年北師大版數(shù)學(xué)選修2-3講義：第2章+§5第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值及答案

1、2022-2022 年北師大版數(shù)學(xué)選修 2-3 講義：第 2 章+ 5 第 1 課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值及答案 5 離散型隨機(jī)變量的均值與方差第 1 課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng)1.懂得離散型隨機(jī)變量的均值的意義, 會(huì)依據(jù)離散型通過對(duì)離散型隨機(jī)變量均隨機(jī)變量的分布列求出均值重點(diǎn) 值的學(xué)習(xí),培育“ 規(guī)律推2會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值反映離散型隨機(jī)變理” “ 數(shù)學(xué)抽象” “ 數(shù)學(xué)量的取值水平,解決一些相關(guān)的實(shí)際問題難點(diǎn)運(yùn)算” 的數(shù)學(xué)素養(yǎng) . 1離散型隨機(jī)變量的均值 1設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為 PXaipii1,2, ,r,就 X 的均值為 a1p1a2p2 arpr.

2、 2隨機(jī)變量的均值 EX 刻畫的是 X 取值的“ 中心位置” 2均值的性質(zhì) 1如 X 為常數(shù) C,就 EXC. 2如 YaXb,其中 a,b 為常數(shù),就 Y 也是隨機(jī)變量,且 EYEaXbaEXb. 3常見的離散型隨機(jī)變量的均值分布名稱參數(shù)均值超幾何分布N,M,n nM N二項(xiàng)分布n,p np摸索： 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布有什么關(guān)系？提示 1相同點(diǎn)：一次試驗(yàn)中要么發(fā)生要么不發(fā)生2不同點(diǎn)： 隨機(jī)變量的取值不同,兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為 0,1, 二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值 X- 1 - / 9 2022-2022 年北師大版數(shù)學(xué)選修2-3 講義：第 2 章+ 5 第 1 課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值及答n

3、案0,1,2, ,n. 試驗(yàn)次數(shù)不同,兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn)；二項(xiàng)分布就進(jìn)行次試驗(yàn)1設(shè)隨機(jī)變量 XB40,p,且 EX16,就 p 等于 A0.1 B0.2 C0.3 D0.4D EX16,40p16,p0.4.應(yīng)選 D. 2已知離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為：X 1 2 3P 35 10 310 1就 X 的數(shù)學(xué)期望 EX_. 32 EX13 521033 103 2. 3如隨機(jī)變量 X 聽從二項(xiàng)分布 B 4,1 3,就 EX 的值為 _43 EXnp41 34 3. 4設(shè) EX10,就 E3X5_. 35 E3X53EX53 10535. 離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)【例 1】已知隨機(jī)變量

4、X 的分布列為：12X 210P 111m 143520如 Y2X,就 EY_. 17 15由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì),得41 31 5m 1 201, 解得 m1 6,EX- 2 - / 9 2022-2022 年北師大版數(shù)學(xué)選修2-3 講義：第 2 章+ 5 第 1 課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值及答案21 41 1 30 1 51 1 6220 17 30.由 Y2X,得 EY 2EX,即 EY217 3017 15. 母題探究 1 本例條件不變,如 Y2X3, 求 EY. 解 由公式 EaXbaEXb 及 EX17 30得,EYE2X32EX3217 303 62 15.母題探究 2 本例條件不

5、變,如 aX3, 且 E11 2,求 a 的值解E EaX3aEX317 30a3 11 2,a15. 1該類題目屬于已知離散型分布列求均值,求解方法是直接套用公式,EXx1p1x2p2 xnpn 求解2對(duì)于 aXb 型的隨機(jī)變量,可利用均值的性質(zhì)求解,即 EaXbaEXb；也可以先列出 aXb 的分布列,再用均值公式求解,比較兩種方式明顯前者較便利求離散型隨機(jī)變量的均值【例 2】甲、乙兩人各進(jìn)行3 次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為1 2,乙每次Y,擊中目標(biāo)的概率為2 3,記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X, 乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為1求 X 的概率分布列；2求 X 和 Y 的均值解1已知 X 的全部可能取值為0

