北師大版數(shù)學(xué)(中考總復(fù)習(xí)：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用-知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理)（提高）

1、北師大版數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)中考總復(fù)習(xí)：一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1.理解配方法，會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；2.會(huì)解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、一元二次方程1.一元二次方程的定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程它的一般形式為(a0)2.一元二次方程的解法 （1）直接開平方法：把方程變成的形式，當(dāng)m0時(shí)，方程的解為；當(dāng)m0時(shí)，方程的解；當(dāng)m0時(shí)，

2、方程沒有實(shí)數(shù)解 （2）配方法：通過配方把一元二次方程變形為的形式，再利用直接開平方法求得方程的解（3）公式法：對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，它的解為 （4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個(gè)一次因式積的形式，使每一個(gè)因式等于零，就得到兩個(gè)一元一次方程，分別解這兩個(gè)方程，就得到原方程的解 要點(diǎn)詮釋：直接開平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法 易錯(cuò)知識(shí)辨析：（1）判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.（3）用配方法時(shí)二次項(xiàng)

3、系數(shù)要化1.（4）用直接開平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).3一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；0方程沒有實(shí)數(shù)根上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊要點(diǎn)詮釋： 0方程有實(shí)數(shù)根.4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程(a0)的兩個(gè)根是，那么要點(diǎn)詮釋：（1）對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0（2）解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法（3）一元二次方程(a0)的根的判別式正反都成立利用其可以不解方程判定方程根的情況

4、；根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；解與根有關(guān)的證明題（4）一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程考點(diǎn)二、分式方程 1.分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的有理方程，叫做分式方程要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的三個(gè)重要特征：是方程；含有分母；分母里含有未知量.（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關(guān)于的方程和都是分式方程，而關(guān)于的方程和都是整式方程.

5、2.分式方程的解法去分母法，換元法3.解分式方程的一般步驟(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程化為整式方程；(2)解這個(gè)整式方程；(3)驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.要點(diǎn)詮釋：解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗(yàn)根 增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化

6、為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根.考點(diǎn)三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用1應(yīng)用問題中常用的數(shù)量關(guān)系及題型 (1)數(shù)字問題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律) 關(guān)鍵會(huì)表示一個(gè)兩位數(shù)或三位數(shù)，對(duì)于日歷中的數(shù)字問題關(guān)鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律 (2)體積變化問題 關(guān)鍵是尋找其中的不變量作為等量關(guān)系. (3)打折銷售問題 其中的幾個(gè)關(guān)系式：利潤(rùn)售價(jià)-成本價(jià)(進(jìn)價(jià))，利潤(rùn)率100% 明確這幾個(gè)關(guān)系式是解決這類問題的關(guān)鍵 (4)關(guān)于兩個(gè)或多個(gè)未知量的問題 重點(diǎn)是尋找到多個(gè)等量關(guān)系，使能夠設(shè)出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)

7、所設(shè)的未知數(shù)列出方程. (5)行程問題 對(duì)于相遇問題和追及問題是列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn)問題，也是易出錯(cuò)的問題，一定要分析其中的特點(diǎn)，同向而行一般是追及問題，相向而行一般是相遇問題 注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分問題 增長(zhǎng)量原有量增長(zhǎng)率； 現(xiàn)有量原有量+增長(zhǎng)量； 現(xiàn)有量原有量-降低量2解應(yīng)用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系；(2)設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關(guān)系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)所求的答數(shù)是否符合題意，并做答要點(diǎn)詮釋： 方程的思想，轉(zhuǎn)

8、化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結(jié)合的思想用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示與數(shù)量有關(guān)的語(yǔ)句的數(shù)學(xué)思想 注意：設(shè)列必須統(tǒng)一，即設(shè)的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；未知數(shù)設(shè)出后不要漏棹單位；列方程時(shí)，兩邊單位要統(tǒng)一；求出解后要雙檢，既檢驗(yàn)是否適合方程，還要檢驗(yàn)是否符合題意【典型例題】類型一、一元二次方程1閱讀材料：為解方程，我們可以將 看作一個(gè)整體，然后設(shè)，那么原方程可化為，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故原方程的解為，解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程的過程中，利用_法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程【思路點(diǎn)撥】此題考查了學(xué)生學(xué)以致用的能

