橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1、第三章 圓錐曲線的方程 我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線(截面與圓錐側(cè)面的交線)是一個(gè)圓. 如果改變圓錐的軸與截平面所成的角，那么會(huì)得到怎樣的曲線呢? 如圖，用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線. 我們通常把橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線. 本章我們繼續(xù)采用坐標(biāo)法，在探究圓錐曲線幾何特征的基礎(chǔ)上，建立它們的方程，通過(guò)方程研究它們的性質(zhì)，并解決與圓錐曲線有關(guān)的幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會(huì)坐標(biāo)法的魅力與威力.3.1 橢圓3.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 橢圓是圓錐曲線

2、的一種，具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用，那么，橢圓到底有怎樣的幾何特征? 我們?cè)撊绾卫眠@些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)? 探究 取一條定長(zhǎng)的細(xì)繩, 把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn), 套上鉛筆, 拉緊繩子, 移動(dòng)筆尖, 這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫出的軌跡是一個(gè)圓. 如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離, 分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1, F2, 套上鉛筆, 拉緊繩子, 移動(dòng)筆尖, 畫出的軌跡是什么曲線? 在這一過(guò)程中, 移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是什么?動(dòng)畫演示通過(guò)動(dòng)畫演示可知，畫出的軌跡是橢圓.在這一過(guò)程中, 移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是： 移動(dòng)的筆

3、尖M(動(dòng)點(diǎn))到固定在圖板上的兩定點(diǎn)F1, F2的距離之和是定值, 并且這個(gè)定值大于兩定點(diǎn)間的距離，即由此可得橢圓的定義. 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2 |)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 這兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離| F1F2|叫做橢圓的焦距. 焦距的一半稱為半焦距.1. 橢圓的定義:思考 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓應(yīng)滿足什么條件？ 在平面內(nèi)-(這是前提條件)； 動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離之和是常數(shù)； 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2 ；動(dòng)點(diǎn)M沒(méi)有軌跡 .F1F2M下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征, 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系, 建立橢圓的方程. 下面我們根據(jù)橢圓的幾

4、何特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，推導(dǎo)橢圓方程，并通過(guò)方程研究橢圓的性質(zhì).F1F2MxyO 如圖示, 建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)M(x,y)是橢圓上任一點(diǎn), 橢圓的焦距為2c(c0), M與F1, F2的距離的和等于常數(shù)2a(a0), 則(x,y)由定義知：化簡(jiǎn)整理得由橢圓定義知：為了使方程形式更簡(jiǎn)單： 我們把方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.思考1 觀察圖, 你能從中找出表示a,b,c的線段嗎？由圖可知，2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:F1F2MxyO(x,y) 如圖示, 若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(c,0), F2(c,0), c2a2b2.F1F2PxyOcab思考2 如圖示, 如果焦

5、點(diǎn)F1, F2在y軸上, 且F1, F2的坐標(biāo)分別為(0,c), (0, c), a, b的意義同上, 那么橢圓的方程是什么?F1F2MxyOF1F2MxyO(x,y)(焦點(diǎn)在x軸上)(焦點(diǎn)在y軸上)定義焦點(diǎn)位置圖形方程特點(diǎn)共同點(diǎn)不同點(diǎn)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:F1F2MxyOF1F2MxyO焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上例1解1: (定義法)解2: (待定系數(shù)法)例1【方法說(shuō)明】(3) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要先定“位”，1. 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法有：a, b, c 滿足的關(guān)系有：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)方程，代入計(jì)算出待定字母的值. 用定義尋找a, b, c的方程；(1) 定義法：(2) 待定系數(shù)法：待定系數(shù)法更為

6、常用，是解此類問(wèn)題的通法.即求 a, b 的大小 . 即確定焦點(diǎn)的位置；其次是定“量”，14yOF1F2xAB(1)由題意 故AF1B的周長(zhǎng)為： (2) 如果AB不垂直于x軸，AF1B的周長(zhǎng)不會(huì)有變化.仍然成立. 解：AF1B的周長(zhǎng)為： 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0, y0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0, 0). 由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)，得 例2 如圖，在圓 上任意一點(diǎn)P , 過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段 PD, D為垂足. 當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí), 線段 PD中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？ xyPMOD 尋求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)中x, y與x0, y0之間的關(guān)系,然后消去x0, y0, 得到點(diǎn)

7、M的軌跡方程. 這是解析幾何中求點(diǎn)的軌跡方程常用的方法. 利用信息技術(shù), 可以更方便地探究點(diǎn)M的軌跡的形狀.解1：(相關(guān)點(diǎn)代入法)xyPMOD解2：(參數(shù)法) P 在圓 x2 + y2 = 4 上， 可設(shè)P(2cos, 2sin),消去參數(shù)，得點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓 .設(shè) 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, y), 由題意有 例2 如圖，在圓 上任意一點(diǎn)P , 過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段 PD, D為垂足. 當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí), 線段 PD中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？ yxMPM0NO解1：設(shè) P(x, y),則點(diǎn)M在圓C2上, 故點(diǎn)P的軌跡C的方程為【變式1】已知圓 圓 點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn), 點(diǎn)M是圓C2上的一動(dòng)點(diǎn),

8、線段OM交圓C1于N, 過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于M0, 過(guò)點(diǎn)N作M0M的垂線交M0M于P. 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí), 求點(diǎn)P的軌跡C的方程.設(shè) P(x, y),可設(shè)則由點(diǎn)M, N分別在圓C2 , C1上，消去參數(shù), 得 點(diǎn)P的軌跡C的方程為橢圓的參數(shù)方程yxMPM0NO解2：【變式1】已知圓 圓 點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn), 點(diǎn)M是圓C2上的一動(dòng)點(diǎn), 線段OM交圓C1于N, 過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于M0, 過(guò)點(diǎn)N作M0M的垂線交M0M于P. 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí), 求點(diǎn)P的軌跡C的方程.【變式2】求與圓(x3)2y2=4外切, 且與圓(x3)2y2=100內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程解：故動(dòng)圓圓心的

9、軌跡方程為設(shè)動(dòng)圓的圓心為M(x, y), 半徑為r, 它與已知圓O1, O2切于Q, P 兩點(diǎn), 則yxO1O2PMQO橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說(shuō)明：橢圓的參數(shù)方程是橢圓方程的另外一種表現(xiàn)形式，它的優(yōu)越性在于將曲線上點(diǎn)的橫, 縱坐標(biāo) (兩個(gè)變量) 用同一個(gè)參數(shù)表示，這樣就能將橢圓上點(diǎn)的很多問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決，很好地將幾何問(wèn)題代數(shù)化.橢圓的參數(shù)方程：橢圓的參數(shù)方程(1) 橢圓 的參數(shù)方程是 參數(shù)方程：(2) 圓x2y2r2的參數(shù)方程是 (3) 圓(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程是 思考 由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過(guò) “壓縮” 得到橢圓. 你能由圓通過(guò) “拉伸” 得到橢圓嗎? 如何 “拉伸” ? 由此

10、你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?xyPMODxyPMOD拉伸動(dòng)畫例3xyBMOA 解: 設(shè)點(diǎn)M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得4. 已知A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1,0), (1,0), 直線AM, BM相交于點(diǎn)M, 且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2, 點(diǎn)M的軌跡是什么? 為什么?解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x, y), 由已知, 得直線AM的斜率為直線BM的斜率為總結(jié)：解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的三種方法1.直接法：直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件M|p(M)直接翻譯成x，y的形式，即F(x，y)0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)為f(x，y)0.2.定義法：用定義法求橢圓方程的思路是先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可3