6、,1,2,3.- 3 - / 9 2022-2022 年北師大版數(shù)學(xué)選修 2-3 講義：第 2 章+ 5 第 1 課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值及答案PXkC 31 2 k 12 3k.就 PX0C 0 312 31 8；PX1C 31 212 23 8；PX2C 2 312 21 23 8；PX3C 3 312 31 8.所以 X 的概率分布列如下表：X 0 1 2 31 3 3 1P 8 8 8 82由1知 EX01 81 3 82 3 83 1 81.5,或由題意 XB 3,1 2,YB 3,2 3,EX3 1 21.5,EY3 2 32. 求離散型隨機(jī)變量 的均值的步驟1 依據(jù) 的實(shí)際意義

7、,寫出 的全部取值 .2 求出 的每個(gè)值的概率 .3 寫出 的分布列 .4 利用定義求出均值 .其中第 1 、 2 兩條是解答此類題目的關(guān)鍵,在求解過程中應(yīng)注意分析概率的相關(guān)學(xué)問 . 1在甲、乙等 6 個(gè)單位參與的一次“ 唱讀講傳” 演出活動(dòng)中,每個(gè)單位的節(jié)目集中支配在一起, 如采納抽簽的方式隨機(jī)確定各單位的演出次序 序號(hào)為 1,2, ,6,求：1甲、乙兩單位的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù)的概率；2甲、乙兩單位之間的演出單位個(gè)數(shù) 的分布列與均值- 4 - / 9 2022-2022 年北師大版數(shù)學(xué)選修 2-3 講義：第 2 章+ 5 第 1 課時(shí) 離散型隨機(jī)變量的均值及答案解 只考慮甲、乙兩單位的

8、相對(duì)位置,故可用組合運(yùn)算基本領(lǐng)件數(shù)1設(shè) A 表示“ 甲、乙的演出序號(hào)至少有一個(gè)為奇數(shù) 演出序號(hào)均為偶數(shù) ” ,由等可能性大事的概率運(yùn)算公式得11 54 5.2 的全部可能取值為 0,1,2,3,4,且” ,就 A 表示 “ 甲、乙的 2 PA1P A 1C C 3 2 6P05 C 61 3,P1 4 6 4 15,P2 3 61 5, P 3 2 6 2 15,P41 C 6 1 15.從而知 的分布列為01234P 1412131551515所以 E01 31 4 152 1 53154 1 154 3. 離散型隨機(jī)變量均值的實(shí)際應(yīng)用探究問題 1某籃球明星罰球命中率為0.7,罰球命中得 1

9、 分,不中得 0 分,就他罰球一次的得分 X 可以取哪些值？ X 取每個(gè)值時(shí)的概率是多少？提示隨機(jī)變量 X 可能取值為 0,1.X 取每個(gè)值的概率分別為PX 00.3,PX10.7. 2在探究 1 中,如該球星在一場(chǎng)競(jìng)賽中共罰球 均每次罰球得分是多少？提示每次平均得分為8 100.8. 10 次,命中 8 次,那么他平3在探究 1 中,你能求出在他參與的各場(chǎng)競(jìng)賽中,罰球一次得分大約是多少- 5 - / 9 2022-2022 年北師大版數(shù)學(xué)選修2-3 講義：第 2 章+ 5 第 1 課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值及答案嗎？為什么？ 提示 在球星的各場(chǎng)競(jìng)賽中,罰球一次的得分大約為 0 0.31 0.7

10、0.7分由于在該球星參與各場(chǎng)競(jìng)賽中平均罰球一次的得分只能用隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望來描述他總體得分的平均水平詳細(xì)到每一場(chǎng)競(jìng)賽罰球一次的平均得分應(yīng)當(dāng)是特別接近 X 的均值的一個(gè)分?jǐn)?shù)【例 3】隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200 件,經(jīng)質(zhì)檢,其中一等品126 件,二等品 50 件,三等品 20 件,次品 4 件已知生產(chǎn) 1 件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為 6 萬元、2 萬元、1 萬元,而 1 件次品虧損 2 萬元,設(shè) 1 件產(chǎn)品的利潤(rùn) 單位：元為 X. 1求 X 的分布列；2求 1 件產(chǎn)品的平均利潤(rùn) 即 X 的數(shù)學(xué)期望 ；3經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品,但次品率降為 1%,一等品率提高為70%,假如

