2022-2023學年湖南省長沙市燕子嶺學校高二數學理聯考試卷含解析

1、2022-2023學年湖南省長沙市燕子嶺學校高二數學理聯考試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 已知雙曲線E的中心為原點，P（3，0）是E的焦點，過P的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（12，15），則E的方程式為（）ABCD參考答案：B【考點】雙曲線的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題【分析】已知條件易得直線l的斜率為1，設雙曲線方程，及A，B點坐標代入方程聯立相減得x1+x2=24，根據=，可求得a和b的關系，再根據c=3，求得a和b，進而可得答案【解答】解：由已知條件易得直線l的斜率為k=kPN

2、=1，設雙曲線方程為，A（x1，y1），B（x2，y2），則有，兩式相減并結合x1+x2=24，y1+y2=30得=，從而=1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故選B2. 已知球O的表面積為16，則球O的體積為A B C D參考答案：D因為球O的表面積是16，所以球O的半徑為2，所以球O的體積為，故選D.3. 以拋物線y2=4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為( )Ax2+y2+2x=0Bx2+y2+x=0Cx2+y2x=0Dx2+y22x=0參考答案：D【考點】圓的一般方程；拋物線的簡單性質 【分析】先求拋物線y2=4x的焦點坐標，即可求出過坐標原點的圓的方程

3、【解答】解：因為已知拋物線的焦點坐標為（1，0），即所求圓的圓心，又圓過原點，所以圓的半徑為r=1，故所求圓的方程為（x1）2+y2=1，即x22x+y2=0，故選D【點評】本題考查拋物線的幾何性質以及圓的方程的求法，屬基礎題4. 將一根長為3米的繩子在任意位置剪斷，則剪得兩段的長度都不小于1米的概率是（）ABCD參考答案：A【考點】幾何概型【分析】根據題意確定為幾何概型中的長度類型，將長度為3m的繩子分成相等的三段，在中間一段任意位置剪斷符合要求，從而找出中間1m處的兩個界點，再求出其比值【解答】解：記“兩段的長都不小于1m”為事件A，則只能在中間1m的繩子上剪斷，才使得剪得兩段的長都不小于

4、1m，所以由幾何概型的公式得到事件A發(fā)生的概率 P（A）=故選：A5. 現有四個函數：y=x?sinx；y=x?cosx；y=x?|cosx|；y=x?2x的圖象（部分）如圖：則按照從左到右圖象對應的函數序號安排正確的一組是（）ABCD參考答案：D【考點】函數的圖象【分析】根據各個函數的奇偶性、函數值的符號，判斷函數的圖象特征，即可得到【解答】解：根據y=x?sinx為偶函數，它的圖象關于y軸對稱，故第一個圖象即是；根據y=x?cosx為奇函數，它的圖象關于原點對稱，它在（0，）上的值為正數，在（，）上的值為負數，故第三個圖象滿足；根據y=x?|cosx|為奇函數，當x0時，f（x）0，故第四

5、個圖象滿足；y=x?2x，為非奇非偶函數，故它的圖象沒有對稱性，故第2個圖象滿足，故選：D【點評】本題主要考查函數的圖象，函數的奇偶性、函數的值的符號，屬于中檔題6. 若拋物線(p0)的焦點與橢圓的右焦點重合，則p的值為()A. B.2 C. D. 4參考答案：D略7. 與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是( )A. B. C. D. 參考答案：C8. 若sinsin=1，則cos（+）=（）A1B1C0D0或1參考答案：B【考點】兩角和與差的余弦函數【分析】由sinsin=1，得coscos=0，利用兩角和的余弦函數公式可得答案【解答】解：由sinsin=1，得coscos=0，cos（+

6、）=coscossinsin=1故選：B9. 拋物線y2=2px（p0）的焦點為F，已知A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足AFB=120，過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為（）A2BC1D參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質【分析】設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2ab，進而根據基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案【解答】解：設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|B

7、P|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2ab，又ab（）2，（a+b）2ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）所以，即的最大值為故選：D10. l1、l2是兩條異面直線，直線m1、m2與l1、l2都相交，則m1、m2的位置關系是()A異面或平行 B相交 C異面 D相交或異面參考答案：D略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 不等式組所確定的平面區(qū)域記為.若點是區(qū)域上的點，則的最大值是 ; 若圓上的所有點都在區(qū)域上,則圓的面積的最大值是. 參考答案：14，12. 有一批產品

8、，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若表示取到次品的個數，則E= .參考答案：13. 已知x0，y0且x+y=4，要使不等式m恒成立，則實數m的取值范圍是參考答案：【考點】7F：基本不等式【分析】利用“乘1法”、基本不等式的性質即可得出【解答】解：x0，y0且x+y=4，=，當且僅當y=2x=時取等號不等式m恒成立，實數m的取值范圍是故答案為：14. 已知滿足，則的單調遞減區(qū)間是_.參考答案：(-1,3)【分析】將與代入已知條件，求出，寫出函數解析式，求導函數，令，解不等式即可求出單調遞減區(qū)間.【詳解】函數滿足，整理得，即，解得函數解析式為，令，解得的單調遞減區(qū)間是故答案為.【點睛】本

