6.2.1 平面向量的線性運(yùn)算（精講）（解析版）

1、 15/156.2.1 平面向量的線性運(yùn)算（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考法一 向量的加法運(yùn)算【例1-1】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在下列各小題中，已知向量、，分別用兩種方法求作向量【答案】見解析【解析】將的起點(diǎn)移到的終點(diǎn)，再首尾相接，可得；將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到點(diǎn)，利用平行四邊形法則，以、為鄰邊，作出平行四邊形，則過點(diǎn)的對角線為向量.如圖所示，（1）；（2）；（3） ；（4）.【例1-2】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）如果表示“向東走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”，那么下列向量具有什么意義？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）

2、向東走；（2）向東走；（3）向東北走；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向東南走.【解析】由題意知：表示“向東走”， 表示“向西走”， 表示“向北走”， 表示“向南走”（1）表示“向東走”（2）表示“向東走”（3）表示“向東北走”（4）表示“向西南走”（5）表示“向西北走”（6）表示“向東南走”【例1-3】（2021重慶市大學(xué)城）向量化簡后等于（ ）A.B.0C.D.【答案】D【解析】, 故選D.【例1-4】（2020湖南長沙市高一期末）已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是ABC各邊的中點(diǎn)，則下列等式中錯(cuò)誤的（ ）ABCD【答案】D【解析】由題意，根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則，可得，故A正確；由，故B正確；根

3、據(jù)平行四邊形法則，可得，故C正確，D不正確.故選：D.【一隅三反】1.如圖，已知向量a，b，c，求作和向量abc.【答案】見解析【解析】方法一可先作ac，再作(ac)b，即abc.如圖，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq o(OA,sup10()a，接著作向量eq o(AB,sup10()c，則得向量eq o(OB,sup10()ac，然后作向量eq o(BC,sup10()b，則向量eq o(OC,sup10()abc為所求方法二三個(gè)向量不共線，用平行四邊形法則來作如圖，(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq o(OA,sup10()a，eq o(OB,sup10()b；(2)作平行四邊形AOBC

4、，則eq o(OC,sup10()ab；(3)再作向量eq o(OD,sup10()c；(4)作平行四邊形CODE，則eq o(OE,sup10()eq o(OC,sup10()cabc.即eq o(OE,sup10()即為所求.2（2020北京高二學(xué)業(yè)考試）在平行四邊形中，等于（ ）ABCD【答案】A【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得，故選：A.3（多選）（2020全國高一）如圖，在平行四邊形中，下列計(jì)算正確的是（ ）ABCD【答案】ACD【解析】由向量加法的平行四邊形法則可知，故A正確；，故B不正確；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.4.化簡(1)eq o(BC,sup10()e

5、q o(AB,sup10()； (2)eq o(AO,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(OB,sup10()； (3)eq o(AB,sup10()eq o(DF,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(FA,sup10().(4)eq o(DB,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(BC,sup10()； (5)(eq o(AB,sup10()eq o(MB,sup10()eq o(BO,sup10()eq o(OM,sup10().【答案】（1）eq o(AC,sup10()（2）eq o(AC,sup10()

6、（3）（4）（5）eq o(AB,sup10()【解析】(1)eq o(BC,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(AC,sup10().(2)eq o(AO,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(OB,sup10()eq o(AO,sup10()eq o(OB,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(AC,sup10().(3)eq o(AB,sup10()eq o(DF,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(B

7、C,sup10()eq o(FA,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(DF,sup10()eq o(FA,sup10()eq o(AC,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(DF,sup10()eq o(FA,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(DF,sup10()eq o(FA,sup10()eq o(AF,sup10()eq o(FA,sup10()0.(4)eq o(DB,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(BC,sup10()eq o(BC,sup10()e

8、q o(CD,sup10()eq o(DB,sup10()eq o(BD,sup10()eq o(DB,sup10()0.(5)方法一(eq o(AB,sup10()eq o(MB,sup10()eq o(BO,sup10()eq o(OM,sup10()(eq o(AB,sup10()eq o(BO,sup10()(eq o(OM,sup10()eq o(MB,sup10()eq o(AO,sup10()eq o(OB,sup10()eq o(AB,sup10().方法二(eq o(AB,sup10()eq o(MB,sup10()eq o(BO,sup10()eq o(OM,sup10()

9、eq o(AB,sup10()(eq o(MB,sup10()eq o(BO,sup10()eq o(OM,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(MO,sup10()eq o(OM,sup10()eq o(AB,sup10()0eq o(AB,sup10().方法三(eq o(AB,sup10()eq o(MB,sup10()eq o(BO,sup10()eq o(OM,sup10()(eq o(AB,sup10()eq o(BO,sup10()eq o(OM,sup10()eq o(MB,sup10()eq o(AM,sup10()eq o(MB,sup10()eq o(AB

