初三數(shù)學(xué)秋季講義 第4講.圖形中的二次函數(shù)解析式與復(fù)雜圖象變換 教師版

1、PAGE 18PAGE 19PAGE 1圖形中的二次函數(shù)解析式與復(fù)雜圖象變換4圖形中的二次函數(shù)解析式與復(fù)雜圖象變換4滿(mǎn)分晉級(jí)滿(mǎn)分晉級(jí)階梯函數(shù)16級(jí)函數(shù)16級(jí)圖形中的二次函數(shù)解析式與復(fù)雜圖象變換函數(shù)15級(jí)二次函數(shù)圖象綜合應(yīng)用函數(shù)14級(jí)二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用秋季班第四講秋季班第三講暑期班第三講漫畫(huà)釋義 “二次函數(shù)”漫畫(huà)釋義中考內(nèi)容與要求中考內(nèi)容與要求中考內(nèi)容中考要求ABC二次函數(shù)能結(jié)合實(shí)際問(wèn)題情境了解二次函數(shù)的意義；會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖象能通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題的情境確定二次函數(shù)的表達(dá)式；能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)確定圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸；會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解能用二次

2、函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；能解決二次函數(shù)與其他知識(shí)結(jié)合的有關(guān)問(wèn)題中考考點(diǎn)分析中考考點(diǎn)分析二次函數(shù)在北京中考中屬于必考考點(diǎn)，并且都以壓軸題形式出現(xiàn)，是中考的難點(diǎn)，也是同學(xué)們失分最高的一部分。這部分內(nèi)容要求學(xué)生們能用數(shù)形結(jié)合、歸納等數(shù)學(xué)思想，根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式確定二次函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；綜合運(yùn)用方程、幾何、函數(shù)等知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。年份2011年2012年2013年題號(hào)7，8，238，2310，23分值11分11分9分考點(diǎn)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)；函數(shù)圖象；二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式（函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)），二次函數(shù)與一元二次方程（判別式、求根）函數(shù)圖象；二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性；二次函

3、數(shù)和一次函數(shù)解析式（函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)）；二次函數(shù)圖象平移，利用函數(shù)圖象求取值范圍二次函數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)；二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式（函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)），二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)題型一：二次函數(shù)的解析式題型一：二次函數(shù)的解析式思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航二次函數(shù)的三種解析式示例剖析一般式頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式其中是方程的兩個(gè)實(shí)根例題精講例題精講 如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若,則拋物線的解析式為 . 當(dāng)時(shí)，與軸交于，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為把點(diǎn)和代入得解得，拋物線的解析式為.典題精練典題精練根據(jù)給定條件求出下列二次函數(shù)解析式 拋物線，當(dāng)1x5時(shí)，y

4、值為正；當(dāng)x1或x5時(shí)，y值為負(fù)；(2013房山一模) 拋物線與軸交于點(diǎn)M，若拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好是點(diǎn)M； (2013豐臺(tái)二模) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B，C在x軸上，點(diǎn)A，E在y軸上，OBOC=13，AE=7，且tanOCE=3，tanABO=2，拋物線經(jīng)過(guò)A，B，C. (2013昌平一模) 拋物線與y軸交點(diǎn)為M 拋物線與x軸的交點(diǎn)為和，它們關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為和.由題意，可得：，即m=2或m=3. 拋物線的最低點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是3；則拋物線的解析式為 . (2013房山二模)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)的三個(gè)頂點(diǎn)，已知軸，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且則拋物線的解析式為 .設(shè)拋

5、物線，其中，與軸交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)），若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求拋物線的解析式. .由題意可知：點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線對(duì)稱(chēng)軸，軸，點(diǎn)坐標(biāo)，則在中，點(diǎn)坐標(biāo)為， 代入拋物線解析式得，解得拋物線解析式為 當(dāng)時(shí)，得，,或 拋物線與軸的交點(diǎn)分別為、，在的左側(cè)，則，解得 ，拋物線的解析式為題型二題型二：二次函數(shù)的圖象變換思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航 平移“左加右減，上加下減”對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后得到圖象的解析式是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)后得到圖象的解析式是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后得到圖象的解析式是旋轉(zhuǎn)主要旋轉(zhuǎn)和.例題精講例題精講在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)求該二次函數(shù)的解析式；將該二次函數(shù)

