2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市燕子嶺學(xué)校高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

1、2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市燕子嶺學(xué)校高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，P（3，0）是E的焦點(diǎn)，過(guò)P的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（12，15），則E的方程式為（）ABCD參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題【分析】已知條件易得直線l的斜率為1，設(shè)雙曲線方程，及A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入方程聯(lián)立相減得x1+x2=24，根據(jù)=，可求得a和b的關(guān)系，再根據(jù)c=3，求得a和b，進(jìn)而可得答案【解答】解：由已知條件易得直線l的斜率為k=kPN

2、=1，設(shè)雙曲線方程為，A（x1，y1），B（x2，y2），則有，兩式相減并結(jié)合x1+x2=24，y1+y2=30得=，從而=1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故選B2. 已知球O的表面積為16，則球O的體積為A B C D參考答案：D因?yàn)榍騉的表面積是16，所以球O的半徑為2，所以球O的體積為，故選D.3. 以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為圓心，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為( )Ax2+y2+2x=0Bx2+y2+x=0Cx2+y2x=0Dx2+y22x=0參考答案：D【考點(diǎn)】圓的一般方程；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】先求拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程

3、【解答】解：因?yàn)橐阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），即所求圓的圓心，又圓過(guò)原點(diǎn)，所以圓的半徑為r=1，故所求圓的方程為（x1）2+y2=1，即x22x+y2=0，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的方程的求法，屬基礎(chǔ)題4. 將一根長(zhǎng)為3米的繩子在任意位置剪斷，則剪得兩段的長(zhǎng)度都不小于1米的概率是（）ABCD參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型【分析】根據(jù)題意確定為幾何概型中的長(zhǎng)度類型，將長(zhǎng)度為3m的繩子分成相等的三段，在中間一段任意位置剪斷符合要求，從而找出中間1m處的兩個(gè)界點(diǎn)，再求出其比值【解答】解：記“兩段的長(zhǎng)都不小于1m”為事件A，則只能在中間1m的繩子上剪斷，才使得剪得兩段的長(zhǎng)都不小于

4、1m，所以由幾何概型的公式得到事件A發(fā)生的概率 P（A）=故選：A5. 現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：y=x?sinx；y=x?cosx；y=x?|cosx|；y=x?2x的圖象（部分）如圖：則按照從左到右圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)安排正確的一組是（）ABCD參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)各個(gè)函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的符號(hào)，判斷函數(shù)的圖象特征，即可得到【解答】解：根據(jù)y=x?sinx為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故第一個(gè)圖象即是；根據(jù)y=x?cosx為奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它在（0，）上的值為正數(shù)，在（，）上的值為負(fù)數(shù)，故第三個(gè)圖象滿足；根據(jù)y=x?|cosx|為奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，故第四

5、個(gè)圖象滿足；y=x?2x，為非奇非偶函數(shù)，故它的圖象沒(méi)有對(duì)稱性，故第2個(gè)圖象滿足，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的值的符號(hào)，屬于中檔題6. 若拋物線(p0)的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則p的值為()A. B.2 C. D. 4參考答案：D略7. 與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是( )A. B. C. D. 參考答案：C8. 若sinsin=1，則cos（+）=（）A1B1C0D0或1參考答案：B【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)【分析】由sinsin=1，得coscos=0，利用兩角和的余弦函數(shù)公式可得答案【解答】解：由sinsin=1，得coscos=0，cos（+

6、）=coscossinsin=1故選：B9. 拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F，已知A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AFB=120，過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為（）A2BC1D參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【分析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案【解答】解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|B

7、P|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2ab，又ab（）2，（a+b）2ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）所以，即的最大值為故選：D10. l1、l2是兩條異面直線，直線m1、m2與l1、l2都相交，則m1、m2的位置關(guān)系是()A異面或平行 B相交 C異面 D相交或異面參考答案：D略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 不等式組所確定的平面區(qū)域記為.若點(diǎn)是區(qū)域上的點(diǎn)，則的最大值是 ; 若圓上的所有點(diǎn)都在區(qū)域上,則圓的面積的最大值是. 參考答案：14，12. 有一批產(chǎn)品

8、，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若表示取到次品的個(gè)數(shù)，則E= .參考答案：13. 已知x0，y0且x+y=4，要使不等式m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是參考答案：【考點(diǎn)】7F：基本不等式【分析】利用“乘1法”、基本不等式的性質(zhì)即可得出【解答】解：x0，y0且x+y=4，=，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=時(shí)取等號(hào)不等式m恒成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍是故答案為：14. 已知滿足，則的單調(diào)遞減區(qū)間是_.參考答案：(-1,3)【分析】將與代入已知條件，求出，寫出函數(shù)解析式，求導(dǎo)函數(shù)，令，解不等式即可求出單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】函數(shù)滿足，整理得，即，解得函數(shù)解析式為，令，解得的單調(diào)遞減區(qū)間是故答案為.【點(diǎn)睛】本