10、,sup10().考法二 向量的減法運(yùn)算【例2-1】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在各小題中，已知，分別求作【答案】見解析【解析】將的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，再首尾相接，方向指向被減向量，如圖， (1) (2) (3) (4)【例22-2】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）化簡下列各式：；.其中結(jié)果為的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D4【答案】D【解析】；以上各式化簡后結(jié)果均為,故選:D【一隅三反】1（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知向量，求作向量，【答案】見解析【解析】如下圖所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，則，2.如圖，已知向量a，b，c，求作向量abc.【答案】見解析【解析】在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量e

11、q o(OA,sup10()a，eq o(OB,sup10()b，則向量abeq o(BA,sup10()，再作向量eq o(BC,sup10()c，則向量eq o(CA,sup10()abc.3（2020莆田第七中學(xué)高二期中）在五邊形中（如圖），（ ）ABCD【答案】B【解析】.故選：B4（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）化簡_.【答案】【解析】故答案為：5.化簡（1）(eq o(AB,sup10()eq o(CD,sup10()(eq o(AC,sup10()eq o(BD,sup10() (2)eq o(OA,sup6()eq o(OD,sup6()eq o(AD,sup6()；(3)eq o

12、(AB,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()【答案】（1）0 （2）0（3）eq o(AB,sup6()【解析】（1）方法一(統(tǒng)一成加法)(eq o(AB,sup10()eq o(CD,sup10()(eq o(AC,sup10()eq o(BD,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(AC,sup10()eq o(BD,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(DC,sup10()eq o(CA,sup10()eq o(BD,sup10()eq o(

13、AB,sup10()eq o(BD,sup10()eq o(DC,sup10()eq o(CA,sup10()eq o(AD,sup10()eq o(DA,sup10()0.方法二(利用eq o(OA,sup10()eq o(OB,sup10()eq o(BA,sup10()(eq o(AB,sup10()eq o(CD,sup10()(eq o(AC,sup10()eq o(BD,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(AC,sup10()eq o(BD,sup10()(eq o(AB,sup10()eq o(AC,sup10()eq o(CD,s

14、up10()eq o(BD,sup10()eq o(CB,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(BD,sup10()eq o(DB,sup10()eq o(BD,sup10()0.方法三(利用eq o(AB,sup10()eq o(OB,sup10()eq o(OA,sup10()設(shè)O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則(eq o(AB,sup10()eq o(CD,sup10()(eq o(AC,sup10()eq o(BD,sup10()eq o(AB,sup10()eq o(CD,sup10()eq o(AC,sup10()eq o(BD,sup10()(eq o(OB,sup10()e

15、q o(OA,sup10()(eq o(OD,sup10()eq o(OC,sup10()(eq o(OC,sup10()eq o(OA,sup10()(eq o(OD,sup10()eq o(OB,sup10()eq o(OB,sup10()eq o(OA,sup10()eq o(OD,sup10()eq o(OC,sup10()eq o(OC,sup10()eq o(OA,sup10()eq o(OD,sup10()eq o(OB,sup10()0.(2)eq o(OA,sup6()eq o(OD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AD,sup6

16、()eq o(OD,sup6()eq o(OD,sup6()eq o(OD,sup6()0(3)eq o(AB,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6()Deq o(A,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(DA,sup6

17、()eq o(AD,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AB,sup6()0eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()考法三 向量的數(shù)乘的運(yùn)算【例3-1】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）把下列各小題中的向量表示為實(shí)數(shù)與向量的積：（1），；（2），；（3），；（4），【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1），；（2），；（3），；（4），【例3-2】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖，是以向量為邊的平行四邊形，又，試用表示【答案】，【解析】【一隅三反】1（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式；（

18、2）原式；（3）原式2（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）化簡：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.3（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖，解答下列各題：（1）用表示；（2）用表示；（3）用表示；（4）用表示【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】由題意知，則（1）（2）（3）（4）考法四 向量的共線定理【例4-1】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）判斷向量是否共線(其中,是兩個(gè)非零不共線的向量):(1);(2);(3).【答案】(1)共線，(2)共線，(3)不共線.【解析】(1),共線.(2),共線.(3)假設(shè),則,.不共線,此方程組無解.不存在實(shí)數(shù),使得,不共線.【例4-2】（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）(1)已知向量不共線,若,試證:三點(diǎn)共線.(2)設(shè)是兩個(gè)不共線向量,已知,若三點(diǎn)共線,求k的值.【答案】(1)見解析(2)-8【解析】(1)，與共線.又與有公共點(diǎn)B，三點(diǎn)共線.(2).三點(diǎn)共線，共線.存在實(shí)數(shù)使，即.與不共線，.【一隅三反】1（2020全國高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列各小題中的向量,是否共線（其中是兩個(gè)非零不共線向量）（1）；（2）；（3）【答案】(1) 與共線；(2) 與共線；(3)