（本科）微積分上冊(cè)第二章教學(xué)課件

1、正版可修改PPT課件（本科）微積分上冊(cè)第二章教學(xué)課件第二章 導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本概念 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) 第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 第五節(jié) 函數(shù)的微分及其應(yīng)用第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本概念 一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系一、引例設(shè)有一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 當(dāng)由時(shí)刻 變到 時(shí)，物體在 這段時(shí)間內(nèi)所走過的路程為當(dāng)物體作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，平均速度的極限就是物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度 ，即1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度2曲線切線的斜率設(shè)曲線 的圖形如2-2所示，點(diǎn) 為曲線上一定點(diǎn)，在曲線上另取一點(diǎn) 點(diǎn) 的位置取決

2、于 ，它是曲線上一動(dòng)點(diǎn)；下面來求點(diǎn) 處的切線的斜率割線 的極限位置就是曲線在點(diǎn) 的切線 yOx0+xx0 xT圖 2-2二 、導(dǎo)數(shù)的定義1函數(shù) 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義給 以增量 ，函數(shù) 相應(yīng)地有增量 ，如果存在，則稱此極限值為函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記為 ，或 ，或者 ，有時(shí)也記為 ，即有2函數(shù) 在 上的導(dǎo)數(shù)的概念 定義2 若函數(shù) 在 內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱 在 內(nèi)可導(dǎo)也就是說對(duì)于該區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn) 都有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值 與之對(duì)應(yīng)，故 是該區(qū)間上的一個(gè)函數(shù)，叫做 在該區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，記為 ，或 ，或者 ，有時(shí)也記為 注 (1)一般地，某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是一個(gè)函數(shù)，我們

3、稱之為導(dǎo)函數(shù)；而函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)數(shù)值，我們稱之為函數(shù)在這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值(2) 在 處的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)函數(shù) 在點(diǎn) 處的函數(shù)值 由導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以分為以下三個(gè)步驟： （1）求增量 ； （2）算比值 ； （3）取極限 例7 討論函數(shù)在 點(diǎn)處的可導(dǎo)性解 因?yàn)?所以，函數(shù)在 點(diǎn)處可導(dǎo)，且 注 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，必須用導(dǎo)數(shù)的定義來求 3函數(shù)左、右導(dǎo)數(shù)的概念定義3 如果 存在，則稱該極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處的左導(dǎo)數(shù)，記為 即定義4 如果 存在，則稱該極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處的右導(dǎo)數(shù)，記為 即注 （1）函數(shù) 如果在 上是可導(dǎo)的，是指 在開區(qū)間 內(nèi)每一點(diǎn)可導(dǎo)，而且在左端點(diǎn) 處 存在，在右端點(diǎn) 處 存

4、在（2）如果 是分段函數(shù)，當(dāng) 是分段函數(shù)的分界點(diǎn)時(shí)，需要用定義計(jì)算出左導(dǎo)數(shù) 和右導(dǎo)數(shù) 若 與 都存在且相等時(shí)，則 在點(diǎn) 可導(dǎo)，且有 = = ；若 時(shí)，則 在點(diǎn) 處不可導(dǎo)(3)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)都存在且相等時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)才是可導(dǎo)的三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)值 ，是曲線 在點(diǎn) 處切線的斜率，即 yy = f (x)圖2-4MTNM0O四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理 如果函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，那么函數(shù) 在該點(diǎn)必連續(xù)反之，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)例如 函數(shù) 在 上連續(xù)，但在 處的導(dǎo)數(shù)不存在；曲線 在原點(diǎn)處沒有切線 第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、函數(shù)的和、差、積、商

5、的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1 如果 和 在 處可導(dǎo)，函數(shù)的和、差 在 處也是可導(dǎo)的，并且有上述法則可推廣到有限個(gè)函數(shù)的和、差的導(dǎo)數(shù)，等于它們的導(dǎo)數(shù)的和、差，即定理2 如果 和 在 處可導(dǎo)，函數(shù)的積 在 處也是可導(dǎo)的，并且有上述法則可推廣到有限個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)的情形，即定理3 如果 和 在 處可導(dǎo)，函數(shù)的商 在 處也是可導(dǎo)的，并且有特別地當(dāng) 時(shí)，有 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理4 （反函數(shù)的求導(dǎo)法則）如果 在某區(qū)間上單調(diào)可導(dǎo)，且 ，那么它的反函數(shù) 在對(duì)應(yīng)區(qū)間上也可導(dǎo)，且有也就是說：互為反函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù) 基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式三、

