2022年數(shù)列知識點總結(jié)歸納及習(xí)題型歸納

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作，在數(shù)列第一種位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。例：判斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)各省參與高考的考生人數(shù)。（2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一種公式表達(dá)，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，：數(shù)列的通項公式是= （7，），數(shù)列的通項公式是= （）。闡明：表達(dá)數(shù)列，表達(dá)數(shù)列中的第項，= 表達(dá)數(shù)列的

2、通項公式； 不是每個數(shù)列均有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特性與圖象表達(dá)：序號：1 2 3 4 5 6項 ：4 5 6 7 8 9上面每一項序號與這一項的相應(yīng)關(guān)系可當(dāng)作是一種序號集合到另一種數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看，數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時相應(yīng)的一系列函數(shù)值，一般用來替代，其圖象是一群孤立點。例：畫出數(shù)列的圖像.（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺

3、動數(shù)列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）數(shù)列的前項和與通項的關(guān)系：例：已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式練習(xí)：1根據(jù)數(shù)列前4項，寫出它的通項公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。（4）9，99，999，9999 （5）7，77，777，7777，(6)8, 88, 888, 88882數(shù)列中，已知（1）寫出，； （2）與否是數(shù)列中的項？若是，是第幾項？3（京春理14，文15）在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓成果與相應(yīng)年齡的記錄數(shù)據(jù)如下表.觀測表中數(shù)據(jù)的

4、特點，用合適的數(shù)填入表中空白（_）內(nèi)。4、由前幾項猜想通項：根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，在空格及括號中分別填上合適的圖形和數(shù)，寫出點數(shù)的通項公式.（1）（1）（4）（7）（ ）（ ）5.觀測下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點的個數(shù)最多是（ ），其通項公式為 .2條直線相交，最多有1個交點3條直線相交，最多有3個交點4條直線相交，最多有6個交點A40個 B452條直線相交，最多有1個交點3條直線相交，最多有3個交點4條直線相交，最多有6個交點二、等差數(shù)列題型一、等差數(shù)列定義：一般地，如果一種數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一種常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常

5、數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差一般用字母表達(dá)。用遞推公式表達(dá)為或。例：等差數(shù)列， 題型二、等差數(shù)列的通項公式：；闡明：等差數(shù)列（一般可稱為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列中，等于（ ）A15 B30 C31 D642.是首項，公差的等差數(shù)列，如果，則序號等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差數(shù)列，則為 為 （填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”）題型三、等差中項的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。其中 ，成等差數(shù)列 即： （）例：1（06全國I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則 （ ）A B C D2.設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增

6、的等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）A1 B.2 C.4 D.8題型四、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列； （3）在等差數(shù)列中，對任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；題型五、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(是等差數(shù)列 )遞推公式： 例：1.如果等差數(shù)列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，則等于( )A13 B35 C49 D 63 3.（全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則= 4.（重慶文）（2）

7、在等差數(shù)列中，則的值為（ ）（A）5 （B）6 （C）8 （D）105.若一種等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有（ ）A.13項B.12項C.11項D.10項6.已知等差數(shù)列的前項和為，若 7.（全國卷理）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若則 8（98全國）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求數(shù)列bn的通項bn；9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項的和，則其公差等于( ) C. D.10.（陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則 11（00全國）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的

8、前n項和，求Tn。12.等差數(shù)列的前項和記為，已知 = 1 * GB3 求通項； = 2 * GB3 若=242，求13.在等差數(shù)列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知題型六.對于一種等差數(shù)列：（1）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則偶奇； ；（2）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則奇偶；。 題型七.對與一種等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一種等差數(shù)列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為 。3已知等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為 4.設(shè)為等

9、差數(shù)列的前項和，= 5（06全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則A B C D題型八判斷或證明一種數(shù)列是等差數(shù)列的措施： = 1 * GB3 定義法：是等差數(shù)列 = 2 * GB3 中項法：是等差數(shù)列 = 3 * GB3 通項公式法：是等差數(shù)列 = 4 * GB3 前項和公式法：是等差數(shù)列例：1.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 2.已知數(shù)列的通項為，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一種數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C

10、.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷4.已知一種數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷5.已知一種數(shù)列滿足，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷6.數(shù)列滿足=8， （） = 1 * GB3 求數(shù)列的通項公式；7（01天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，并且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列題型九.數(shù)列最值（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：

11、若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（）；或者求出中的正、負(fù)分界項，即：若已知，則最值時的值（）可如下擬定或。 例：1等差數(shù)列中，則前 項的和最大。 2設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知 = 1 * GB3 求出公差的范疇， = 2 * GB3 指出中哪一種值最大，并闡明理由。3（02上海）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6與S7均為Sn的最大值4已知數(shù)列的通項（），則數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是 5.已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）數(shù)列從哪一項開始不不小于0？（2

