基于CIR模型的數(shù)值模擬及設(shè)參保正對比分析

1、 基于CIR模型的數(shù)值模擬及設(shè)參保正對比分析 高世磊 李安琪 何佳璐 袁恒 張家銘摘 要：隨機微分方程在金融數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用，我們對用來分析利率的CIR模型進行了數(shù)值對比研究。我們分別對原方程用Euler算法的顯隱式格式、Milstein算法的顯式格式和對原方程進行變換后的格式以及應(yīng)用分裂算法進行對比計算，主要對CIR模型中常數(shù)參數(shù)賦值進行數(shù)值模擬，并比較三種格式的方差。最后研究了CIR模型各算法的保正性。Key：CIR模型 Euler算法 Milstein算法 分裂算法 保正性1 CIR模型簡介在20世紀(jì)80年代中期，Cox、Ingersoll和Ross對一個簡單而又完備的經(jīng)濟體提出了一個時

2、間連續(xù)的廣義均衡單因子模型，并且用它來檢驗資產(chǎn)價格的行為1?；趯势谙藿Y(jié)構(gòu)的研究，建立了CIR模型，利率的隨機微分方程為一個單平方根過程：其中回復(fù)速度，長期均值和波動率均為常數(shù)參數(shù)。由上式可知，利率在長期均值附近上下波動，參數(shù)表示利率回復(fù)到的速度，CIR模型將利率的波動設(shè)定為與利率水平的平方根成正比，波動率的方差會隨著利率本身的增大而增大。該模型對任意時刻s，t（st），當(dāng)已知s時刻的短期利率信息時，時刻t的瞬時短期利率服從非中心卡方分布。CIR模型中通過設(shè)定波動率與利率的平方根成正比，使得短期利率具有非負性：當(dāng)0時，漂移項（-）為正值，且擴散項逐漸趨近于零，表明利率的波動性也趨近于零，因

3、此利率不會取到負值;當(dāng)22時，CIR過程可以達到零界限值，當(dāng)22時，向上的漂移項足可以使得零界限值無法達到，嚴(yán)格為正2。2 CIR模型的三類格式及數(shù)值模擬本小節(jié)是對CIR模型利用各種方式得到的數(shù)值方法進行數(shù)值求解并進行統(tǒng)計性質(zhì)的對比和對CIR模型中常數(shù)參數(shù)賦值進行數(shù)值模擬。2.1 第一類基本算法2.3 分裂格式2.4 參數(shù)賦值及統(tǒng)計特征圖1數(shù)學(xué)期望圖：為簡化表達，對算法進行縮寫表示。以EF表示向前歐拉方法，以EB表示向后歐拉方法，以MIL表示Milstein方法，以TEF表示基于變換格式向前歐拉方法，以TEB表示基于變換格式向后歐拉方法，以SSM表示分裂步方法，此后圖中均以縮寫代表各方法。圖中

4、是各數(shù)值模擬方法得到的數(shù)學(xué)期望，橫軸表示時間t且設(shè)置范圍0，1，縱軸表示各時間對應(yīng)的期望值E（X（t）。計算各方法得到數(shù)值解的方差：圖2方差圖：圖中表示各數(shù)值模擬方法得到的方差，橫軸表示時間t且設(shè)置范圍0，1，縱軸表示各數(shù)值模擬方法在時間t的方差。分析上述期望、方差可知，采用的數(shù)值模擬方法有效，得到的CIR模型（1.1）的數(shù)值解唯一，在統(tǒng)計特征上表現(xiàn)為同期望、同方差。3 基于CIR模型算法的保正性及賦值分析保正性在CIR模型的研究中是具有實際意義的，CIR模型主要描述短期利率的變化情況，利率在現(xiàn)實生活中的非負的;從CIR模型本身出發(fā)，在實數(shù)范圍內(nèi)，若為負數(shù)，模型擴散系數(shù)是沒有意義的。故CIR模

5、型嚴(yán)格要求保正，繼而要求數(shù)值模擬時保正，則產(chǎn)生了對數(shù)值模擬方法保正性的研究需求。為解決數(shù)值模擬方法也就是相應(yīng)的數(shù)值算法的保正性，需考慮兩方面的問題：（1）是否存在絕對保正的數(shù)值算法;（2）對于存在不保正現(xiàn)象的算法，是否在滿足某種條件下達到保正需要。基于這兩個問題，將對第二部分中論述的數(shù)值算法進行分類，選出絕對保正的算法，對條件保正的算法進行條件強弱的比較。由于CIR模型方程：中a、b皆為常數(shù)，且設(shè)置參數(shù)時要求為非負數(shù)，故模型中確定性部分對迭代過程的保正性始終起著正作用，而對于隨機部分而言，白噪聲項為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動，且有，在數(shù)值模擬過程中，利用蒙特卡洛模擬思想，以正態(tài)分布隨機數(shù)模擬該隨機過程，故

