2022屆柳州鐵路第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若對(duì)任意正數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值（ ）A1BCD2若ab0，0c1，則AlogaclogbcBlogcalogcbCacbc Dcacb3若隨機(jī)變量X的分布列

2、：X01P0.2m已知隨機(jī)變量且，則a與b的值為()ABCD4某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計(jì)算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是( )A有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”B有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無(wú)關(guān)”D在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”5甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng).有人分別采訪

3、了四位歌手，甲說(shuō)：“乙或丙獲獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“丁獲獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“丙說(shuō)的不對(duì)”.若四位歌手中只有一個(gè)人說(shuō)的是真話，則獲獎(jiǎng)的歌手是（ ）A甲 B乙 C丙 D丁6定義：復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在曲線上，則的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程為（ ）ABCD7若，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為 ，則輸入的正整數(shù)a的可能取值的集合是（ ）ABCD9設(shè)實(shí)數(shù)a=log23，b=AabcBacbCbacDbca10下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ）ABCD11已知，依此規(guī)律，若，則的值分別是（ ）A48，7B

4、61，7C63，8D65，812已知命題若實(shí)數(shù)滿足，則或，則下列命題正確的是( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，在一個(gè)底面邊長(zhǎng)為cm的正六棱柱容器內(nèi)有一個(gè)半徑為cm的鐵球，現(xiàn)向容器內(nèi)注水，使得鐵球完全浸入水中，若將鐵球從容器中取出，則水面下降_cm.14，則_.15某學(xué)校為了了解住校學(xué)生每天在校平均開(kāi)銷情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，他們的每天在校平均開(kāi)銷都不低于20元且不超過(guò)60元，其頻率分布直方圖如圖三所示，則其中每天在校平均開(kāi)銷在元的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)16若，.則的值為_(kāi)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）（1）已知矩陣的一個(gè)

5、特征值為，其對(duì)應(yīng)的特征向量，求矩陣及它的另一個(gè)特征值.（2）在極坐標(biāo)系中，設(shè)P為曲線C：上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l：的最小距離.18（12分）已知函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證： 19（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20（12分）已知函數(shù).（1）計(jì)算的值；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，試從中歸納出函數(shù) 的一般結(jié)論，并證明這個(gè)結(jié)論；（3）若實(shí)數(shù)滿足，求證：.21（12分）某超市舉辦酬賓活動(dòng)，單次購(gòu)物超過(guò)元的顧客可參與一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：盒子中裝有大小和形狀完全相同的個(gè)小球，其中個(gè)紅球、個(gè)白球和個(gè)黑

6、球，從中不放回地隨機(jī)抽取個(gè)球，每個(gè)球被抽到的機(jī)會(huì)均等.每抽到個(gè)紅球記分，每抽到個(gè)白球記分，每抽到個(gè)黑球記分.如果抽取個(gè)球總得分分可獲得元現(xiàn)金，總得分低于分沒(méi)有現(xiàn)金，其余得分可獲得元現(xiàn)金.（1）設(shè)抽取個(gè)球總得分為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列；（2）設(shè)每位顧客一次抽獎(jiǎng)獲得現(xiàn)金元，求的數(shù)學(xué)期望.22（10分）已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（2）求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：由題意可得恒成立，利用基本不等式求得的最大值為，從而求得實(shí)數(shù)的最小值詳解：由題意

7、可得恒成立由于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故 的最大值為，即得最小值為，故選D點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2、B【解析】試題分析：對(duì)于選項(xiàng)A，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B，,，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向，所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.3、C【解析

8、】先根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列可求m的值，結(jié)合，可求a與b的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所?；因?yàn)椋越獾?，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的期望和方差，注意兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系對(duì)期望方差的影響.4、B【解析】通過(guò)與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項(xiàng).【詳解】解:，可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】分析：因?yàn)樗奈桓枋种兄挥幸粋€(gè)人說(shuō)的是真話，假設(shè)某一個(gè)人說(shuō)的是真話，如果與條件不符，說(shuō)明假設(shè)不成立，如果與條件相符，說(shuō)明假設(shè)成立.詳解：若乙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丁都說(shuō)的真話，不符合題意；

9、若丙是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、丁都說(shuō)的真話，不符合題意； 若丁是獲獎(jiǎng)的歌手，則乙、丙都說(shuō)的真話，不符合題意； 若甲是獲獎(jiǎng)的歌手，則甲、乙、丙都說(shuō)的假話，丁說(shuō)的真話，符合題意；故選A.點(diǎn)睛：本題考查合情推理，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】設(shè) 可得:.因?yàn)閺?fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù),可得,的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對(duì)應(yīng)的點(diǎn),由坐標(biāo)變換,即可得的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】 復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在曲線上設(shè) 可得: 復(fù)數(shù)與的乘積為復(fù)數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù) 設(shè)的“旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)”對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 可得: 即 將代入得: 即: 故選: C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查復(fù)平面和考查坐標(biāo)變換,掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)是解本題的關(guān)鍵.7、

