大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第四章矩陣第四節(jié)課件(課堂講解)

1、主要內(nèi)容引例第 四 節(jié) 矩陣的逆逆矩陣的定義矩陣可逆的條件可逆矩陣的性質(zhì)克拉默法則的另一證法矩陣乘積的秩的性質(zhì)一、引例二、逆矩陣的定義1. 可逆的定義定義 10 n 級(jí)方陣 A 稱為可逆的，如果有n級(jí)方陣 B，使得AB = BA = E , (1)這里 E 是 n 級(jí)單位矩陣.定義 11 如果矩陣 B 適合 (1)，那么就稱為 A的逆矩陣，記為 A-1 .2. 逆矩陣的唯一性若方陣 A 可逆，則其逆矩陣唯一 .證明設(shè) B 和 C 都是 A 的逆矩陣，則由定義有 AB = BA = E，AC = CA = E，于是B = BE= B( AC )= ( BA )C = EC = C . 所以逆矩陣

2、唯一.證畢三、矩陣可逆的條件現(xiàn)在的問(wèn)題是：在什么條件下矩陣 A 是可逆的？如果 A 可逆，怎樣求 A-1 ？為此先引入伴隨矩陣的概念.1. 伴隨矩陣定義 12 設(shè) Aij 是矩陣中元素 aij 的代數(shù)余子式，矩陣稱為 A 的伴隨矩陣.由行列式按一行(列)展開(kāi)的公式立即得出：其中 d = | A | .如果 d = | A | 0，那么由 (2) 得(2)(3)2. 矩陣可逆的充分必要條件定理 3 矩陣 A 可逆的充分必要條件是 A 非退化，且證明當(dāng) d = | A | 0，由 (3) 可知，A 可逆且反過(guò)來(lái)，如果 A 可逆，那么有 A-1 使AA-1 = E .兩邊取行列式，得| AA-1 |

3、 = | A | | A-1 | = | E | = 1 ,因而 | A | 0，即 A 非退化 . 證畢定理 3 不但給出了一矩陣可逆的條件，同時(shí)也給出了求逆矩陣的公式 (4) ，用公式 (4) 求逆矩陣的方法叫伴隨矩陣法.下面利用伴隨矩陣法求逆陣. 例 用伴隨矩陣法求下列矩陣的逆陣單 擊 這 里 開(kāi) 始 四、可逆矩陣的性質(zhì)(2)設(shè) A, B, Ai (i =1, 2, , m) 為 n 級(jí)可逆方陣，k 為非零常數(shù)，則 A-1, kA, AB, A1A2Am , AT 也都是可逆矩陣，且(1) (A-1)-1 = A;(3) (AB)-1 = B-1A-1, (A1A2Am)-1 = Am-

4、1A2-1A1-1 ; （4） (AT)-1 = (A-1)T ;（5） （6） (Am)-1 = (A-1)m , m 為正整數(shù).證明 我們只證（）和（）.（） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1= E.（） AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E, 所以 (AT)-1 = (A-1)T .證畢五、克拉默法則的另一證法利用矩陣的逆，可以給出克拉默法則的另一種推導(dǎo)法.線性方程組可以寫(xiě)成AX = B . (6)如果 | A | 0，那么 A 可逆.用X = A-1B代入 (6)，得恒等式 A( A-1B ) = B，這就是說(shuō) A-1B

5、 是一解.如果X = C是 (6) 的一個(gè)解，那么由AC = B得A-1( AC ) = A-1B ，即 C = A-1B .這就是說(shuō)，解 X = A-1B 是唯一的.用 A-1 的公式 (4)代入，乘出來(lái)就是克拉默法則中給出的公式.六、矩陣乘積的秩的性質(zhì)聯(lián)系到可逆矩陣，關(guān)于矩陣乘積的秩有：定理 4 A 是一個(gè) s n 矩陣，如果 P 是 s s 可逆矩陣，Q 是 n n 可逆矩陣，那么秩( A ) = 秩( PA ) = 秩( AQ ) .證明令B = PA ,由秩( B ) 秩( A )；但是由A = P -1B，又有秩( A ) 秩( B ) .所以秩( A ) = 秩( B ) = 秩

6、( PA ) .另一個(gè)式子可以同樣地證明.證畢 例 2 設(shè)方陣 A 滿足移項(xiàng) 得證明都可逆，并求 解 變形所給的等式，得分解因式 得兩邊取行列式得由方陣的行列式的性質(zhì)得所以故可逆.又因?yàn)橛赡婢仃嚨亩x知現(xiàn)再證可逆.變形 得移項(xiàng) 得兩邊取行列式得在等式兩邊左乘得再兩邊右乘得所以 可逆. 例 3 設(shè)求 B. 解 已知方程變形 得兩邊左乘得分解因式 得而用伴隨矩陣法求逆， 得單擊這里可求逆所以 單擊這里可求逆例 4 解下列矩陣方程AXB = C 其中 解 由已知易得 X = A-1CB-1 , 下面求 A 和 B 的逆陣.單擊這里可求逆所以例 5 設(shè) n 級(jí)矩陣 A, B, A + B 均可逆, 證

7、明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A.證 將 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩陣的乘積:A-1 + B-1 = A-1(E + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1)= A-1(B + A)B-1 .由可逆矩陣的性質(zhì)可知(A-1 + B-1)-1 = A-1(A + B)B-1-1 = B(B + A)-1A.同理可證另一個(gè)等式也成立.例 6 設(shè) A 為 n 級(jí)方陣( n 2 ) ,證明 |A*| = |A|n-1.證 由于 AA* = A*A = |A|E , 所以|A| |A*| = |A|n (4)下面分三種情形討論:(1

8、) |A| 0, 即 A 可逆, (4) 式兩端除以 |A| 即得 |A*| = |A|n-1.(2) |A| = 0, 且 A = O, 則 A* = O, 結(jié)論顯然成立.(3) |A| = 0, 但 A O, 反設(shè) |A*| 0, 則 A* 可逆,因而 A = (AA*)(A*)-1 =(|A|E)(A*)-1 = |A|(A*)-1 = O,故 A = O, 與 A O 矛盾, 所以, |A*|=0=|A|n-1.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若

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