初三數(shù)學(xué)秋季講義 第9講.解直角三角形 教師版

1、中考內(nèi)容與要求 中考內(nèi)容與要求中考內(nèi)容中考要求ABC銳角三角函數(shù)了解銳角三角函數(shù)（，）；知道，角的三角函數(shù)值由某個銳角的一個三角函數(shù)值，會求這個角的其余兩個三角函數(shù)值；會計算含有，角的三角函數(shù)式的值能運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單問題中考考點分析中考考點分析解直角三角形的知識是近年各地中考的熱點之一，考查內(nèi)容以基礎(chǔ)知識與基本技能為主。應(yīng)用意識進(jìn)一步增強(qiáng)，聯(lián)系實際，綜合運(yùn)用知識、技能的要求也越來越高。北京中考題中的第13題是簡單的三角函數(shù)計算，第20題是計算長度問題，一般可以轉(zhuǎn)化為直角三角形運(yùn)用三角函數(shù)得到解決。本部分內(nèi)容要求同學(xué)們能掌握三角函數(shù)的概念，會熟練運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值；將實

2、際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；涉及解斜三角形的問題時，構(gòu)造數(shù)學(xué)幾何模型，即通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將解一般三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形。年份2011年2012年2013年題號13，2013，2014，20分值11分10分10分考點三角函數(shù)計算；運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形三角函數(shù)計算；運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形三角函數(shù)計算；運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形 知識互聯(lián)網(wǎng) 知識互聯(lián)網(wǎng)題型一：構(gòu)造直角三角形及三角題型一：構(gòu)造直角三角形及三角板拼圖思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航在一些幾何證明題或者解答題中，往往通過構(gòu)造直角三角形利用勾股定理、相似或者三角函數(shù)來達(dá)到解題的目的典題精練典題精練四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間

3、空出的部分是一個小正方形，這樣就組成了一個“趙爽弦圖”（如圖）如果小正方形面積為1，大正方形面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么 （或0.6）四邊形的對角線的長分別為m，n，可以證明當(dāng)時（如圖1），四邊形的面積，那么當(dāng)所夾的銳角為時（如圖2），四邊形的面積 （用含的式子表示）ABCABCD圖1BADC圖2.已知兩個不同型號的三角板拼在一起（互不重疊），并且其中的兩條邊完全重合. 這樣的拼法共有幾種?請分別畫出. 當(dāng)兩個三角形的斜邊重合時，求出此時四邊形對角線夾角的正切值 如圖所示，一共有九種拼法 如圖，分別過、作，垂足為、設(shè)，則，設(shè)，題型二題型二：解直角三角形的復(fù)雜應(yīng)用思路導(dǎo)航 思路導(dǎo)航

4、解直角三角形應(yīng)用題的解題步驟及應(yīng)注意的問題： 分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義； 找出要求解的直角三角形有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； 根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形； 按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進(jìn)行近似計算，檢驗是否符合實際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位 60306030ACBD典題精練某校研究性學(xué)習(xí)小組測量學(xué)校旗桿AB的高度，如圖在教學(xué)樓一樓C處測得旗桿頂部的仰角為60，在教學(xué)樓三樓D處測得旗桿頂部的仰角為30，旗桿底部與教

5、學(xué)樓一樓在同一水平線上，已知每層樓的高度為3米，則旗桿AB的高度為 米.(2013 東營)【解析】9米如圖，大海中有和兩個島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線上點處測得，；在點處測得， 判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由 求兩個島嶼和之間的距離（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，）（2012無錫模擬）ADBADADBADEBADFEBADQFEBADPQFEBAD【解析】（1）相等，證明：，又，在與中，（2）作，垂足為，設(shè)，則，中，即，即題型三題型三：閱讀理解典題精練典題精練隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器人已經(jīng)能按照設(shè)計的指令完成各種動作，在坐標(biāo)平面上，根據(jù)指令，（，）機(jī)器人能完成下列動作：先原地順時針旋轉(zhuǎn)角度，

