大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)25Laplace變換應(yīng)用課件(課堂講義)

1、ssss2.5Laplace變換的應(yīng)用1本節(jié)內(nèi)容四、小結(jié)一、微分、積分方程的Laplace變換解法三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二、偏微分方程的Laplace變換解法2一、微分、積分方程的Laplace變換解法象原函數(shù)(微分方程的解)象函數(shù)的代數(shù)方程微分方程象函數(shù)取Laplace逆變換取Laplace變換解代數(shù)方程 首先取Laplace變換將微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程, 解代數(shù)方程求出象函數(shù), 再取Laplace逆變換得最后的解.3例1解求方程 滿足初始條件的解.設(shè)方程的解且設(shè)對方程的兩邊取Laplace變換,得4整理得變形得例1取逆變換得5例2解求方程 滿足初始條件的解，其中 為已知常數(shù).設(shè)方程的

2、解且設(shè)對方程的兩邊取Laplace變換,得6整理得取逆變換得下面確定令得例2得故得7例3解求方程 滿足初始條件的解.對方程的兩邊取設(shè)Laplace變換,得8整理得即變形得(分離變量法)例39得下面確定令得積分得取逆變換得得例310例4解求積分方程的解.其中 為定義在 的已知函數(shù).設(shè)對方程的兩邊取Laplace變換,得11整理得如果令由反演積分公式例412例5解 質(zhì)量為m的物體掛在彈性系數(shù)為k的彈簧一端,作用在物體上的外力為 .若物體從靜止平衡位置 處開始運動,求該物體的運動規(guī)律 .（Newton定律）物體運動的微分方程為：且13設(shè)得記例5則14得例515 如圖所示的 串聯(lián)電路, 若外加電動勢為

3、正弦交流電壓 ,求開關(guān)閉合后, 回路中電流 及電容器兩端電壓 .例6解根據(jù)irchhoff定律，有其中16得對方程的兩邊取Laplace變換,得設(shè)且例617得例6的一階極點即18.,.得例6化簡得19,例620.,例6令則21因為過渡電流例6，所以22例7 在 電路中串接直流電源 , 求開關(guān)閉合后, 回路中電流 . 請同學(xué)們仿例6解答! 23例8求方程組的解.滿足初始條件解設(shè)得24例8化簡得25解得例8由得有兩個二級極點：由26因此例827故例828小結(jié)： 用Laplace變換求線性微分、積分方程及其方 程組的解時，有如下的優(yōu)點： ）在求解的過程中，初始條件能同時用上，求出的結(jié)果就是需要的特解

4、，這樣就避免了微分方程的復(fù)雜運算. ）零初始條件在工程技術(shù)中是十分常見的，由上一個優(yōu)點可知，用Laplace變換求解就顯得更加簡單，而在微分方程的一般解法中不會因此而有任何變化.29小結(jié)： 3）對于一個非齊次的線性微分方程來說，當(dāng)齊次項不是連續(xù)函數(shù)，而是包含 函數(shù)或有第一類間斷點的函數(shù)時，用Laplace變換求解沒有任何困難，而用微分方程的一般解法就會困難得多. 4）用Laplace變換求解線性微分、積分方程組，比微分方程組的一般解法要簡便得多，而且可以單獨求出某一個未知函數(shù)，而不需要知道其余的未知函數(shù)，這在微分方程組的一般解法中通常是不可能的.30例9利用Laplace變換求解定解問題:二、

5、偏微分的Laplace變換解法31對方程的兩邊關(guān)于t取Laplace變換,設(shè)解得例932問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的邊值問題:例933得方程的通解為:代入邊界條件得得例934對上式取Laplace逆變換, 得例935例10利用Laplace變換求解定解問題:其中 均為常數(shù).36對方程的兩邊關(guān)于t取Laplace變換,解得例1037問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的邊值問題:例10得方程的通解為:38由邊界條件得得例10對上式取Laplace逆變換, 得余誤差函數(shù)39例11利用Laplace變換求解定解問題:40解取Laplace變換,設(shè)二元函數(shù)由微分性質(zhì)得例11對定解問題關(guān)于x41例11問題轉(zhuǎn)化為求解常

6、微分方程的初值問題:42得方程滿足初始條件的解為:得定解問題的解為:例1143例12利用Laplace變換求解定解問題:44對定解問題關(guān)于t取Laplace變換,記解例1245定解問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的二階常系數(shù)線性微分方程的邊值問題:例1246得通解為:代入邊界條件得得例1247對上式取Laplace逆變換, 得例1248例13利用Laplace變換求解定解問題:課堂練習(xí):請同學(xué)們仿例12解答! 49三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.線性系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)這是一個一階常系數(shù)線性微分方程. 一個線性系統(tǒng)可以用一個常系數(shù)線性微分方程來描述. 例如例6中的RC串聯(lián)電路, 電容器兩端的電壓u C (t)所滿足的關(guān)