6、圖象向右平移幾個(gè)單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?并直接寫(xiě)出平移后所得圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo) 設(shè)二次函數(shù)解析式為， 二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，得 二次函數(shù)解析式為，即 令，得，解方程，得， 二次函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和二次函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)平移后所得圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為典題精練典題精練 把拋物線向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，則得到的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 和，求、的值 把拋物線向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位后，所得拋物線為，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求原解析式 把向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，得到的拋物線為于是，由題設(shè)得解得即拋物線向右平移了兩個(gè)單位，向上平移了一個(gè)單位 首先，

7、拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可求得，設(shè)原來(lái)的二次函數(shù)為，可得解得所以原二次函數(shù)為，即說(shuō)明：將拋物線向右平移個(gè)單位，得到的拋物線是；向左平移個(gè)單位得到；向上平移個(gè)單位，得到；向下平移個(gè)單位得到在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，圖象不可能由函數(shù)的圖象通過(guò)平移變換、軸對(duì)稱(chēng)變換得到的函數(shù)是（）AB CD將拋物線繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，所得拋物線的解析式是（ ）A BC D已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，且與軸只有一個(gè)交點(diǎn).求的值；把拋物線沿軸翻折，再向右平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，得到新的拋物線，求新拋物線的解析式.（昌平一模） D D 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為， 拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn) ， ，沿軸翻折后得到，向右平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到拋物線的解析

8、式為 題型三題型三：二次函數(shù)中的特殊三角形例題精講例題精講已知拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)、是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若是等邊三角形，求的邊長(zhǎng)要注意等邊三角形和拋物線具有軸對(duì)稱(chēng)這一特性點(diǎn)的坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為與交于點(diǎn)在中，設(shè)，把代入（舍），.拋物線定了，相對(duì)應(yīng)的等邊三角形就定了任意拋物線都可以通過(guò)平移得到通過(guò)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得等邊三角形的邊長(zhǎng)為典題精練典題精練如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)、，則的值為 （西城期末）連接交于點(diǎn)，（圖略）首先由可得點(diǎn)，又根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，所以有，點(diǎn)，代入拋物線解析式可得：，解得已知拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)、是拋物線上的動(dòng)

9、點(diǎn)，點(diǎn)為直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若四邊形是正方形，求正方形的面積要注意正方形和拋物線具有軸對(duì)稱(chēng)這一特性點(diǎn)的坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)在 中，設(shè)，則把代入得解得（舍），正方形的面積為其實(shí)拋物線定了，相對(duì)應(yīng)的正方形就定了任意拋物線都可以通過(guò)平移為通過(guò)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得正方形的對(duì)角線為若如圖，拋物線m：與x軸的交點(diǎn)為A、B，與y軸的交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為M（3，），將拋物線m繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180，得到新的拋物線n，它的頂點(diǎn)為D； 求拋物線n的解析式； 設(shè)拋物線n與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，點(diǎn)P是線段ED上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與E、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為F，連接EF如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為

10、（x，y），PEF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值 （2012懷化）【解析】 拋物線的頂點(diǎn)為，的解析式為=，. 拋物線是由拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，的坐標(biāo)為，拋物線的解析式為：，即. 點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，.設(shè)直線的解析式為，則 . 又點(diǎn)坐標(biāo)為，S=，當(dāng)時(shí)，S有最大值， 但,所以的面積S沒(méi)有最大值第04講精講：拋物線的內(nèi)接特殊三角形探究【探究對(duì)象】拋物線的內(nèi)接特殊三角形【探究過(guò)程】【探究1】以拋物線頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)圖形變式1已知拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)、是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若是等邊三角形，求的邊長(zhǎng)變式2變式1中，如果把換成，若是等邊三角形時(shí)，則的邊長(zhǎng)會(huì)發(fā)生怎樣的變化