9、題考查運用待定系數法求函數解析式，考查利用導數確定函數的單調區(qū)間，屬于基本概念和基本方法的考查.15. 。參考答案：略16. 已知點P（）是曲線上一動點，則的范圍為_.參考答案：17. 函數 ，則 ；若，則= 參考答案： 試題分析：，所以；若，轉化為，或，解得，或，所以.考點：分段函數三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. （本小題滿分14分）ABC的三個內角A、B、C所對邊長分別為a、b、c，已知c=3，C=60。（1）若A=75，求b的值；（2）若a=2 b, 求b的值。參考答案：解：（1）由，得2分由正弦定理知， 3分6分（2）由余弦定理知，

10、 8分將代入上式得10分12分19. 某種出口產品的關稅稅率t，市場價格x（單位：千元）與市場供應量p（單位：萬件）之間近似滿足關系式：p=，其中k，b均為常數當關稅稅率為75%時，若市場價格為5千元，則市場供應量均為1萬件；若市場價格為7千元，則市場供應量約為2萬件（1）試確定k、b的值；（2）市場需求量q（單位：萬件）與市場價格x近似滿足關系式：q=2xp=q時，市場價格稱為市場平衡價格當市場平衡價格不超過4千元時，試確定關稅稅率的最大值參考答案：【考點】5D：函數模型的選擇與應用【分析】（1）根據“關系式：p=2（1kt）（xb）2，及市場價格為5千元，則市場供應量均為1萬件；市場價格為

11、7千元，則市場供應量約為2萬件”，可得到從而求得結果（2）當p=q時，可得2（1t）（x5）2=2x，可求得t=1+=1+，由雙勾函數f（x）=x+在（0，4上單調遞減，可知當x=4時，f（x）有最小值【解答】解：（1）由已知可得：，解得：b=5，k=1（2）當p=q時，2（1t）（x5）2=2x（1t）（x5）2=x?t=1+=1+，而f（x）=x+在（0，4上單調遞減，當x=4時，f（x）有最小值，此時t=1+取得最大值5；故當x=4時，關稅稅率的最大值為500%20. 已知點P（2，0），及C：x2+y26x+4y+4=0（1）當直線l過點P且與圓心C的距離為1時，求直線l的方程；（2）

12、設過點P的直線與C交于A、B兩點，當|AB|=4，求以線段AB為直徑的圓的方程參考答案：【考點】圓的標準方程；直線的一般式方程 【專題】綜合題；分類討論【分析】（1）把圓的方程變?yōu)闃藴史匠毯?，分兩種情況斜率k存在時，因為直線經過點P，設出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線的距離d，讓d等于1列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據k的值和P的坐標寫出直線l的方程即可；當斜率不存在時顯然得到直線l的方程為x=2；（2）利用弦|AB|的長和圓的半徑，根據垂徑定理可求出弦心距|CP|的長，然后設出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于|C

13、P|列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程，把直線l的方程與已知圓的方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程，利用韋達定理即可求出線段AB中點的縱坐標，把縱坐標代入到直線l的方程中即可求出橫坐標，即可得線段AB的中點坐標即為線段AB為直徑的圓的圓心坐標，圓的半徑為|AB|的一半，根據圓心和半徑寫出所求圓的標準方程即可【解答】解：（1）由題意知，圓的標準方程為：（x3）2+（y+2）2=9，設直線l的斜率為k（k存在）則方程為y0=k（x2）即kxy2k=0又C的圓心為（3，2），r=3，由所以直線方程為即3x+4y6=0；當k不存在時，直線l的方程為x=2綜上，直線l的方

14、程為3x+4y6=0或x=2；（2）由弦心距，即|CP|=，設直線l的方程為y0=k（x2）即kxy2k=0則圓心（3，2）到直線l的距離d=，解得k=，所以直線l的方程為x2y2=0聯立直線l與圓的方程得，消去x得5y24=0，則P的縱坐標為0，把y=0代入到直線l中得到x=2，則線段AB的中點P坐標為（2，0），所求圓的半徑為：|AB|=2，故以線段AB為直徑的圓的方程為：（x2）2+y2=4【點評】此題考查學生靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，靈活運用垂徑定理及韋達定理化簡求值，會根據圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程，是一道中檔題21. 已知向量=（1，5，1），=（2，3，5）（1）若（k+）（3），求實數k；（2）若（k+）（3），求實數k參考答案：【考點】向量的數量積判斷向量的共線與垂直【分析】直接求出k+，3，（1）利用向量共線的充要條件求解即可（2）通過斜率的數量積為0，求解即可【解答】解：因為k+=（k2，5k+3，k+5），3=（1，5，1）3（2，3，5）=（7，4，16）.4分（1）因為（k+）（3），所以=