6、存在小于0的隨機數(shù)可能，使得模型隨機部分對迭代過程保正性起著負作用。顯然可知，首次出現(xiàn)負數(shù)只有一種情況，隨機部分為負數(shù)，且絕對值大于確定性部分即：。換個思路，倘若a、b的數(shù)量級遠大于是否就一定保正了呢？答案是肯定的，在要求a、b全為非負的前提下，令為0，則迭代過程中不可能出現(xiàn)負數(shù)的可能。這為研究絕對保正提供了一個思路，在的值遠大于a、b的情況下，倘若算法還具有保正性，就可以說明其具有絕對保正性或者說嚴(yán)格保正?？芍嬖谝粋€充分小的實數(shù)，使得迭代過程一定保正，為探究各方法的保正性，不妨設(shè)置參數(shù)a=b=0，=5，初值，軌道數(shù)為1000，下表格為各迭代算法出現(xiàn)負數(shù)迭代步的軌道條數(shù)。從上表可得，只有分

7、裂方法對任意具有保正性。這是因為分裂方法利用卡方隨機數(shù)進行模擬，而卡方隨機數(shù)全為正數(shù)，故迭代步數(shù)值全為正數(shù)。上述分析已經(jīng)提及，當(dāng)足夠小時，數(shù)值模擬一定不會出現(xiàn)負數(shù)情況，即滿足模型保正性要求，因此條件保正是一定存在的。定性分析是a、b越大，越小則滿足保正性要求的可能性越大;定量分析是a、b、之間存在著某種關(guān)系時，算法在數(shù)值模擬中就一定保正。為進一步探究顯隱式Euler方法、Milstein方法在參數(shù)a、b、滿足什么條件下，會出現(xiàn)保正的情況，采用控制變量方法，單獨研究a、b中一個參數(shù)與的關(guān)系：情況1、固定b=1，內(nèi)，發(fā)現(xiàn)各模擬方法中變量a與近似成正比。圖3，a-圖：圖中表示各數(shù)值模擬方法參數(shù)a與成

8、正比關(guān)系，其中參數(shù)a為自變量且設(shè)置范圍0，5，為因變量。情況2、固定a=1，繪制各模擬方法b與的曲線圖，發(fā)現(xiàn)b與在各模擬方法中不存在明顯的關(guān)系。圖4 b-圖：圖中表示各數(shù)值模擬方法參數(shù)b與之間的關(guān)系，其中參數(shù)b為自變量且設(shè)置范圍0，5，為因變量，各方法間b-不呈現(xiàn)明顯的關(guān)系。情況3、設(shè)，得到各模擬方法a，b，關(guān)系三維網(wǎng)格圖，分析各模擬方法的條件保正性。圖5 a-b-網(wǎng)格圖：圖中為各數(shù)值模擬方法參數(shù)a、b、三者之間的關(guān)系圖，x軸為a，y軸為b，z軸為，其中參數(shù)a、b為自變量設(shè)置參數(shù)范圍皆為0，1，為自變量。分析上圖可得：在曲面以下，算法保正，可知對任一平行于Z軸的直線，與曲面交點，Milstei

9、n方法的值最大，即根據(jù)值越小越保正的現(xiàn)象，Milstein方法在固定一組a、b值情況下，條件最弱。故Milstein算法的保正性最好，CIR方程變換格式的顯隱式Euler方法次之，CIR方程基礎(chǔ)格式的顯隱式Euler方法的保正性最差。Reference1 Cox，J.C.，Ingersoll，J.E. and Ross，S.A. An intertemporal general equilibrium model of asset prices，Econometrica，1985（53）：363-384.2 Cox，J.C.，Ingersoll，J.E. and Ross，S.A. A theory of the term structure of interest rates，Econometrica，1985（53）：385-407.3 Kleoden P E，Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential EquationsM. Berlin：Spring-Verlag，1992.4 Milstein G N. Approximate Integration of Stochastic Differential Equation J. The