6、再朝其面對的方向沿直線行走距離 填空：如圖，若機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的原點，且面對軸的正方向，現(xiàn)要使其移動到點，則給機(jī)器人發(fā)出的指令應(yīng)是_ 機(jī)器人在完成上述指令后，發(fā)現(xiàn)，處有一小球正向坐標(biāo)原點做勻速直線運(yùn)動，已知小球的滾動速度與機(jī)器人行走的速度相同，若忽略機(jī)器原地旋轉(zhuǎn)時間，請你給機(jī)器人發(fā)一個指令，使它能最快截住小球（如圖，點為機(jī)器人最快截住小球的位置）（角度精確到度；參考數(shù)據(jù)：，） ， 設(shè)在軸上的，處正好截住小球，過作軸于機(jī)器人和小球速度相同，即，解得，, ，在中，即，即所下指令為，如圖，在海面上產(chǎn)生了一股強(qiáng)臺風(fēng)，臺風(fēng)中心（記為點）位于濱海市（記作點）的南偏西，距離為千米，且位于臨海市（記作點）正

7、西方向千米處臺風(fēng)中心正以千米/時的速度沿北偏東的方向移動（假設(shè)臺風(fēng)在移動過程中的風(fēng)力保持不變），距離臺風(fēng)中心千米的圓形區(qū)域內(nèi)均會受到此次強(qiáng)臺風(fēng)的侵襲濱海市和臨海市是否會受到此次臺風(fēng)的侵襲？請說 明理由若受到此次臺風(fēng)侵襲，該城市受到臺風(fēng)侵襲的持續(xù)時 間有多少小時？（湖北黃岡） 如圖設(shè)臺風(fēng)中心運(yùn)行的路線為射線，于是，過作于，故是等腰直角三角形，濱海市不會受到臺風(fēng)的影響；過作于，因此臨海市會受到臺風(fēng)的影響；如圖以為圓心為半徑作圓與交于，則，在中，是等邊三角形，臺風(fēng)中心經(jīng)過線段上所用的時間（小時），因此臨海市受到臺風(fēng)侵襲的時間為小時思維拓展訓(xùn)練(選講)思維拓展訓(xùn)練(選講)如圖1，一架長4米的梯子斜靠在

8、與地面垂直的墻壁上，梯子與地面的傾斜角為 求與的長； 若梯子頂端沿下滑，同時底端沿向右滑行 如圖2，設(shè)點下滑到點，點向右滑行到點，并且，試計算梯子頂端沿下滑多少米； 如圖，當(dāng)點下滑到點，點向右滑行到點時，梯子的中點也隨之運(yùn)動到點若，試求的長【解析】 中， ，又米，米米 設(shè)，在中， 根據(jù)勾股定理： 即梯子頂端沿下滑了米 點和點分別是的斜邊與的斜邊的中點， 米 如圖，已知：是等腰直角三角形，過的中點作，垂足為，連接，求的值【解析】過點作，為垂足是等腰直角三角形，又，也是等腰直角三角形設(shè)，一次數(shù)學(xué)活動中，小迪利用自己制作的測角器測量小山的高度已知她的眼睛與地面的距離為1.6米，小迪在處測量時，測角器

9、中的（量角器零度線和鉛垂線的夾角，如圖）；然后她向小山走50米到達(dá)點處（點在同一直線上），這時測角器中的，那么小山的高度約為（）A68米B70米C121米C123米（注：數(shù)據(jù)，供計算時選用）【解析】設(shè)，則，解得米選B某地有一居民樓，窗戶朝南，窗戶的高度為米，此地一年中的冬至這一天的正中午時刻太陽光與地面的夾角最小為，夏至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最大為（如圖）小明想為自己家的窗戶設(shè)計一個直角形遮陽蓬，要求它既能最大限度地遮攔夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)，小明查閱了有關(guān)資料，獲得了所在地區(qū)，小明又量得窗戶的高度為米，若同時滿足下面兩個條件： 當(dāng)太陽光與地面的夾角

10、為時，要想使太陽光剛好全部射入室內(nèi)， 當(dāng)太陽光與地面的夾角為時，想要使太陽光不射入室內(nèi)，請你借助下面的圖形幫助小明算一算，遮陽蓬中，和的長各是多少（精確到米）？（，）在中，在中，解得答：和的長分別約為米和米 復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固題型一 構(gòu)造直角三角形及三角板拼圖公園里有一塊形如四邊形的草地，測得米，請你求出這塊草地的面積 延長交于，連結(jié)，是等邊三角形，這塊草地的面積為平方米我們知道，“直角三角形斜邊上的高線將三角形分成兩個與原三角形相似的直角三角形”用這一方法，將矩形ABCD分割成大小不同的七個相似直角三角形按從大到小的順序編號為至，從而割成一副“三角七巧板”已知線段， 請用的三角函數(shù)表示線段BE