9、力，解題的關(guān)鍵是掌握換元思想【答案與解析】（1）換元法；（2）設(shè)，那么原方程可化為解得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去所以原方程的解為，【總結(jié)升華】應(yīng)用換元法解方程，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.舉一反三：【變式】設(shè)m是實(shí)數(shù)，求關(guān)于x的方程的根【答案】x1=1,x2=m+2.2（2015肇慶二模）設(shè)x1、x2是方程2x2+4x3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系，求下列各式的值：（1）（x1x2）2；（2）【思路點(diǎn)撥】先把此代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數(shù)值計(jì)算即可【答案與解析】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2=2，x1x2=（1）（x1x2）2=x12+x222x1x2=x12+x22

10、+2x1x24x1x2=（x1+x2）24x1x2=10（2）=x1x2+1+1+=【總結(jié)升華】將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法舉一反三：【變式】（2015潛江）已知關(guān)于x的一元二次方程x24x+m=0（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，且滿足5x1+2x2=2，求實(shí)數(shù)m的值【答案】解：（1）方程有實(shí)數(shù)根，=（4）24m=164m0，m4；（2）x1+x2=4，5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=24+3x1=2，x1=2，把x1=2代入x24x+m=0得：（2）24（2）+m=0，解得：m=12類型二、分式方程3解方

11、程：【思路點(diǎn)撥】把原方程右邊化為代入原方程求解較為簡(jiǎn)單.【答案與解析】 原方程變?yōu)?經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根.【總結(jié)升華】因?yàn)?，所以最?jiǎn)公分母為：，若采用去分母的通常方法，運(yùn)算量較大，可采用上面的方法較好.舉一反三：【變式1】解方程：【答案】原方程化為 方程兩邊通分，得 化簡(jiǎn)得 解得 經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根.【變式2】【答案】 解此方程此方程無解. 4m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？【思路點(diǎn)撥】先把原方程化為整式方程，使分母為0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案與解析】方程兩邊都乘以，得 整理，得 【總結(jié)升華】分式方程的增根，一定是使最簡(jiǎn)公分母為零的根.舉一反三：【變式】當(dāng)m為何值時(shí)，方

12、程會(huì)產(chǎn)生增根( ) A. 2 B. 1 C. 3 D.3【答案】分式方程，去分母得，將增根代入，得m3.所以，當(dāng)m3時(shí)，原分式方程會(huì)產(chǎn)生增根.故選C.類型三、一元二次方程、分式方程的應(yīng)用5要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨(dú)做則要超過3天.現(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨(dú)做，正好按期完成.問規(guī)定日期是多少天？ 【思路點(diǎn)撥】設(shè)規(guī)定日期是x天，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，工作總量為1.【答案與解析】 設(shè)規(guī)定日期為x天 根據(jù)題意，得 解得 經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根 答：規(guī)定日期是6天.【總結(jié)升華】工程問題涉及的量有三個(gè)，即每天的工作量、工作的天數(shù)、工作的總

13、量它們之間的基本關(guān)系是：工作總量=每天的工作量工作的天數(shù)舉一反三：【變式】據(jù)林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹葉的片數(shù)與一年滯塵550毫克所需的國(guó)槐樹葉的片數(shù)相同，求一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量【答案】設(shè)一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克，由題意得，解得：x=22，經(jīng)檢驗(yàn)：x=22是原分式方程的解，且符合題意答：一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量為22毫克6某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊(duì)工程費(fèi)共8700元，

14、乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共9500元，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊(duì)工程費(fèi)共5500元求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程花錢最少？請(qǐng)說明理由【思路點(diǎn)撥】第一問是工程問題，工程問題中有三個(gè)量：工作總量，工作效率，工作時(shí)間，這三個(gè)量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率工作時(shí)間第二問只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊(duì)多少錢，并由第一問求出甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作所需的天數(shù)，即可求出在規(guī)定時(shí)間內(nèi)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程哪個(gè)隊(duì)花錢最少.【答案與解析】設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需天完成，依題意，得，得，得，即z 30，得，即x 10，得，即y 15經(jīng)檢驗(yàn)，x 10，y 15，z 30是原方程組的解設(shè)甲隊(duì)做一天廠家需付元，乙