6、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理5 （復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 ） 如果 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，而 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，并且其導(dǎo)數(shù)為或?qū)懗?注 這個(gè)公式說明復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)該法則也稱為鏈?zhǔn)椒▌t，它可以推廣到多個(gè)中間變量情形 注 對(duì)于初學(xué)者來說，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)難點(diǎn)但若能夠熟悉復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，并牢記“由外向里，逐層求導(dǎo)”八字原則，則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)就會(huì)變得簡便易行所謂“由外向里”，就是按照復(fù)合的層次，從最外面開始，依次向里；“逐層求導(dǎo)”就是一層一層地求下去，直到自變量為止最后，把各層求的導(dǎo)數(shù)的結(jié)果乘起來即可其關(guān)鍵是正確地分解復(fù)合函數(shù).關(guān)于求

7、導(dǎo)記號(hào)的兩點(diǎn)說明（1）對(duì)于復(fù)合函數(shù) ，如果不設(shè)中間變量， 表明 對(duì)自變量 求導(dǎo)；如果設(shè)出中間變量 ，求 對(duì)自變量 求導(dǎo)，應(yīng)記成 或 ，否則就不容易區(qū)分 對(duì)自變量 求導(dǎo)還是對(duì)中間變量 求導(dǎo)（2） 表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量 求導(dǎo)；而 表示函數(shù) 對(duì)中間變量 求導(dǎo)，其中 第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)二、幾個(gè)基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式一、高階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)仍是 的可導(dǎo)函數(shù)，那么就稱 的導(dǎo)數(shù)為 的二階導(dǎo)數(shù)，記為 或 即 相應(yīng)地， 為 的一階導(dǎo)數(shù)類似地，可以定義 的三階導(dǎo)數(shù)，四階導(dǎo)數(shù)，一般地， 的 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們稱為 的 階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是 3時(shí)的 階導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是 或 把二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為

8、高階導(dǎo)數(shù) 求高階導(dǎo)數(shù)方法就是多次接連地求一階導(dǎo)數(shù)，所以計(jì)算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)仍是用前面的求導(dǎo)方法和求導(dǎo)公式 二、幾個(gè)基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茨求導(dǎo)公式 即第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形如 的函數(shù)為顯函數(shù) 若自變量 與因變量 之間的函數(shù)關(guān)系由方程 表示，則稱 是 的隱函數(shù)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將確定隱函數(shù)的方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量 求導(dǎo)，凡是遇到含有因變量 的項(xiàng)時(shí)，把 當(dāng)作中間變量看待，要按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)，然后從所得的方程中解出來 ；所求的 的式子中允許含有 冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)冪指函數(shù)的一般形式是如果 都可導(dǎo)，求

9、通常我們有兩種方法，解決冪指函數(shù)的求導(dǎo)問題，一種叫“對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”另一種叫“指數(shù)求導(dǎo)法”“對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”就是先在所給函數(shù)的兩邊取對(duì)數(shù)，然后再求出 的導(dǎo)數(shù)即 “指數(shù)求導(dǎo)法”就是先把所給函數(shù)表示為含對(duì)數(shù)的復(fù)合指數(shù)形式，然后再求出 的導(dǎo)數(shù)即 例5 求隱函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解法1 (對(duì)數(shù)求導(dǎo)法) 因?yàn)榻夥? （指數(shù)求導(dǎo)法）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適宜于多個(gè)函數(shù)的乘積、乘方、開方及冪指函數(shù)的求導(dǎo) 二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果參數(shù)方程 （2-1）確定了 與 之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程（2-1）確定的函數(shù)其導(dǎo)數(shù)為第五節(jié) 函數(shù)的微分及其應(yīng)用 一、微分的概念二、微分的幾何意義三、微分基本公式及運(yùn)算法則四、微分在近似運(yùn)算

10、中的應(yīng)用一、微分的概念微分的研究對(duì)象是函數(shù)在某一點(diǎn)處當(dāng)自變量有一個(gè)微小的改變量時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的改變量的大小 .定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)有定義， ，如果相應(yīng)的函數(shù)的增量可以表示為 ，其中， 是不依賴于 的常數(shù)， 是比 高階的無窮小，那么稱函數(shù)在 點(diǎn)處是可微的， 稱為函數(shù) 在點(diǎn) 處相應(yīng)于自變量增量 的微分，記為 ，即 可微與可導(dǎo)之間的關(guān)系 函數(shù) 在點(diǎn) 可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn) 處可導(dǎo)為了統(tǒng)一記號(hào)，我們記 ，所以有 或 為此，導(dǎo)數(shù)又可稱為微商我們把求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法統(tǒng)稱為微分法 二、微分的幾何意義 當(dāng)自變量有增量 時(shí)， 在點(diǎn) 處的微分 等于曲線在點(diǎn) 處的切線的縱坐標(biāo)的改變量 Qdyyxx0yO圖2-7PTx0+xxNM三、微分基本公式及運(yùn)算法則1微分公式表（1） （ 是常數(shù)）；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） ；（10） ；（11） ；（12） ；（13） ；（14）