11、？變式2前面的問(wèn)題的換成等腰直角三角形或正方形時(shí)，它們的邊長(zhǎng)又會(huì)發(fā)生怎樣的變化？總結(jié)：(1) 拋物線定了，相對(duì)應(yīng)的等邊三角形就定了任意拋物線都可以通過(guò)平移得到通過(guò)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得等邊三角形的邊長(zhǎng)為(2) 其實(shí)拋物線定了，相對(duì)應(yīng)的正方形就定了任意拋物線都可以通過(guò)平移為通過(guò)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得正方形的對(duì)角線為【探究2】拋物線與軸兩個(gè)交點(diǎn)和頂點(diǎn)確定的三角形變式1已知，二次函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)、都在原點(diǎn)右側(cè)，頂點(diǎn)為。當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，求判別式 變式2 變式1中，如果把換成，是等腰直角三角形時(shí)，判別式的值會(huì)發(fā)生變化嗎？變式3前面的問(wèn)題中當(dāng)為等邊三角形時(shí)，的判別式又是多少？變式4前面的問(wèn)題中當(dāng)為

12、頂角為120的等腰三角形時(shí)，的判別式又是多少？總結(jié)：(1) 當(dāng)與軸交于、兩點(diǎn)，是頂點(diǎn)，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，則(2) 當(dāng)與軸交于、兩點(diǎn)，是頂點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，則(3) 當(dāng)與軸交于、兩點(diǎn)，是頂點(diǎn)，當(dāng)為頂角為120的等腰三角形時(shí)，則【探究3】拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)確定的三角形變式1已知拋物線與軸正、負(fù)半軸分別交于、兩點(diǎn)，與軸負(fù)AyxBOC半軸交于點(diǎn)若，求拋物線解析式AyxBOC分析：由雙垂圖聯(lián)想到射影定理，結(jié)合條件易想到，可求點(diǎn)坐標(biāo)再利用交點(diǎn)式求解析式變式2若上例中把條件，去掉，其它條件不變，則、之間滿(mǎn)足什么關(guān)系？變式3請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種平移方案，將平移，使其與坐標(biāo)軸三個(gè)交點(diǎn)為直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)分

13、析：上下平移開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸不變，則、不變，只需求出平移后的解析式，再確定平移了多少個(gè)單位總結(jié)：當(dāng)拋物線與軸有交點(diǎn)、，和軸交于點(diǎn)，一般結(jié)論：是思維拓展訓(xùn)練(選講) 思維拓展訓(xùn)練(選講)已知拋物線的頂點(diǎn)為A，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，頂點(diǎn)為點(diǎn)B，且拋物線和關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng) 用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)； 求m的值和拋物線的解析式.（西城一模） 因?yàn)?，所以拋物線的頂點(diǎn)為 如圖，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，作軸于點(diǎn)E，作軸于點(diǎn)F，可知所以，即又，設(shè)直線AP的解析式為，把A、P的坐標(biāo)代入得所以，故直線AB的解析式是，得拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是因?yàn)椤㈥P(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱(chēng)，所以拋物線的開(kāi)口大小相同，方向相反

14、，得的解析式是作函數(shù) 的圖象：可先作出不含絕對(duì)值符號(hào)的圖象，再把軸下方的部分，沿軸向上翻折模仿上面作出函數(shù)的圖象模仿上面作出函數(shù)的圖象已知直線（為實(shí)數(shù)）與函數(shù)圖象至少有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍 . （四中期中附加題）圖象如下：. 的三個(gè)頂點(diǎn)、均在拋物線上，并且斜邊平行于軸若斜邊上的高為，則（ ）A B C D拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若是直角三角形，則 B 二次函數(shù)的圖象如圖所示，是圖象上的一點(diǎn)，且，則的值為 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，拋物線的解析式為，在中應(yīng)用射影定理得 ，把點(diǎn)代入解析式得 ，由可得復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固題型一 二次函數(shù)的解析式 鞏固練習(xí)拋物線與軸的交點(diǎn)為 ，且頂點(diǎn)在直線

