立體幾何共線、共點(diǎn)、共面問題

1、 立體幾何中的共點(diǎn)、共線、共面問題一、共線問題例 1. 若 ABC所在的平面和 A1B1C1所在平面相交，并且直線AA1、 BB1、 CC1相交于一點(diǎn) O，求證：(1)AB 和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別在同一平面內(nèi)；(2) 如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分別相交，那么交點(diǎn)在同一直線上( 如圖 ).例 2. 點(diǎn) P、 Q、 R分別在三棱錐A-BCD的三條側(cè)棱上，且PQ BC X,QR CD Z,PR BD Y. 求證：X、 Y、 Z三點(diǎn)共線.例 3. 已 知 ABC 三 邊所 在直 線分別 與平 面 交于P、 Q、 R三點(diǎn)，求 證：P、 Q、 R三 點(diǎn) 共線

2、 。二、共面問題例 4. 直線m、n 分別和平行直線a、b、c 都相交，交點(diǎn)為A、B、C、D、E、F，如圖，求證：直線a、 b、 c、 m、n 共面 .例 5. 證明兩兩相交而不共點(diǎn)的四條直線在同一平面內(nèi)已知：如圖，直線l 1， l 2， l 3， l 4兩兩相交，且不共點(diǎn)求證：直線l 1， l 2，l 3，l 4在同一平面內(nèi)例 6. 已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分別是兩條異面直線l 1和 l 2上的任意三點(diǎn)，M、N、R、T分別是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中點(diǎn). 求證：M、N、R、T四點(diǎn)共面.例 7. 在空間四邊形ABCD中， M、 N、 P、 Q分別是四邊上的點(diǎn)，且

3、滿足 AM CNMB NBAQ CP k.QD PD求證：M、 N、 P、 Q共面.當(dāng)對(duì)角線ACa,BDb，且MNPQ是正方形時(shí)，求AC、BD所成的角及k 的值 (用 a,b表示 )三、共點(diǎn)問題例 8. 三個(gè)平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點(diǎn)或兩兩平行立體幾何中的共點(diǎn)、共線、共面問題答案1、 (1 ) 證明 ：AA1 BB1 O, AA1、 BB1 確定平面BAO， A、 A1、 B、 B1都在平面ABO內(nèi)， AB 平面ABO； A1B1 平面 ABO.同理可證，BC和 B1C1、 AC和 A1C1分別在同一平面內(nèi).(2) 分析：欲證兩直線的交點(diǎn)在一條直線上，可根據(jù)公理2，證

4、明這兩條直線分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)，那么，它們的交點(diǎn)就在這兩個(gè)平面的交線上.證明 ：如圖，設(shè)AB A1B1 P；AC A1C1 R；面 ABC面 A1B1C1 PR.BC 面 ABC； B1C1 面 A1B1C1，且BC B1C1 Q Q PR,即 P 、 R、 Q 在同一直線上.解析： A、 B、 C 是不在同一直線上的三點(diǎn)過 A、 B、 C 有一個(gè)平面又 AB P,且 AB點(diǎn) P既在內(nèi)又在 內(nèi) ,設(shè)l,則 p l. TOC o 1-5 h z 同理可證: Q 撾 l , R l P , Q , R 三點(diǎn)共線.解析： 證明若干條直線共面的方法有兩類：一是先確定一個(gè)平面，證明其余的直線在這個(gè)平面

5、里；二是分別確定幾個(gè)平面，然后證明這些平面重合.證明 a b, 過a、 b 可以確定一個(gè)平面 . A a,a ，A , 同理B a.又A m， B m, m . 同理可證n . TOC o 1-5 h z b c, 過 b,c 可以確定平面 ，同理可證m .平面 、 都經(jīng)過相交直線b、 m,平面 和平面 重合，即直線a、 b、 c、 m、 n 共面 .解析：證明幾條直線共面的依據(jù)是公理3 及推論和公理1. 先證某兩線確定平面 ，然后證其它直線也在 內(nèi) .證明 ：圖中，l 1 l 2 P，l 1,l2 確定平面 .又l 1 l 3A,l 2l 3C, C,A .故 l 3 .同理 l 4 . l

6、 1,l 2,l 3,l 4共面.圖中，l 1,l 2,l 3,l 4的位置關(guān)系，同理可證l 1,l 2,l 3,l 4共面 .所以結(jié)論成立.證明 如圖，連結(jié)MN、NR，則MNl1,NRl 2，且M、N、R不在同一直線上（ 否則，其中點(diǎn) S. 連 RS、 ST l 1， MN l 1，M、 N、 R其中點(diǎn) S. 連 RS、 ST l 1， MN l 1，M、 N、 R、7 解析： (1) MQ BD，且ST，則RSl 2，又RNl 2，N 、R、S三點(diǎn)共線. 即有S ，又MN ST，又S ， ST .T 四點(diǎn)共面.AMAQMB QDAM k AM MB k 1MQ AM kBD AB k 1k

7、MQBDk1又 CNNBCP k PDkk1kk1PN BD，且NP CN BD CBNP CN BD CBk 從而 k1k TOC o 1-5 h z NPBDk1 MQ NP， MQ， NP共面，從而M、 N、 P、 Q四點(diǎn)共面.BM1 BN1(2) ，MAk NC kBM BN 1 BM 1MA NC k BM MA k 1MN AC，又NP BD.MN 與 NP所成的角等于AC與 BD所成的角.MNPQ是正方形， MNP 90AC 與 BD所成的角為90，又 AC 又 AC a， BD b，MNACBM 1BA k 1MN1 ak11又 MQb, 且 MQ MN，k1kbkb k11a1a，即k a說明 ：公理 4 是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點(diǎn) 平面 a，平面 平面 b，平面 平面 c. TOC o 1-5 h z 求證：a、 b、 c 相交于同一點(diǎn)，或ab c.證明： a， b a、 b a、 b 相交或a b.a、 b 相交時(shí)，不妨設(shè)a bP，即P a， Pb而a、 b ， a P ， P ，故 P