9、題考查運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基本概念和基本方法的考查.15. 。參考答案：略16. 已知點(diǎn)P（）是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則的范圍為_(kāi).參考答案：17. 函數(shù) ，則 ；若，則= 參考答案： 試題分析：，所以；若，轉(zhuǎn)化為，或，解得，或，所以.考點(diǎn)：分段函數(shù)三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18. （本小題滿分14分）ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，已知c=3，C=60。（1）若A=75，求b的值；（2）若a=2 b, 求b的值。參考答案：解：（1）由，得2分由正弦定理知， 3分6分（2）由余弦定理知，

10、 8分將代入上式得10分12分19. 某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率t，市場(chǎng)價(jià)格x（單位：千元）與市場(chǎng)供應(yīng)量p（單位：萬(wàn)件）之間近似滿足關(guān)系式：p=，其中k，b均為常數(shù)當(dāng)關(guān)稅稅率為75%時(shí)，若市場(chǎng)價(jià)格為5千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量均為1萬(wàn)件；若市場(chǎng)價(jià)格為7千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量約為2萬(wàn)件（1）試確定k、b的值；（2）市場(chǎng)需求量q（單位：萬(wàn)件）與市場(chǎng)價(jià)格x近似滿足關(guān)系式：q=2xp=q時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過(guò)4千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的最大值參考答案：【考點(diǎn)】5D：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)“關(guān)系式：p=2（1kt）（xb）2，及市場(chǎng)價(jià)格為5千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量均為1萬(wàn)件；市場(chǎng)價(jià)格為

11、7千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量約為2萬(wàn)件”，可得到從而求得結(jié)果（2）當(dāng)p=q時(shí)，可得2（1t）（x5）2=2x，可求得t=1+=1+，由雙勾函數(shù)f（x）=x+在（0，4上單調(diào)遞減，可知當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最小值【解答】解：（1）由已知可得：，解得：b=5，k=1（2）當(dāng)p=q時(shí)，2（1t）（x5）2=2x（1t）（x5）2=x?t=1+=1+，而f（x）=x+在（0，4上單調(diào)遞減，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有最小值，此時(shí)t=1+取得最大值5；故當(dāng)x=4時(shí)，關(guān)稅稅率的最大值為500%20. 已知點(diǎn)P（2，0），及C：x2+y26x+4y+4=0（1）當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)P且與圓心C的距離為1時(shí)，求直線l的方程；（2）

12、設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|=4，求以線段AB為直徑的圓的方程參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線的一般式方程 【專題】綜合題；分類討論【分析】（1）把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后，分兩種情況斜率k存在時(shí)，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，設(shè)出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，讓d等于1列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據(jù)k的值和P的坐標(biāo)寫出直線l的方程即可；當(dāng)斜率不存在時(shí)顯然得到直線l的方程為x=2；（2）利用弦|AB|的長(zhǎng)和圓的半徑，根據(jù)垂徑定理可求出弦心距|CP|的長(zhǎng)，然后設(shè)出直線l的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于|C

13、P|列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程，把直線l的方程與已知圓的方程聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理即可求出線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，把縱坐標(biāo)代入到直線l的方程中即可求出橫坐標(biāo)，即可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)即為線段AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，圓的半徑為|AB|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可【解答】解：（1）由題意知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x3）2+（y+2）2=9，設(shè)直線l的斜率為k（k存在）則方程為y0=k（x2）即kxy2k=0又C的圓心為（3，2），r=3，由所以直線方程為即3x+4y6=0；當(dāng)k不存在時(shí)，直線l的方程為x=2綜上，直線l的方

14、程為3x+4y6=0或x=2；（2）由弦心距，即|CP|=，設(shè)直線l的方程為y0=k（x2）即kxy2k=0則圓心（3，2）到直線l的距離d=，解得k=，所以直線l的方程為x2y2=0聯(lián)立直線l與圓的方程得，消去x得5y24=0，則P的縱坐標(biāo)為0，把y=0代入到直線l中得到x=2，則線段AB的中點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0），所求圓的半徑為：|AB|=2，故以線段AB為直徑的圓的方程為：（x2）2+y2=4【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用垂徑定理及韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題21. 已知向量=（1，5，1），=（2，3，5）（1）若（k+）（3），求實(shí)數(shù)k；（2）若（k+）（3），求實(shí)數(shù)k參考答案：【考點(diǎn)】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【分析】直接求出k+，3，（1）利用向量共線的充要條件求解即可（2）通過(guò)斜率的數(shù)量積為0，求解即可【解答】解：因?yàn)閗+=（k2，5k+3，k+5），3=（1，5，1）3（2，3，5）=（7，4，16）.4分（1）因?yàn)椋╧+）（3），所以=