中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：換個(gè)角度出新路-一個(gè)折疊問題的另解

1、換個(gè)角度出新路一個(gè)折疊問題的另解 題目 如圖1，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊（點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，連結(jié)EP (1)如圖2，若M為AD邊的中點(diǎn)， AEM的周長_cm； 求證：EPAEDP(2)隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置（點(diǎn)M不與A、D重合），PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由解 (1)6；（圖略）取EP中點(diǎn)G，連結(jié)MG梯形AEPD中，M、G分別是AD、EP的中點(diǎn)，MG(AEDP)由折疊得 EMPB90又G為EP的中點(diǎn)，MGEP，故EPAEDP(2)PDM的周長保持不變，理由是：如圖1，設(shè)AMxc

2、m，則在RtEAM中，由AE2x2(4AE)2，可得AE2x2AMEAEM90，AMEPMD90，AEMPMD又AD90，AEMDMP， 故PDM的周長保持不變 評(píng)注 此題以正方形的折疊為背景，以問題(1)為鋪墊，設(shè)計(jì)了一個(gè)探究性問題(2)，試題有一定的難度命題者提供的解法通過引入一個(gè)變元x，將相關(guān)線段用含x的代數(shù)式表示，再利用“相似三角形的周長比等于相似比”，使問題輕松獲解，解法的確簡潔、巧妙 能否換個(gè)角度思考，用其它方法解決問題呢？借助波利亞語“以歐幾里德方式表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在形成過程中的數(shù)學(xué)看上去卻是一種實(shí)驗(yàn)性的科學(xué)”，我們可以先利用第(1)問猜想出PDM的周長不發(fā)生變化，結(jié)果為8恰好等于ADDC，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明“PMAMPC”，而這是日常教學(xué)中多見的幾何問題，筆者給出下列幾種解法，供讀者參考 1、截長法 PHD的周長不變，為定值8證明如下：如圖3，過點(diǎn)B作BQMN，垂足為Q2、補(bǔ)短法如圖4，延長DC至Q，使CQAM，連結(jié)BQ、QM，又如圖5，延長DA至Q，使QMPM，連結(jié)BQ 波利亞說過：掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題在數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題活動(dòng)是最基本的活動(dòng)形式，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵之一是學(xué)會(huì)解題，若我們能夠通過采擷典型中考題，多角度探索考題的不同解法，體