11、此時(shí)要求 1 件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于 4.73 萬元,就三等品率最多是多少？思路探究：依據(jù)利潤(rùn)的意義 寫出的分布列 求出數(shù)學(xué)利用期望寫出 的取值期望 EX回答疑題解1X 的全部可能取值有 6,2,1, 2.PX6126 2000.63,PX250 2000.25,PX1 20 2000.1,PX 24 2000.02.故 X 的分布列為：X 62120.02P 0.630.250.12EX6 0.632 0.251 0.12 0.024.34. 3設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x,就此時(shí) 1 件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為, EX6 0.7- 6 - / 9 2022-2022 年北師大版數(shù)學(xué)選修2-3 講義：

12、第 2 章+ 5 第 1 課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值及答案2 10.70.01x1 x2 0.014.76x0 x0.29依題意, EX4.73,即 4.76x4.73,解得 x0.03,所以三等品率最多為 3%. 1實(shí)際問題中的均值問題 均值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,如對(duì)體育競(jìng)賽的成果猜測(cè),消費(fèi)猜測(cè),工程方案的猜測(cè),產(chǎn)品合格率的猜測(cè),投資收益的猜測(cè)等方面,都可以通過隨機(jī)變量的均值來進(jìn)行估量2概率模型的三個(gè)解答步驟 1審題,確定實(shí)際問題是哪一種概率模型,可能用到的大事類型,所用的公 式有哪些2確定隨機(jī)變量的分布列,運(yùn)算隨機(jī)變量的均值3對(duì)比實(shí)際意義,回答概率,均值等所表示的結(jié)論2某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品

13、,依據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采納的付款期數(shù) 的分布列 為12345P 0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品,采納1 期付款,其利潤(rùn)為200 元；分 2 期或 3 期付款,其利潤(rùn)為 250 元；分 4 期或 5 期付款,其利潤(rùn)為 300 元 表示經(jīng)銷一件該商品的 利潤(rùn)1求大事 A“ 購買該商品的3 位顧客中,至少有1 位采納 1 期付款” 的概率PA；2求 的分布列及均值 E解 1由 A 表示大事 “ 購買該商品的 3 位顧客中至少有 1 位采納 1 期付款 ”知, A 表示大事 “ 購買該商品的 3 位顧客中無人采納 P A 10.4 30.216,- 7 - / 9 1 期付款 ”

14、2022-2022 年北師大版數(shù)學(xué)選修2-3 講義：第 2 章+ 5 第 1 課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值及答案PA1P A 10.2160.784.2 的可能取值為 200 元, 250 元, 300 元P200P10.4,P250P2P30.20.20.4,P300P4P50.10.10.2,因此 的分布列為200250300P 0.40.40.2E200 0.4250 0.4300 0.2240元1求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的方法步驟：1寫出隨機(jī)變量全部可能的取值2運(yùn)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率3寫出分布列,求出數(shù)學(xué)期望2離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì)1Eccc 為常數(shù) ；2EaXbaEXba,b 為

15、常數(shù) ；3EaX1bX2aEX1bEX2a,b 為常數(shù) . 1如隨機(jī)變量 XB5,0.8,就 EX A0.8 B4 C5 D3B EXnp5 0.84.應(yīng)選 B. 2設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為 PXk1 4,k1,2,3,4,就 EX 的值為 A2.5 B3.5 C0.25 D2- 8 - / 9 2022-2022 年北師大版數(shù)學(xué)選修2-3 講義：第 2 章+ 5 第 1 課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值及答案AEX11 42 1 43 1 44 1 42.5. 3馬老師抄錄的一個(gè)隨機(jī)變量 的概率分布列如下表：123P ？??？盡管“ ！” 處完全無法看清,且兩個(gè)“ ？” 處字跡模糊,但能肯定這兩個(gè)“ ？” 處的數(shù)值相同據(jù)此可得 E _. 2 設(shè)“ ？” 處的數(shù)值為 x,就“ ！” 處的數(shù)值為 12x,就 E 1x2 1