北師大版數學(中考總復習：一元二次方程、分式方程的解法及應用-知識點整理及重點題型梳理)（提高）

1、北師大版數學中考總復習重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習中考總復習：一元二次方程、分式方程的解法及應用知識講解（提高）【考綱要求】1.理解配方法，會用因式分解法、公式法、配方法解簡單的數字系數的一元二次方程；2.會解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程轉化成整式方程，把未知問題轉化成已知問題，從而滲透數學的轉化思想【知識網絡】 【考點梳理】考點一、一元二次方程1.一元二次方程的定義只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程它的一般形式為(a0)2.一元二次方程的解法 （1）直接開平方法：把方程變成的形式，當m0時，方程的解為；當m0時，方程的解；當m0時，

2、方程沒有實數解 （2）配方法：通過配方把一元二次方程變形為的形式，再利用直接開平方法求得方程的解（3）公式法：對于一元二次方程，當時，它的解為 （4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個一次因式積的形式，使每一個因式等于零，就得到兩個一元一次方程，分別解這兩個方程，就得到原方程的解 要點詮釋：直接開平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法 易錯知識辨析：（1）判斷一個方程是不是一元二次方程，應把它進行整理，化成一般形式后再進行判斷，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程時要先化成一般形式.（3）用配方法時二次項

3、系數要化1.（4）用直接開平方的方法時要記得取正、負.3一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為0方程有兩個不相等的實數根；0方程有兩個相等的實數根；0方程沒有實數根上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊要點詮釋： 0方程有實數根.4一元二次方程根與系數的關系如果一元二次方程(a0)的兩個根是，那么要點詮釋：（1）對有關一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數不為0（2）解一元二次方程時，根據方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，再考慮用公式法（3）一元二次方程(a0)的根的判別式正反都成立利用其可以不解方程判定方程根的情況

4、；根據參系數的性質確定根的范圍；解與根有關的證明題（4）一元二次方程根與系數的應用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及參數系數；已知方程，求含有兩根對稱式的代數式的值及有關未知數系數；已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數式為根的一元二次方程考點二、分式方程 1.分式方程的定義分母中含有未知數的有理方程，叫做分式方程要點詮釋：（1）分式方程的三個重要特征：是方程；含有分母；分母里含有未知量.（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(不是一般的字母系數)，分母中含有未知數的方程是分式方程，不含有未知數的方程是整式方程，如：關于的方程和都是分式方程，而關于的方程和都是整式方程.

5、2.分式方程的解法去分母法，換元法3.解分式方程的一般步驟(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程；(2)解這個整式方程；(3)驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡公分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗”.要點詮釋：解分式方程時，有可能產生增根，增根一定適合分式方程轉化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗根 增根的產生的原因：對于分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當把分式方程轉化

6、為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數的值范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根.考點三、一元二次方程、分式方程的應用1應用問題中常用的數量關系及題型 (1)數字問題(包括日歷中的數字規(guī)律) 關鍵會表示一個兩位數或三位數，對于日歷中的數字問題關鍵是弄清日歷中的數字規(guī)律 (2)體積變化問題 關鍵是尋找其中的不變量作為等量關系. (3)打折銷售問題 其中的幾個關系式：利潤售價-成本價(進價)，利潤率100% 明確這幾個關系式是解決這類問題的關鍵 (4)關于兩個或多個未知量的問題 重點是尋找到多個等量關系，使能夠設出未知數，并且能夠根據

7、所設的未知數列出方程. (5)行程問題 對于相遇問題和追及問題是列方程解應用題的重點問題，也是易出錯的問題，一定要分析其中的特點，同向而行一般是追及問題，相向而行一般是相遇問題 注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分問題 增長量原有量增長率； 現(xiàn)有量原有量+增長量； 現(xiàn)有量原有量-降低量2解應用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數和題給條件的相等關系；(2)設未知數，并用所設的未知數的代數式表示其余的未知數；(3)找出相等關系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數的值；(5)檢驗所求的答數是否符合題意，并做答要點詮釋： 方程的思想，轉

8、化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數形結合的思想用數學表達式表示與數量有關的語句的數學思想 注意：設列必須統(tǒng)一，即設的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；未知數設出后不要漏棹單位；列方程時，兩邊單位要統(tǒng)一；求出解后要雙檢，既檢驗是否適合方程，還要檢驗是否符合題意【典型例題】類型一、一元二次方程1閱讀材料：為解方程，我們可以將 看作一個整體，然后設，那么原方程可化為，解得，當時，；當時，故原方程的解為，解答問題：（1）上述解題過程，在由原方程得到方程的過程中，利用_法達到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉化的數學思想；（2）請利用以上知識解方程【思路點撥】此題考查了學生學以致用的能

