9.離散隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第九離散量的數(shù)字特1X x1 x2 ，xn p1p2 ，pn EX x1 p1 x2 p2 xn 第九離散量的數(shù)字特1X x1 x2 ，xn p1p2 ，pn EX x1 p1 x2 p2 xn pn ，叫做這個(gè)離散型隨X 2 p ，p DX) x E(x)2 p x E(x)2 p x E(x)2 p 12nn2nX D(X的算術(shù)平方根 D(x) X X 為 X p nX 的期望取值為np 量 X 服從參數(shù)為 n 和 p 的二項(xiàng)分布 ， 則 EXnp 二項(xiàng)分布： 若 離散型隨D(x) npq (q 1 p)，D(X) n(N n)(N MEX) NN2(N 1】的點(diǎn)數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為）D等

2、于的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩種新配方（AB配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： B 已知用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤(rùn)y：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式 等于的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩種新配方（AB配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： B 已知用B配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤(rùn)y：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式 ：元X（由試驗(yàn)結(jié)果知，用A 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率為 =. 【】A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為.B 配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為 .B 生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為.的頻率分別為.，.，.，因此 X 的分布列為

3、X EX . . . .備（2011湖南某商店試銷某種商品 X X 】 P（“當(dāng)天商品不進(jìn)貨【01231595X24P48P（“當(dāng)天商品銷售量為件”）P（“當(dāng)天商品銷售量為件”） ) P（“當(dāng)天商品銷售量為件”） P(P（“當(dāng)天商品銷售量為件”）P（“當(dāng)天商品銷售量為件”）P（“P( 商品銷售量為件”）X P（“當(dāng)天商品銷售量為件”）P（“當(dāng)天商品銷售量為件”） ) P（“當(dāng)天商品銷售量為件”） P(P（“當(dāng)天商品銷售量為件”）P（“當(dāng)天商品銷售量為件”）P（“P( 商品銷售量為件”）X X EX 【例2（2011重慶 申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的求該市的任4 位申請(qǐng)人 恰有2【所有可能

4、的申請(qǐng)方式有34 種，恰有2 人申區(qū)房源的申請(qǐng)方式C222種，從而恰4C22 人申區(qū)房源的概率為 記“申區(qū)房源”為事件A，則P(A)1312 28P (2)4 34 3P(1)C2C (2 )P(2)或P(2) C1C2C2449P(3 3 4 2 或P(3 4 3 9 34 65 E 123P1X23P備（2011山東A、B、CAB，丙對(duì)C各一 】用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求ADB E ，丙勝C F ，D，E，F(xiàn) AB ，丙不勝C 的事件 P(D) .，P(E) .，P(F) . 備（2011山東A、B、CAB，丙對(duì)C各一 】用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求ADB E ，丙勝C F ，D，E

5、，F(xiàn) AB ，丙不勝C 的事件 P(D) .，P(E) .，P(F) . DEF，DEF，DEF，DEF 為P P(DEF) P(DEF) P(DEF) P(DEF . . . .12P( ) P(DEF) . .【P() P(DEF)P(DEF)P(DEF).P( P(DEF.P()P()P()P().所以E.】 和 的分布列如下 【6136130.7，D00.72 10.72 20.72 E02 0.891工人乙生產(chǎn)出次品數(shù) 的期望和方差分別為5325320.7 ，D00.72 10.72 20.72 E02E E 知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)D D ，可見(jiàn)乙的技012012P

6、613P5320123P備】甲保護(hù)區(qū)次數(shù) X1 的數(shù)學(xué)期望和方差為EX1 00.310.3 20.2 30.2 DX1 (01.3) 0.3(11.3) 0.3(21.3) 0.2(31.3) 0.2備】甲保護(hù)區(qū)次數(shù) X1 的數(shù)學(xué)期望和方差為EX1 00.310.3 20.2 30.2 DX1 (01.3) 0.3(11.3) 0.3(21.3) 0.2(31.3) 0.2【次數(shù)X 2 的數(shù)學(xué)期望和方差為EX200.110.520.4DX2 (01.3) 0.1(11.3) 0.5(21.3) 0.40.41EX1) E(X2，DX1 D(X2（標(biāo)準(zhǔn)差X1 DX11.1X2 DX2 0.64這

