇是（ ）A.B.C.D.3.設橢圓的離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點（ ）A.必在圓內(nèi)B.必在圓上C.必在圓外D.以上三種情形均有也許4.已知圓，過點A(4,0)作圓的割線ABC，則弦BC中點的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 5.已知兩點A(-1,0),B(0,2)，點P是圓上任意一點，則面積的最大值與最小值分別是（ ）A.B.C. D. 6.已知圓C的方程為，當圓心C到直