年高三數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí)專題課件9：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、1.了解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,熟記導(dǎo) 數(shù)基本公式,掌握導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算.2.能利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性,求單調(diào)區(qū)間,求函數(shù)的 極值和最值.3.能利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)案9 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2021/8/8 星期日1 1.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( ) A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+)解析 f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex) =(x-2)ex,令f(x)0,解得x2. D2021/8/8 星期日22.設(shè)ab,函數(shù)y=(x-a)2(x-b)的圖象可能是 （ ）解析 y=(x-a)(3x-2b-a),由y=0, 得x=a或 當(dāng)x=a

2、時(shí)，y取極大值0， 當(dāng) 時(shí),y取極小值且極小值為負(fù). 或當(dāng)xb時(shí),y0,當(dāng)xb時(shí)，y0. C2021/8/8 星期日33.(2009江西)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn) (1,g(1)處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn) (1,f(1)處切線的斜率為 ( ) A.4 B. C.2 D.解析 由已知g(1)=2,而f(x)=g(x)+2x, 所以f(1)=g(1)+21=4. A2021/8/8 星期日44.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f(x),f(0) 0,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)0,則 的最小值 為 ( ) A.3 B. C.2 D.

3、解析 因?yàn)閒(x)=2ax+b, 依題意,有 可得c0,C2021/8/8 星期日5題型一 曲線的切線與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題【例1】(2009全國(guó))已知函數(shù)f(x)=x4-3x2+6. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=f(x)上,若該曲線在點(diǎn)P處的切線l 通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求l的方程.2021/8/8 星期日6解 (1)f(x)=4x3-6x=4x(x+ )(x- ) 當(dāng)x(-, )和x(0, )時(shí),f(x)0; 當(dāng)x( ,0)和x( ,+)時(shí),f(x)0. 因此,f(x)在區(qū)間(-, )和(0, )上是減函數(shù), f(x)在區(qū)間( ,0)和( ,+)上是增函數(shù).2021/8/8

4、星期日7(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,f(x0),由l過(guò)原點(diǎn)知， l的方程為y=f(x0)x， 因此f(x0)=x0f(x0)， 因此切線l的方程為2021/8/8 星期日8【探究拓展】一般地,涉及到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及求曲 線在某點(diǎn)處的切線問(wèn)題,往往借助于導(dǎo)數(shù)這一重要工 具求解,通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū) 間,通過(guò)求出函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值,確定曲線在 此點(diǎn)處切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程. 2021/8/8 星期日9變式訓(xùn)練1 (2009安徽)已知函數(shù)f(x)=x- +a(2- ln x),a0,討論f(x)的單調(diào)性.解f(x)的定義域是(0,+), 設(shè)g(x)=x2-ax+2,二次方

5、程g(x)=0的判別式=a2-8. 當(dāng)=a2-80,即0a 時(shí)， 對(duì)一切x0都有f(x)0,此時(shí)f(x)在(0,+)上是 增函數(shù). 當(dāng)=a2-8=0,即a= 時(shí)， 僅對(duì)x = 有f(x)=0， 對(duì)其余的x0都有f(x)0， 此時(shí)f(x)在(0,+)上也是增函數(shù). 2021/8/8 星期日10當(dāng)=a2-80,即a時(shí)，方程g(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根此時(shí)f(x）在(0, )上單調(diào)遞增，在( )上單調(diào)遞減，在( ,+)上單調(diào)遞增. x(0,x1) x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x) +0-0+f(x)單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增2021/8/8 星期日11題型二 函數(shù)的極值與最值問(wèn)題【例

6、2】(2009山東)已知函數(shù)f(x)= ax3+bx2+x+3,其 中a0. (1)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),f(x)取得極值？ (2)已知a0,且f(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增,試用a 表示出b的取值范圍.解 (1)由已知得f(x)=ax2+2bx+1, 令f(x)=0,得ax2+2bx+1=0, f(x)要取得極值,方程ax2+2bx+1=0必須有解， 所以=4b2-4a0,即b2a, 此時(shí)方程ax2+2bx+1=0的根為2021/8/8 星期日12所以f(x)=a(x-x1)(x-x2).當(dāng)a0時(shí),f(x),f(x)隨x的變化情況如下表：所以f(x)在x1,x2處分別取得極大值和極小值.