9、力，解題的關鍵是掌握換元思想【答案與解析】（1）換元法；（2）設，那么原方程可化為解得；當時，；當時，不符合題意，舍去所以原方程的解為，【總結升華】應用換元法解方程，體現(xiàn)了轉化的數學思想.舉一反三：【變式】設m是實數，求關于x的方程的根【答案】x1=1,x2=m+2.2（2015肇慶二模）設x1、x2是方程2x2+4x3=0的兩個根，利用根與系數關系，求下列各式的值：（1）（x1x2）2；（2）【思路點撥】先把此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值計算即可【答案與解析】解：根據根與系數的關系可得：x1+x2=2，x1x2=（1）（x1x2）2=x12+x222x1x2=x12+x22

10、+2x1x24x1x2=（x1+x2）24x1x2=10（2）=x1x2+1+1+=【總結升華】將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法舉一反三：【變式】（2015潛江）已知關于x的一元二次方程x24x+m=0（1）若方程有實數根，求實數m的取值范圍；（2）若方程兩實數根為x1，x2，且滿足5x1+2x2=2，求實數m的值【答案】解：（1）方程有實數根，=（4）24m=164m0，m4；（2）x1+x2=4，5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=24+3x1=2，x1=2，把x1=2代入x24x+m=0得：（2）24（2）+m=0，解得：m=12類型二、分式方程3解方

11、程：【思路點撥】把原方程右邊化為代入原方程求解較為簡單.【答案與解析】 原方程變?yōu)?經檢驗，是原方程的根.【總結升華】因為，所以最簡公分母為：，若采用去分母的通常方法，運算量較大，可采用上面的方法較好.舉一反三：【變式1】解方程：【答案】原方程化為 方程兩邊通分，得 化簡得 解得 經檢驗：是原方程的根.【變式2】【答案】 解此方程此方程無解. 4m為何值時，關于x的方程會產生增根？【思路點撥】先把原方程化為整式方程，使分母為0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案與解析】方程兩邊都乘以，得 整理，得 【總結升華】分式方程的增根，一定是使最簡公分母為零的根.舉一反三：【變式】當m為何值時，方

12、程會產生增根( ) A. 2 B. 1 C. 3 D.3【答案】分式方程，去分母得，將增根代入，得m3.所以，當m3時，原分式方程會產生增根.故選C.類型三、一元二次方程、分式方程的應用5要在規(guī)定的日期內加工一批機器零件，如果甲單獨做，剛好在規(guī)定日期內完成，乙單獨做則要超過3天.現(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨做，正好按期完成.問規(guī)定日期是多少天？ 【思路點撥】設規(guī)定日期是x天，則甲的工作效率為，乙的工作效率為，工作總量為1.【答案與解析】 設規(guī)定日期為x天 根據題意，得 解得 經檢驗是原方程的根 答：規(guī)定日期是6天.【總結升華】工程問題涉及的量有三個，即每天的工作量、工作的天數、工作的總

13、量它們之間的基本關系是：工作總量=每天的工作量工作的天數舉一反三：【變式】據林業(yè)專家分析，樹葉在光合作用后產生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹葉的片數與一年滯塵550毫克所需的國槐樹葉的片數相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量【答案】設一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為x毫克，由題意得，解得：x=22，經檢驗：x=22是原分式方程的解，且符合題意答：一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為22毫克6某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊工程費共8700元，

14、乙、丙兩隊合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊工程費共9500元，甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊工程費共5500元求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？若工期要求不超過15天完成全部工程，問由哪個隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由【思路點撥】第一問是工程問題，工程問題中有三個量：工作總量，工作效率，工作時間，這三個量之間的關系是：工作總量=工作效率工作時間第二問只要求出每天應各付甲、乙、丙各隊多少錢，并由第一問求出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工作所需的天數，即可求出在規(guī)定時間內單獨完成此項工程哪個隊花錢最少.【答案與解析】設甲隊單獨做需天完成，乙隊單獨做需天完成，丙隊單獨做需天完成，依題意，得，得，得，即z 30，得，即x 10，得，即y 15經檢驗，x 10，y 15，z 30是原方程組的解設甲隊做一天廠家需付元，乙