11、的長 ； 圖中與線段BE相等的線段是 ； 仔細(xì)觀察圖形，求出中最短的直角邊DH的長（用的三角函數(shù)表示） 由、知由題意易得在中， 在中 ， 題型二 解直角三角形的復(fù)雜應(yīng)用如圖，水壩的橫截面為梯形，壩頂寬，坡面，的坡度為，求水壩的橫截面積過分別作，垂足為則，由，且四邊形是矩形，在中，在中，由的坡度為，則，答：水壩的橫截面積為平方米如圖，在某海域內(nèi)有三個港口、港口在港口北偏東方向上，港口在港口北偏西方向上一艘船以每小時海里的速度沿北偏東的方向駛離港口小時后到達(dá)點位置處，此時發(fā)現(xiàn)船艙漏水，海水以每分鐘噸的速度滲入船內(nèi)當(dāng)船艙滲入的海水總量超過噸時，船將沉入海中同時在處測得港口在處的南偏東方向上若船上的抽

12、水機(jī)每小時可將噸的海水排出船外，問此船在處至少應(yīng)以怎樣的航行速度駛向最近的港口停靠，才能保證船在抵達(dá)港口前不會沉沒（要求計算結(jié)果保留根號）？并指出此時船的航行方向 （云南中考）連結(jié)、，延長，過作于，與交于點過作于點由已知得，（海里），在和中，從而（海里）港口在處的南偏東方向上，在等腰中，（海里），是直角三角形，綜上，可得港口離點位置最近此船應(yīng)轉(zhuǎn)向南偏東方向上直接駛向港口設(shè)由B駛向港口C船的速度為每小時海里， 則據(jù)題意應(yīng)有，解不等式，得（海里）答：此船應(yīng)轉(zhuǎn)向沿南偏東的方向向港口航行，且航行速度至少不低于每小時海里，能保證船在抵達(dá)港口前不會沉沒題型三 閱讀理解在例題6的第問中，將“小球的滾動速度與

13、機(jī)器人行走的速度相同”改為“小球速度為機(jī)器人的”，則要在最短時間內(nèi)截住小球應(yīng)下的指令為 【解析】設(shè)在軸上的，處正好截住小球，過作軸于，小球速度為機(jī)器人的，即，解得，（增根舍去），在中，即，所下指令為， 課后測課后測【測試1】如圖，在中，沿的中線CM將折疊，使點A落在點D處，若CD恰好與MB垂直，則的值為（）【解析】【測試2】在一次夏令營活動中，小明從營地點出發(fā)，沿北偏東方向走了500米到達(dá)點，然后再沿北偏西方向走了250米到達(dá)目的地點，則、兩地之間的距離為（）A米B米C米D米【解析】C【測試3】如圖，小明在樓上點A處觀察旗桿，測得旗桿頂部B的仰角為，測得旗桿底部C的俯角為，已知點A距地面的高為

14、求旗桿的高度【解析】過點A作，垂足為E，得矩形，中，中，答：旗桿的高度為第十七種品格：第十七種品格：成就學(xué)會“享受”生活，成功即會到來唐代著名的慧宗禪師常為弘法講經(jīng)而云游各地。有一回，他臨行前吩咐弟子看護(hù)好寺院的數(shù)十盆蘭花。弟子們深知禪師酷愛蘭花，因此侍弄蘭花非常殷勤。但一天深夜，狂風(fēng)大作，暴雨如注，偏偏當(dāng)晚弟子們一時疏忽將蘭花遺忘在了戶外。第二天清晨，弟子們后悔不迭：眼前是傾倒的花架、破碎的花盆，棵棵蘭花憔悴不堪，狼藉遍地。幾天后，慧宗禪師返回寺院。眾弟子忐忑不安地上前迎候，準(zhǔn)備領(lǐng)受責(zé)罰。得知原委后，慧宗禪師泰然自若，神態(tài)依然是那樣平靜安詳。他寬慰弟子們說:“當(dāng)初，我不是為了生氣而種蘭花的?！痹趫龅牡茏觽兟牶螅C