10、B【解析】令，將二項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為，然后利用二項(xiàng)式定理求出的系數(shù)，列方程求出實(shí)數(shù)的值【詳解】令，則，所以，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，解得，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查利用二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵依據(jù)指數(shù)列方程求參數(shù)，利用參數(shù)來(lái)求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題8、A【解析】 由題意，循環(huán)依次為，所以可能取值的集合為，故選A.9、A【解析】分析：利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間量比較大小.詳解：a=log23log22=1，0b=1312（1c=log132abc故選A點(diǎn)睛：利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)

11、相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時(shí)，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來(lái)進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值0,1的應(yīng)用，有時(shí)候要借助其“橋梁”作用，來(lái)比較大小10、B【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)分別對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可【詳解】對(duì)于A，為奇函數(shù)，在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，不滿足題意；對(duì)于B, 為偶函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)遞減的函數(shù)，故B滿足題意；對(duì)于C,為偶函數(shù)，在區(qū)間上為周期函數(shù)，故C不滿足題意；對(duì)于D, 為偶函數(shù)，在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，故D不滿足題意；故答案選B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì).11、C【解析】仔細(xì)觀察

12、已知等式的數(shù)字可發(fā)現(xiàn):,根據(jù)此規(guī)律解題即可.【詳解】由,歸納可得,故當(dāng)時(shí),故選C.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)觀察幾組等式，歸納出一般規(guī)律來(lái)考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟: 一、通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.12、C【解析】由題意可知，p是真命題，q是假命題，則是真命題.本題選擇C選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可求球的體積，假設(shè)鐵球剛好完全浸入水中，則水面高度為，將鐵球從容器中取出，求出水面高度，即可求水面下降高度【詳解】解：假設(shè)鐵球剛好完全浸入水中，球的體積，水面高度為，此時(shí)正六

13、棱柱容器中水的體積為，若將鐵球從容器中取出，則水面高度，則水面下降.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了球體積的求解，考查了棱柱體積的求解.14、2【解析】分析： 由，可得，直接利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解即可得，計(jì)算過(guò)程注意避免計(jì)算錯(cuò)誤.詳解：由，可得，則，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，意在考查對(duì)基本概念與基本運(yùn)算掌握的熟練程度.15、1【解析】分析：由頻率分布直方圖，得每天在校平均開(kāi)銷在50，60元的學(xué)生所點(diǎn)的頻率為0.3，由此能求出每天在校平均開(kāi)銷在50，60元的學(xué)生人數(shù)詳解：由頻率分布直方圖，得：每天在校平均開(kāi)銷在50，60元的學(xué)生所點(diǎn)的頻率為：1（0.01+0.0

14、24+0.036）10=0.3每天在校平均開(kāi)銷在50，60元的學(xué)生人數(shù)為5000.3=1故答案為1點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力. 16、【解析】在二項(xiàng)展開(kāi)式中分別令和,然后兩個(gè)等式相減可得.【詳解】解：令，得：令，得可得所以:.故答案為: .【點(diǎn)睛】本題考查了利用二項(xiàng)展開(kāi)式賦值求系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2） .【解析】（1）由矩陣運(yùn)算，代入可求得或，即求得另一個(gè)特征值。（2）由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化。

15、【詳解】（1）由得：， 矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，得，解得或所以矩陣的另一個(gè)特征值為 （2）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系因?yàn)?，所以?將其化為普通方程，得 將曲線：化為普通方程，得 所以圓心到直線的距離 所以到直線的最小距離為【點(diǎn)睛】直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，利用這個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化。18、 ()有一個(gè)零點(diǎn)； ()見(jiàn)解析【解析】()對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將代入函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在單調(diào)性討論它的零點(diǎn)個(gè)數(shù)()根據(jù)函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)而在各區(qū)間討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明題目要求【詳解】因?yàn)?，在上遞減，遞增()當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)()因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以即.設(shè)則要證，因?yàn)橛忠驗(yàn)樵谏?/p>

16、單調(diào)遞增，所以只要證 設(shè)則所以在上單調(diào)遞減，所以因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以方程即構(gòu)造函數(shù)則記則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以設(shè)所以遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，所以即（）所以，同理所以所以，所以由得，綜上：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、考查了構(gòu)造函數(shù)證明不等式，意在考查計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合性題目，有一定的難度.19、（1）；（2）.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，討論 取值范圍去絕對(duì)值符號(hào)，計(jì)算不等式.(2)利用絕對(duì)值不等式求函數(shù)最大值為 ，計(jì)算得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)不等式即為當(dāng)時(shí)不等式可化為得故當(dāng)時(shí)不等式可化為恒成立故當(dāng)時(shí)不等式可化為得故綜合得，不等式的解集為 （2）

17、所以得為所求【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.20、（1），.（2）一般結(jié)論為：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】代入計(jì)算可得所求和為定值；可得，代入計(jì)算，化簡(jiǎn)可得所求結(jié)論；求得的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性利用反證法可得證明【詳解】（1），.（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)都有.證明：.（3）由知，為上的單調(diào)增函數(shù).假設(shè)，則或，若，由為上的單調(diào)增函數(shù)知，；若，由為上的單調(diào)增函數(shù)知，則，與條件矛盾，故假設(shè)不成立.原命題成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是單調(diào)性的應(yīng)用，反證法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題21、（1）分布列見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由題意的可能得分為，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