專題69 瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡直線型最值問題(原卷版)

1、 當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線。如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線【引例】如圖，APQ是等腰直角三角形，PAQ=90且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位

2、置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段【模型總結(jié)】必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）結(jié)論：P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于PAQ（當(dāng)PAQ90時(shí)，PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點(diǎn)軌跡長度之比等于AP:AQ（由ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）【精典例題】1、如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為2、如圖，等腰RtABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQOP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的路線長為（）ABC1D23、如圖，矩形中，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_4、如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點(diǎn)P，且滿足PC=PA若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為_5、如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段DE，連結(jié)BE（1）若點(diǎn)D在AB邊上（不與