7、 x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)2021/8/8 星期日13當(dāng)a0時(shí)，f(x),f(x)隨x的變化情況如下表：所以f(x)在x1,x2處分別取得極大值和極小值.綜上，當(dāng)a,b滿足b2a時(shí)，f(x)取得極值. x(-,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)-0+0-f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)2021/8/8 星期日14(2)要使f(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，需使f(x)=ax2+2bx+10在(0,1上恒成立. 2021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16【探究拓展】求解函數(shù)的極值與最

8、值問(wèn)題常常利用求 導(dǎo)的方法來(lái)解決,解決這類問(wèn)題的一般方法是:(1)分 析得出函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)是否可導(dǎo)，如可 導(dǎo)，則利用導(dǎo)函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解,否則利用 函數(shù)性質(zhì)求解；(3)如果一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一 個(gè)極值點(diǎn)，那么它也是相應(yīng)的最值點(diǎn). 2021/8/8 星期日17變式訓(xùn)練2 設(shè)關(guān)于x的方程2x2-ax-2=0的兩根分別為 (1)證明:f(x)在區(qū)間 上是增函數(shù)； (2)當(dāng)a為何值時(shí),f(x)在區(qū)間 上的最大值與最 小值之差最小. (1)證明 由方程2x2-ax-2=0的兩根分別為 知x 時(shí),2x2-ax-20,所以此時(shí)f(x)0, 所以f(x)在區(qū)間 上是增函數(shù). 2021/

9、8/8 星期日18(2)解 由(1)知在 上,f(x)是增函數(shù).則f(x)在區(qū)間 的最小值為 最大值為所以當(dāng)a=0時(shí),f(x)在區(qū)間 上的最大值與最小值之差最小，最小值為4. 2021/8/8 星期日19題型三 導(dǎo)數(shù)與不等式【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR),其中a、 bR. (1)當(dāng)a= 時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若函數(shù)f(x)僅在x=0處有極值,求a的取值范 圍； (3)若對(duì)于任意的a-2,2,不等式f(x)1在 -1,1上恒成立,求b的取值范圍.2021/8/8 星期日20解 (1)f(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4). f(x)=

10、x(4x2-10 x+4)=2x(2x-1)(x-2). 令f(x)=0,解得 x1=0, x2= ,x3=2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表：所以f(x)在(0, ),(2，+）內(nèi)是增函數(shù)，在（-,0),( ,2)內(nèi)是減函數(shù). x(-,0)02(2,+)f(x)-0+0-0+f(x)極小值極大值極小值2021/8/8 星期日21（2）f(x)=x(4x2+3ax+4),顯然x=0不是方程 4x2+3ax+4=0的根. 為使f(x)僅在x=0處有極值,必須有4x2+3ax+40恒成 立，即有=9a2-640. 解此不等式，得 這時(shí)，f(0)=b是唯一極值. 因此滿足條件的a的取

11、值范圍是 . 2021/8/8 星期日22(3)由條件a-2,2可知=9a2-640,從而4x2+3ax+40恒成立.當(dāng)x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f(x)0.因此函數(shù)f(x)在-1,1上的最大值是f(1)與f(-1)兩者中的較大者. 為使對(duì)任意的a-2,2,不等式f(x)1在-1,1上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)所以b-4, 因此滿足條件的b的取值范圍是（-，-4. 2021/8/8 星期日23【探究拓展】本小題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo) 數(shù)、極大(小)值及不等式恒成立問(wèn)題,在解答這類問(wèn) 題時(shí),要注意利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)性,切記,導(dǎo) 函數(shù)的偶次重根不是極值點(diǎn)，解答不等式恒成立問(wèn) 題,往往涉及函數(shù)的

12、單調(diào)性，一定要判斷出函數(shù)在所 給區(qū)間上的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解題,能大大 簡(jiǎn)化解題過(guò)程，使解答變得簡(jiǎn)單明了. 2021/8/8 星期日24變式訓(xùn)練3 已知函數(shù) (c0且c1, kR)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).其中一個(gè) 是x=-c. (1)求函數(shù)f(x)的另一個(gè)極值點(diǎn)； (2)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求M-m1 時(shí)k的取值范圍.2021/8/8 星期日25解 (1) 由題意知f(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0.(*) c0,k0. 由f(x)=0得-kx2-2x+ck=0， 由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為x=1 (2)由(*)式得 當(dāng)c1時(shí),k0;當(dāng)0c1時(shí),k-2.