15、上，則拋物線的解析式為 .，與軸的交點(diǎn)為和，拋物線的解析式為且對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)時(shí)，故拋物線的頂點(diǎn)為，把代入中得，拋物線的解析式為.如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)是，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線恰經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)、 求點(diǎn)的坐標(biāo)； 若拋物線向上平移后恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求平移后拋物線的解析式（石景山二模） 連接，在菱形ABCD中， 由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知 都是等邊三角形 點(diǎn)的坐標(biāo)為 由拋物線的頂點(diǎn)為，可設(shè)拋物線的解析式為由可得，把代入上式，解得 設(shè)平移后拋物線的解析式為，把代入上式得平移后拋物線的解析式為 即題型二 二次函數(shù)的圖象變換 鞏固練習(xí)已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)取不同的值時(shí)，其圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線系”下圖分別是當(dāng)，時(shí)二次

16、函數(shù)的圖象它們的頂點(diǎn)在一條直線上，這條直線的解析式是 二次函數(shù)的圖象所示，請(qǐng)將此圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位 畫(huà)出經(jīng)過(guò)兩次平移后所得到的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的解析式 求經(jīng)過(guò)兩次平移后的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，指出當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，函數(shù)值大于？ 畫(huà)圖如圖所示：依題意得：平移后圖象的解析式為： 當(dāng)時(shí)，平移后的圖象與軸交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為和由圖可知，當(dāng)或時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值大于題型三 二次函數(shù)中的特殊三角形 鞏固練習(xí)已知拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)為、（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），若為等腰直角三角形，求的值在的條件下，若繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩邊交拋物線于、（不與點(diǎn)、重合），探索和的大小關(guān)系，并證明 點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入得

17、 結(jié)論：作的角平分線交于，分別從點(diǎn)、點(diǎn)引的垂線段、在和中，在和中，即，課后測(cè)課后測(cè)把拋物線的圖象先向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得的圖象的解析式是，則_【答案】11 設(shè)拋物線，把它向右平移個(gè)單位，或向下移個(gè)單位，都能使拋物線與直線恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求、的值 把拋物線向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，則得到的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，求、的值 【解析】 拋物線向右平移個(gè)單位后，得到由得方程，即因?yàn)閽佄锞€與直線恰好有一個(gè)交點(diǎn)，所以上述方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，故判別式，得，這時(shí)的交點(diǎn)為拋物線向下平移個(gè)單位，得到拋物線，于是得方程，即，該方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，故判別式，得，這時(shí)的交點(diǎn)為 把向左平移個(gè)單位，向

18、上平移個(gè)單位，得到的拋物線為于是，由題設(shè)得解得即拋物線向右平移了兩個(gè)單位，向上平移了一個(gè)單位 第十七種品格：第十七種品格：成就當(dāng)代保爾張海迪張海迪，1955年秋天在濟(jì)南出生。5歲患脊髓病，胸以下全部癱瘓。從那時(shí)起，張海迪開(kāi)始了她獨(dú)到的人生。她無(wú)法上學(xué)，便在在家自學(xué)完中學(xué)課程。15歲時(shí)，海迪跟隨父母，下放(山東)聊城農(nóng)村，給孩子當(dāng)起教書(shū)先生。她還自學(xué)針灸醫(yī)術(shù)，為鄉(xiāng)親們無(wú)償治療。后來(lái)，張海迪自學(xué)多門(mén)外語(yǔ)，還當(dāng)過(guò)無(wú)線電修理工。 在殘酷的命運(yùn)挑戰(zhàn)面前，張海迪沒(méi)有沮喪和沉淪，她以頑強(qiáng)的毅力和恒心與疾病做斗爭(zhēng)，經(jīng)受了嚴(yán)峻的考驗(yàn)，對(duì)人生充滿(mǎn)了信心。她雖然沒(méi)有機(jī)會(huì)走進(jìn)校門(mén)，卻發(fā)憤學(xué)習(xí)，學(xué)完了小學(xué)、中學(xué)全部課程，自學(xué)了大學(xué)英語(yǔ)、日語(yǔ)、德語(yǔ)和世界語(yǔ)，并攻讀了大學(xué)和碩士研究生的課程。1983年張海迪開(kāi)始從事文學(xué)創(chuàng)作，先后翻譯了海邊診所等數(shù)十萬(wàn)字的英語(yǔ)小說(shuō)，編著