數(shù)學建模之傳染病問題

1、牟雷劉珈誠徐立夫：傳染病問題的研究牟雷劉珈誠徐立夫：傳染病問題的研究 ）。并且，即使s1/0,從（19）,（20）式可以看出，o減小時，s增加（通過作圖分析），i降低,也控制0m了蔓延的程度我們注意到在o=九卩中,人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率九越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率卩越大，于是o越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.從另一方面看，as,s.1/卩是傳染期內(nèi)一個病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一病人被bs個健康者交換所以當s1/a即as1時必有既然交換數(shù)不超過1,00病人比例i（t）絕不會增加傳染病不會蔓延。五、群體免疫和預防根據(jù)對SIR模型的分析，當s1/

2、a時傳染病不會蔓延所以為制止蔓延除了提高衛(wèi)生和醫(yī)0療水平，使閾值1/o變大以外，另一個途徑是降低s，這可以通過比如預防接種使群體免疫的0辦法做到.忽略病人比例的初始值i有s1-r，于是傳染病不會蔓延的條件s1/a可以表為0000這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫比例）滿足1（1）式，就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的。據(jù)估計當時印度等國天花傳染病的接觸數(shù)o=5,由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報告，即使花費大量資金提高r，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得0天花直到1977年才在全世

3、界根除。而有些傳染病的o更高，根除就更加困難。六、模型驗證上世紀初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當于移出傳染系的實際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)的實際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對SIR模型作了驗證。首先，由方程（2），上式兩邊同時乘以(3)可以得到仝，si=aysias首先，由方程（2），上式兩邊同時乘以t1可n-d=ad，兩邊積分得ssJs1dapdsJs1dapds0s0rr00snlnss|arne-arss0所以：s(t)se-ar(t)0再n卩i卩(1rs)卩(1rse-r)(13)d0t當r1/時，取(13)式右端e-rTaylor展開式的前3

4、項得:s2r2卩(1rs+sr-o)002在初始值r=0下解高階常微分方程得:0r(t)r(t)1s2(s1)+ath(申)020s1其中a2(s-1)2+2si2,thq-從而容易由(14)式得出:000aa2卩2s2ch2(a_)02然后取定參數(shù)so,a等，畫出（15）式的圖形，如圖4中的曲線，實際數(shù)據(jù)在圖中用圓點表示，可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當不錯。七、被傳染比例的估計TOC o 1-5 h z在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值s與s之差,0g記作x,即xss(16)0g當i0很小，s0接近于1時，由(9)式可得1xx+ln(1-)沁0(17)

5、s0取對數(shù)函數(shù)Taylor展開的前兩項有1xTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark62x(1)，0(18)s2s200 HYPERLINK l bookmark66111記s+8,8可視為該地區(qū)人口比例超過閾值一的部分。當8時(18)式給出0(1A HYPERLINK l bookmark68x，2ss一一，28(19)00丿這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為8的2倍。對一種傳染病，當該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī)療水1平不變，即8不變時，這個比例就不會改變。而當閾值上提高時，8減小，于是這個比例就會降低。參考文獻：數(shù)學模型，姜啟源編，高等教育出版社數(shù)學模型與計算機模擬，江裕釗、辛培情編，電子科技大學出版