13、 當(dāng)k0時(shí),f(x)在(-,-c)和(1,+)內(nèi)是減函數(shù)， 在(-c,1)內(nèi)是增函數(shù)，2021/8/8 星期日26當(dāng)k-2時(shí)，f(x)在(-,-c)和(1,+)內(nèi)是增函數(shù),在(-c,1)內(nèi)是減函數(shù)，綜上可知,所求k的取值范圍為(-,-2) ,+). 2021/8/8 星期日27【例4】(2009江蘇)設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+ (x-a)|x-a|. (1)若f(0)1,求a的取值范圍； (2)求f(x)的最小值； (3)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x),x(a,+),直接寫出(不需給 出演算步驟)不等式h(x)1的解集.解 (1)若f(0)1,則-a|a|12021/8/8 星期日28(2)

14、記f(x)的最小值為g(a),則有f(x)=2x2+(x-a)|x-a| ()當(dāng)a0時(shí),f(-a)=-2a2,由知f(x)-2a2, 此時(shí)g(a)=-2a2.()當(dāng)a0時(shí)， 若xa,則由知f(x) 若xa,由x+a2a0,由知f(x)2a2 此時(shí)g(a)= 綜上，2021/8/8 星期日29【探究拓展】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖 象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查靈活運(yùn)用數(shù) 形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解 決問(wèn)題的綜合能力. 2021/8/8 星期日30變式訓(xùn)練4 已知函數(shù)f(x)=x2-aln x在(1,2上是增函 數(shù),g(x)=x- 在(0,1)上是減函數(shù). (1)

15、求f(x)、g(x)的表達(dá)式； (2)求證:當(dāng)x0時(shí),方程f(x)=g(x)+2有唯一解； (3)當(dāng)b-1時(shí),f(x)2bx- 在x(0,1內(nèi)恒成立, 求b的取值范圍.2021/8/8 星期日31 (1)解 f(x)=2x- ， 依題意f(x)0,x(1,2, 即a2x2,x(1,2. 上式恒成立，a2. 又g(x)=1- ,依題意g(x)0,x(0,1), 即a ,x(0,1). 上式恒成立，a2. 由得a=2. f(x)=x2-2ln x,g(x)=x-2021/8/8 星期日32(2)證明 由(1)可知,方程f(x)=g(x)+2, 令h(x)0,并由x0，令h(x)0,由x0,解得0

16、x1.列表分析： x(0,1)1(1,+)h (x)-0+h(x)遞減0遞增2021/8/8 星期日33知h(x)在x=1處有一個(gè)最小值0,當(dāng)x0且x1時(shí),h(x)0，h(x)=0在(0,+)上只有一個(gè)解.即當(dāng)x0時(shí)，方程f(x)=g(x)+2有唯一解.(3)解所以b的取值范圍為-1b1. 2021/8/8 星期日34【考題再現(xiàn)】(2009海南)已知函數(shù)f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x. (1)若a=b=-3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,證明:【解題示范】 (1)解 當(dāng)a=b=-3時(shí),f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x， 所以f(x

17、)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x =-e-x(x3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x. 2分 當(dāng)x-3或0 x3時(shí),f(x)0；2021/8/8 星期日35當(dāng)-3x0或x3時(shí),f(x)0. 3分從而f(x)在(-,-3),(0,3)上單調(diào)遞增， 在(-3,0),(3,+)上單調(diào)遞減. 4分(2)證明 f(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-xx3+(a-6)x+b-a.由條件得:f(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a, 6分從而f(x)=-e-xx3+(a-6)x+4-2a. 2021/8/8

18、 星期日36將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得， 2021/8/8 星期日371.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是變化率的極限，其幾何意義是曲線在 某點(diǎn)處切線的斜率.2.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來(lái)確定原函數(shù)的 單調(diào)性并進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間,在求函數(shù)式中某些參變 量的取值范圍時(shí)，要注意導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)加上等號(hào).3.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí),要注意極 值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)為零,而導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值 點(diǎn),如f(x)=x3,因?yàn)閒(x)=3x2,所以f(0)=0,而在 x=0的左右兩側(cè)f(x)=3x20，則原函數(shù)遞增，所以 x=0不是原函數(shù)極值點(diǎn); 所2021/8/8 星期日38 以f(x)=(x-1)2，則f(1)