12、）求數(shù)列前項和的最大值，并求出相應(yīng)的值6.已知是各項不為零的等差數(shù)列，其中，公差，若,求數(shù)列前項和的最大值7.在等差數(shù)列中，求的最大值題型十.運用求通項1.數(shù)列的前項和（1）試寫出數(shù)列的前5項；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫出數(shù)列的通項公式嗎？2已知數(shù)列的前項和則 3.設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn=2n2，求數(shù)列的通項公式；4.已知數(shù)列中，前和 = 1 * GB3 求證：數(shù)列是等差數(shù)列 = 2 * GB3 求數(shù)列的通項公式5.（安徽文）設(shè)數(shù)列的前n項和，則的值為（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一種數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等

13、于同一種常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比一般用字母表達(dá)，即：。一、遞推關(guān)系與通項公式在等比數(shù)列中,，則 在等比數(shù)列中,則 3.（07重慶文）在等比數(shù)列an中，a28，a164，則公比q為（ ）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比數(shù)列中，則= 5.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前三項和為21，則（ ）A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中項：若三個數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比中項，且為是成等比數(shù)列的必要而不充足條件.例：1.和的等比中項為( )2.（重慶卷文）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=（ ） A B CD三、等比數(shù)列

14、的基本性質(zhì)，1.（1）（2）（3）為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的相應(yīng)項成等比數(shù)列.（4）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列.例：1在等比數(shù)列中,和是方程的兩個根,則( )2. 在等比數(shù)列，已知，則= 3.在等比數(shù)列中， = 1 * GB3 求 = 2 * GB3 若4.等比數(shù)列的各項為正數(shù)，且（ ） A12 B10 C8 D2+ 5.（廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時， （ ） A. B. C. D. 2.前項和公式例：1.已知等比數(shù)列的首相，公比，則其前n項和 2.已知等比數(shù)列的首相，公比，當(dāng)項數(shù)n趨近與無窮大時，其前n項和 3.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，已，求和4（北京卷）設(shè)

15、，則等于（ ）AB C D5（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q；6設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .3.若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等比數(shù)列.如下圖所示：例：1.（遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 的前n 項和為，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.32.一種等比數(shù)列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為（ ）A83 B108 C75 D633.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且 4.等比數(shù)列的鑒定法（1）定義法：為等比數(shù)列；（2）中項法：為等比數(shù)列； （3）通項公式法：為等

16、比數(shù)列； （4）前項和法：為等比數(shù)列。 為等比數(shù)列。例：1.已知數(shù)列的通項為，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷2.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一種數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷5.運用求通項例：1.（北京卷）數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項公式 2.（山東卷）已知數(shù)列的首項前項和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列四、求數(shù)列通項公式

17、措施（1）公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項例：1已知等差數(shù)列滿足：， 求；已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式； 3.數(shù)列滿足=8， （），求數(shù)列的通項公式；已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項公式已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，求數(shù)列的通項公式已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；已知數(shù)列滿足 （），求數(shù)列的通項公式；已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項公式；已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項公式；12.數(shù)列已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項公式= （2）累加法1、累加法 合用于： 若，則 兩邊分別相加得 例：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。已知數(shù)列滿

18、足，求數(shù)列的通項公式。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式（3）累乘法合用于： 若，則兩邊分別相乘得，例：1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。已知數(shù)列滿足，求。3.已知， ，求。待定系數(shù)法 合用于解題基本環(huán)節(jié)：擬定設(shè)等比數(shù)列，公比為列出關(guān)系式比較系數(shù)求，解得數(shù)列的通項公式解得數(shù)列的通項公式例：1. 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。（，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_3.（. 福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式；4.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)5. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)6.已知數(shù)列中，,，求7. 已知數(shù)列

19、滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè) 8. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足9. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（5）遞推公式中既有 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的措施求解。（北京卷）數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項公式 2.（山東卷）已知數(shù)列的首項前項和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列3已知數(shù)列中，前和 = 1 * GB3 求證：數(shù)列是等差數(shù)列 = 2 * GB3 求數(shù)列的通項公式4. 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前n項和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的

20、通項公式。（6）根據(jù)條件找與項關(guān)系例1.已知數(shù)列中，若，求數(shù)列的通項公式2.（全國卷理）在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項公式（7）倒數(shù)變換法 合用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項例：1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（8）對無窮遞推數(shù)列消項得到第與項的關(guān)系例：1. （全國I第15題，原題是填空題）已知數(shù)列滿足，求的通項公式。2.設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項；（9）、迭代法例：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由于，因此又，因此數(shù)列的通項公式為。（10）、變性轉(zhuǎn)化法1、對數(shù)變換法 合用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式例： 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由于，因此。兩邊取常用對數(shù)得2、換元法 合用于含根式的遞推關(guān)系例： 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則五、數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。 公比含字母時一定要討論(理)無窮遞縮等比數(shù)列時，例：1.已知等差數(shù)列滿足，求前項和2. 等差數(shù)列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n項和Sn=100,則n=（）A9 B10 C11 D123.已知等比數(shù)列滿足，求前項和4.設(shè)，則等于（ ）A. B. C.D.2錯位相減法求和：如：例：1求和2.求和：3.設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且， （）求，的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和3裂項相消法求和：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負(fù)相消剩余首尾若干