7、兩個(gè)值在科學(xué)計(jì)算器上容易獲得，顯然(X1)(X2)【鋪墊】一盒子內(nèi)裝有10個(gè)乒乓球，其中3個(gè)舊的，7個(gè)新的，從中任意取4個(gè)，則取到新球的個(gè)】2.8；超幾何分布，47 2.8，已知在備選的10道試題中，能答對(duì)其中的6試都從備選題中隨機(jī)抽出5 E 56 3故他得分的期望值為20360【鋪墊可從一個(gè)內(nèi)有2張100元，3 張50元的袋子里任取2 張，求他獲得錢數(shù)的期望值【 C03610) 2 3 1) 2 3 2) 2 3 P(555 121500)150P(2140100P( 22 4 因此他獲得錢數(shù)的期望值為：100 4 502 414055X012P0123P【例4（2011遼寧行田間試驗(yàn)選取兩

8、大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共n 小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙 假設(shè)nXX 的分布列和數(shù)8 小塊，即n的每公頃產(chǎn)量（ kghm）n的的樣本方差s n【】X 0，1，2，3，4) )【例4（2011遼寧行田間試驗(yàn)選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共n 小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙 假設(shè)nXX 的分布列和數(shù)8 小塊，即n的每公頃產(chǎn)量（ kghm）n的的樣本方差s n【】X 0，1，2，3，4) ) P() ) P(X X 的數(shù)學(xué)期望為E(X) x ()甲S ( () () () ).甲x ()乙S ( () () () )乙（

9、2011江西不同的飲8 杯，其顏色完全相同，并且其中4 A 飲料4 杯為B 飲料，公司84A443杯，則月工資定為元，否則月工資定為X 表示此人選A A B 兩種飲料沒(méi)有鑒別能力備】X X 【X1234PCi i) (i，P(X 則P(Y ) P(X )P(Y ) P(X )P(Y ) P(X ) EY 所以新錄用員工月工資的期望為【鋪墊】一盒子內(nèi)裝有10個(gè)乒乓球，其中3個(gè)舊的，7個(gè)新的，每次取一球，取后放回，取4次，Ci i) (i，P(X 則P(Y ) P(X )P(Y ) P(X )P(Y ) P(X ) EY 所以新錄用員工月工資的期望為【鋪墊】一盒子內(nèi)裝有10個(gè)乒乓球，其中3個(gè)舊的，

10、7個(gè)新的，每次取一球，取后放回，取4次，72.842.8【例5x2 y2 4確定的平面區(qū)域?yàn)閁 x y 1確定的平面區(qū)域?yàn)閂 定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”，在區(qū)域U內(nèi)任取3個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V 在區(qū)域U 內(nèi)任取3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)在區(qū)域V X X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 】【C2P ：平面區(qū)域U 4，平面區(qū)域V 12222在區(qū)域U 內(nèi)任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域V 內(nèi)的概率 122 32 0 111110) 1 1P ，3 23 2 2321 2 1112)2 1 23)2 1 2P( X X0123P2 32 32 1X01234P2 32 321 X EX 0231 （或者：X B，故EX np32

11、 備）甲種保險(xiǎn)的概率為. ，險(xiǎn)的概率為.，設(shè)各車主 求該地甲、乙兩種保險(xiǎn)中的種的概率X 表示該地的2 32 321 X EX 0231 （或者：X B，故EX np32 備）甲種保險(xiǎn)的概率為. ，險(xiǎn)的概率為.，設(shè)各車主 求該地甲、乙兩種保險(xiǎn)中的種的概率X 表示該地的X 【】記A表示事件：該地的1位車B1C1 P(A).，P(B) .，C AB P(C) P(A B) P(A) P(B) . DC，P(D)P(C).XB(，.X EX .；備某班級(jí)有n人，設(shè)一年365天中，恰有班上的m （mn ）X ，X 的期望值以及至少有兩人過(guò)生日的天數(shù)的期望值n 個(gè)人在哪天過(guò)生日可看成 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，

12、設(shè)某天過(guò)生日的人數(shù)為 【，則n m 36411Y B nP(Y m Cm ，365365nn 365天每天有多少人過(guò)生日，又可看作365XB365，P(Ym)m E(X)365P(Y m)0n沒(méi)有人過(guò)生日的天數(shù)期望值為n1 恰有一人過(guò)生日的天數(shù)期望值為Cn 365n1 n365n1 nX Cm Cn M m) NM Cmpmqnm ，其中p nNN【例6賽 161213【27 （2008 備賽1026 2 ，乙在每局中獲勝的概率為13且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望E為3）D【22 15 3 39 P( 2) 5 ，P(4)45 20999 4P(6)9【27 （2008 備賽1