19、=0，而在x=1的左右兩側(cè) f(x)=(x-1)20，則原函數(shù)遞增,所以x=1不是原函 數(shù)的極值點(diǎn).由此可知導(dǎo)函數(shù)的偶次重根不是原函數(shù) 的極值點(diǎn).導(dǎo)函數(shù)為零是函數(shù)取到極值的必要不充分 條件.特別地，函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)(如尖點(diǎn))也可能是極值 點(diǎn).2021/8/8 星期日39一、選擇題1.設(shè)P為曲線C：y=x2+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處切 線傾斜角的取值范圍是 則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范 圍為 ( ) A. B.-1,0 C.0,1 D. 解析 y=x2+2x+3，y=2x+2. 曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處切線傾斜角的取值范圍是 曲線在點(diǎn)P處的切線斜率0k1. 02x0+21,-1x0 . A2021

20、/8/8 星期日402.(2008全國(guó))設(shè)曲線 在點(diǎn)(3,2)處的切線 與直線ax+y+1=0垂直,則a等于 ( ) A.2 B. C. D.-2解析 曲線 在點(diǎn)(3,2)處的切線 斜率為k=y|x=3= . 由題意知ax+y+1=0的斜率為k=2,a=-2. D2021/8/8 星期日413.若函數(shù) 則f(x)在點(diǎn) (0,f(0)處切線的傾斜角為 ( ) A. B. C. D. 解析 由題意可知f(x)=x2+f(1)x-f(2), 令x=0,得f(0)=-f(2), 令x=1,得f(2)=1,所以f(0)=-1， D2021/8/8 星期日424.(2008湖北)若f(x)= x2+bln

21、(x+2)在(-1,+)上 是減函數(shù),則b的取值范圍是 ( ) A.-1,+) B.(-1,+) C.(-,-1 D.(-,-1)解析 由題意知 即-x2-2x+b=-(x+1)2+1+b0. 1+b0,b-1. C2021/8/8 星期日435.(2009安徽)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)=2f(2-x) -x2+8x-8，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程 是 ( ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3解析 由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, 得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8, 即2f(x)-f(2-x

22、)=x2+4x-4, f(x)=x2，f(x)=2x, 切線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0. A2021/8/8 星期日446.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖,且|x1| |x2|,則有 ( ) A.a0,b0,c0,d0 B.a0,b0,c0,d0 C.a0,b0,c0,d0 D.a0,b0,c0,d0 解析 因f(x)=3ax2+2bx+c,由題 意可知導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖, 所以a0,c0, 則b0,由原函數(shù)圖象可知d0.C2021/8/8 星期日45二、填空題7.若曲線f(x)=ax3+ln x存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是_.解

23、析 由題意可知 又因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線，8.(2008江蘇)直線 是曲線y=ln x(x0)的 一條切線,則實(shí)數(shù)b=_.解析 (ln x)= ,令 ,得x=2,故切點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,ln 2),將其代入直線方程,得ln 2= 2+b,所以 b=ln 2-1.(-,0)ln 2-12021/8/8 星期日469.函數(shù)f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2-1)不存在極值 點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.解析 a2-10,a1或a-1; 又函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn)， 令f(x)=3ax2-4ax+a+1=0, 則=16a2-43a(a+1)=4a(a-3)0, 所以0a3,綜上可知

24、:1a3. 1a32021/8/8 星期日4710.過(guò)點(diǎn)P（1，1）作曲線y=x3的切線，則切線方程 為 . 解析 因點(diǎn)P（1，1）在曲線y=x3上.又y=3x2， 若點(diǎn)P（1，1）是切點(diǎn)時(shí)，因y|x=1=3, 所以切線方程為y=3x-2,即3x-y-2=0. 若點(diǎn)P（1，1）不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)Q(r,r3) (r1)， 所以k=3r2= =r2+r+1, 即2r2-r-1=0，所以r=- ,r=1（舍）， kPQ= ,所以切線方程為3x-4y+1=0.3x-y-2=0,3x-4y+1=02021/8/8 星期日48三、解答題11.設(shè)M是由滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集 合: 定義f(x)-x=0有實(shí)根； 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)滿足0f(x)1. (1)若 判斷方程f(x)-x=0的根的個(gè)數(shù); (2)判斷(1)中的函數(shù)f(x)是否為集合M的元素； (3)對(duì)于M中的任意函數(shù)f(x),設(shè)x1是方程f(x)-x=0的 實(shí)根,求證:對(duì)于f(x)定義域中任意的x2,x3,當(dāng) |x2-x1|1