7、系式為502.激勵和響應(yīng)的概念三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 在上述一階常系數(shù)線性微分方程中,通常將外加電動勢e (t)看成是這個系統(tǒng)的隨時間t變化的輸入函數(shù), 稱為激勵, 而把電容兩端的電壓u C (t)看成是這個系統(tǒng)的隨時間t變化的輸出函數(shù), 稱為響應(yīng).51三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 這樣的 RC 串聯(lián)的閉合回路就可以看成是一個有輸入端和輸出端的線性系統(tǒng), 如下圖所示. 而虛線框中的電路結(jié)構(gòu)決定于系統(tǒng)內(nèi)的元件參量和連接方式. 這樣一個線性系統(tǒng), 在電路理論中又稱為線性網(wǎng)絡(luò)(簡稱網(wǎng)絡(luò)). 一個系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵函數(shù)與系統(tǒng)本身的特性所決定.52三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)533.傳遞函數(shù)的概念的引入三、線性系統(tǒng)

8、的傳遞函數(shù) 對于不同的線性系統(tǒng), 即使在同一激勵下, 其響應(yīng)也是不同的. 在分析線性系統(tǒng)時, 我們并不關(guān)心系統(tǒng)內(nèi)部的各種不同的結(jié)構(gòu)情況, 而是要研究激勵和響應(yīng)同系統(tǒng)本身特性之間的聯(lián)系, 可繪出如下圖所示的情況表明它們之間的聯(lián)系, 為了描述這種聯(lián)系需要引進傳遞函數(shù)的概念.54三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)554.傳遞函數(shù)的概念其中 均為常數(shù),m ,n為正整數(shù), n m. 假設(shè)有一個線性系統(tǒng), 在一般情況下, 它的激勵x (t)與響應(yīng)y (t)可用下列微分方程表示:三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)56L a k y (k)=akskY(s)-aksk-1y(0)+.+y(k-1)(0)設(shè)L y (t)=Y (s),

9、 L x (t)=X (s), 則三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)L b k x (k)=bkskX(s)-bksk-1x(0)+.+x(k-1)(0)(k=0,1,.,n)(k=0,1,.,m)57兩邊取Laplace變換并通過整理,可得D (s) Y (s) Mh y (s)=M (s) X (s) M h x (s)三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)其中 D (s)=ansn+an-1sn-1+.+a1s+a0M (s)=bmsm+bm-1sm-1+.+b1s+b058三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)M h y (s)=any(0)sn-1+any(0)+an-1y(0)sn-2+.+ any(n-1)(0)+.+a2

10、y(0)+a1y(0)M h x (s)=bmx(0)sm-1+bmx(0)+bm-1x(0)sm-2+ .+bmx(m-1)(0)+.+b2x(0)+b1x(0).則59三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)稱G (s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù). 如Gh (s)=0, 則其中60 在零初始條件下, 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于其響應(yīng)的Laplace變換與其激勵的Laplace變換之比. 當(dāng)我們知道了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以后, 就可以由系統(tǒng)的激勵求出其響應(yīng)的Laplace變換, 再求逆變換可得其響應(yīng)y (t).三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)61 傳遞函數(shù)不表明系統(tǒng)的物理性質(zhì), 許多性質(zhì)不同的物理系統(tǒng), 可以有相同的傳遞函數(shù).三、線性系統(tǒng)的傳

11、遞函數(shù)62假設(shè)某個線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為或Y (s)=G (s) X (s)5.脈沖響應(yīng)函數(shù)設(shè)g (t)= L -1G(s)，則由卷積定理可得三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)63 即系統(tǒng)的響應(yīng)等于其激勵與 的卷積. 一個線性系統(tǒng)除用傳遞函數(shù)來表征外, 也可以用傳遞函數(shù)的逆變換 來表征.稱 為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù).即三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 時, 則在零初始條件下, 有 所以 即64在系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中, 令 , 則得6.頻率響應(yīng)三、線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)稱它為系統(tǒng)的頻率特性函數(shù), 簡稱頻率響應(yīng), 可以證明, 當(dāng)激勵是角頻率為w的虛指數(shù)函數(shù)x (t)=ejw t時, 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是y (t)= G ( j w )e j w t. 因此頻率響應(yīng)在工程技術(shù)中又稱為正弦傳遞函數(shù).65如圖所示 電路, 當(dāng)把電源電勢e (t)看成激勵, 則響應(yīng)uC(t)與e (t)滿足的微分方程為例1466兩邊取Laplace變換, 并設(shè) L uC(t)=UC (s)