13、026 2 ，乙在每局中獲勝的概率為13且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望E為3）D【22 15 3 39 P( 2) 5 ，P(4)45 20999 4P(6)9 EAk 表示甲在第kAk 表示乙在第k局比賽中獲勝P( 2) P(A A ) P(A A ) 5 1 1 9221120 4) P(A A A A ) P(A A A A ) P(A A A A ) P(A A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 22 116 6) P(A A A ) P(A A A ) P(A A A ) P(A A A A ) 31 2 3 1 2 3 1 2 3 12 3

14、 3 E【例7只派一次，工作時(shí)間不超過(guò) 分鐘，如果有一個(gè)人 分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下 p ，p ，p 互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立概12 ，q 是 p ，p ，p 的一個(gè)排列，求所需派出數(shù)目X 的分布列和均值（數(shù)字期望）EX ； p p p ，試分析以怎樣的先后順序派出【論，任務(wù)不能被完成的概率都是( p ，q 是 p ，p ，p 的一個(gè)排列，求所需派出數(shù)目X 的分布列和均值（數(shù)字期望）EX ； p p p ，試分析以怎樣的先后順序派出【論，任務(wù)不能被完成的概率都是( p)( p)( p) ，( p)( p)( p) p p p p p p p p p pp q X

15、數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX EX 由EX p p pp p p p p 事實(shí)上，兩者的差 (p q)(p q) pp )(p p pp(p q)(p q)(p q)p q(p q( p)(p (q)(p p)（方法二)(p q)(p q 可將EX 改寫為) q 為) 也可將EX 改寫為 綜合可知，當(dāng) 備 ABADAA 1B BC BB 113112 X123P】1AB，AD，AA1 【C1(乙乙螞蟻只能沿CB ，CC 12 21 3 CAD方向時(shí)，乙螞蟻只能沿C D CC 1 12 2A(甲B3 AA 方向走時(shí)，乙螞蟻只能沿C D C B 12 211 1 3 23 2 93 2 當(dāng)】1AB，

16、AD，AA1 【C1(乙乙螞蟻只能沿CB ，CC 12 21 3 CAD方向時(shí)，乙螞蟻只能沿C D CC 1 12 2A(甲B3 AA 方向走時(shí)，乙螞蟻只能沿C D C B 12 211 1 3 23 2 93 2 當(dāng)0ABCC1ABB1C1ADCC1ADD1C1AABC AADC P 1116 1 1 1 1 1 12當(dāng) 2ABCDABB1AADCBADD1AAA B B AAD DP 1116 1 1 22 22P(0 1 P( 2 1 E22（2011卓越a個(gè)白球和b 個(gè)黑球，從中任取一個(gè)球，如果取出白球，則把它放回袋中；如n次這樣的操作后，記Xn （I）EX1（II）PXnak pkP

17、Xn1 akk 012b1EX 11abn】X1的取值可以是a，a1【abPX a ，11aaa2 ab所以EX1 aPX1 aa1PX1 a1 Xn1 ak Xn a k Xn ak aXn ak 時(shí)，則第n1a ba k aPXn1 akPXn akPXn akaa a b1ppkakaak2 a bakb1k a bbbbEXn1 akPXn1 akpk kpkkkDak2 a bb1 a k 1bkbpk akkb1 akb1 a k 1bkpk pk abaakkab b 1 a bak2 a bb1 a k 1bkbpk akkb1 akb1 a k 1bkpk pk abaakk

18、ab b 1 a b1ak abkakkk0 kb b1 1 akp ab1 bka bpabkkakkk0 ab b1 1 akbkabkakk0 1EX 11abn練.）量X的分布列如下表若EX 0，DX 1，則a -1 X121aP1 【12 由題知abc11，ac 1 0，12 a12c221，解得a 1564練習(xí)E1000.11150.21250.41300.11450.2E 1100.11200.21250.41300.11350.2 【PPD0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)2 0.1(130125)2 0.2(145125)2 D0.1(11

19、0125)20.2(120125)20.4(125125)2 0.1(130125)2 0.2(135125)2 練習(xí)）3 個(gè)白球、2 從這兩個(gè)箱D0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)2 0.1(130125)2 0.2(145125)2 D0.1(110125)20.2(120125)20.4(125125)2 0.1(130125)2 0.2(135125)2 練習(xí)）3 個(gè)白球、2 從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2 個(gè)球 （1 中32 X EX【 12設(shè)“1中摸出i個(gè)白球”15C2 P(A ) 3 2 3C2 設(shè)“在1 中獲獎(jiǎng)”為事件B，則B A2 A3 C2 C1 C1又P(A )C5 且A ，A 互斥，所以P(B) P(A