通法巧解焦點(diǎn)弦問(wèn)題

1、通法巧解焦點(diǎn)弦問(wèn)題 全科中心王繼強(qiáng)筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生對(duì)解析幾何部分感到十分頭疼，許多學(xué)生在這一部分付出了大量的時(shí)間和精力，但收效甚微。其實(shí)，解析幾何遠(yuǎn)沒有大家認(rèn)為的那么難。我們說(shuō)面對(duì)高考，我們要做的第一件事就是搞清楚高考到底怎么考和考什么?？偨Y(jié)新課改后高考對(duì)于解析幾何部分的考察，我們發(fā)現(xiàn)有一類問(wèn)題成為高考中的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，那就是直線和圓錐曲線相交的問(wèn)題，為此筆者將在下面的問(wèn)題中給出一個(gè)此類問(wèn)題的通解。考題：P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，且求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值分析：第一件事情是要把圖像畫出來(lái)，要花圖像，我們就要分析清楚直線

2、或者是向量的位置關(guān)系，因此我們要讀懂題目中的條件，知道兩個(gè)向量是垂直的。圖像畫出來(lái)后，我們就要關(guān)注題目的設(shè)問(wèn)，即所求的是四邊形的面積的最值問(wèn)題，因此我們要表示出該四邊形的面積（此處方法有多種），我們把題目的所問(wèn)進(jìn)行了一次轉(zhuǎn)化，變成求兩條過(guò)焦點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度。為此，我們?nèi)稳∑湟唬鏟Q，這時(shí)大家要馬上反應(yīng)出弦長(zhǎng)公式（此公式為解析幾何部分的基本公式之一），分析該公式我們知道需要直線的斜率，需要直線和圓錐曲線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以利用韋達(dá)定理求出兩根之和和兩根之積，為了利用韋達(dá)定理，我們需要構(gòu)造一元二次方程，于是我們需要聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，所以第一件事情就是要寫出直線的方程（設(shè)直線斜率的時(shí)候一定要

3、考慮到斜率是否存在）。總結(jié)這樣的規(guī)律，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)直線和圓錐曲線相交的問(wèn)題，有一個(gè)通解，那就是，先寫直線方程，再寫曲線方程，聯(lián)立兩個(gè)方程消元構(gòu)造一元二次方程，套用韋達(dá)定理，求出兩根和兩根積，帶入弦長(zhǎng)公式。解到此處，便需要更具具體題目具體做答了。解答：. 即.當(dāng)MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時(shí)，另一條直線必垂直于y軸. 不妨設(shè)MNy軸，則PQx軸.F(0, 1) MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0分別代入橢圓中得：|MN|=, |PQ|=2S四邊形PMQN=|MN|PQ|=2=2當(dāng)MN,PQ都不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，設(shè)MN的方程為y=kx+1 (k0)，代入橢圓中得(k2+2)x2+2kx1=0, x1+x2=, x1x2=同理可得：S四邊形PMQN=|MN|PQ|=(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)).又S四邊形PMQN =，此時(shí), S四邊形PMQN綜上可知：(S四邊形PMQN )max=2, (S四邊形PMQN )min=總結(jié)上述題目，關(guān)鍵問(wèn)題變成了什么時(shí)候套用該通解法呢？其實(shí)大家細(xì)心會(huì)發(fā)現(xiàn)，題目會(huì)告訴你什么時(shí)候用的，比如出現(xiàn)弦長(zhǎng)，或者隱性的出現(xiàn)直線和曲線相交，大家可以從下面兩個(gè)題目入手，自己總結(jié)規(guī)律。1如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。（）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；OFxyPM第1題圖