基本不等式中解決最值問(wèn)題的9種題型

1、 基本不等式中解決最值問(wèn)題的9種題型基本不等式與函數(shù)相結(jié)合的最值問(wèn)題若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根和，則的取值范圍是（ ）ABCD【分析】由方程可得兩個(gè)實(shí)數(shù)根的關(guān)系，再利用不等式求解范圍.【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)不等的實(shí)根是和，不妨令，故可得，解得，則=，故選：C.【小結(jié)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及均值不等式的使用，屬基礎(chǔ)題.的最小值為（ ）A2B16C8D12【分析】利用將變?yōu)榉e為定值的形式后，根據(jù)基本不等式可求得最小值.【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)“=”成立，故的最小值為16.已知函數(shù)yloga x1(a0且a1)圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線eq f(x,m)eq f(y,n)40(m0，n0)上，則mn的最

2、小值為_(kāi)【解析】由題意可知函數(shù)yloga x1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A(1,1)，點(diǎn)A在直線eq f(x,m)eq f(y,n)40上，eq f(1,m)eq f(1,n)4，m0，n0，mneq f(1,4)(mn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(1,n)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(n,m)f(m,n)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(22r(f(n,m)f(m,n)1，當(dāng)且僅當(dāng)mneq f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，mn的最小值為1.基本不等式與線性規(guī)劃相結(jié)合的最值問(wèn)題已知滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為1（其中

3、），則的最小值為（ ）A3B1C2D【分析】畫(huà)出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)最大值求關(guān)系式，再利用不等式求得最小值.【解析】畫(huà)出可行域如下圖所示，由于，所以基準(zhǔn)直線的斜率為負(fù)數(shù)，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，即，所以.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D基本不等式與數(shù)列相結(jié)合的最值問(wèn)題已知遞增等差數(shù)列中，則的（ ）A最大值為B最小值為4C最小值為D最大值為4或【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可用表示出.由數(shù)列單調(diào)遞增可得.用表示出,結(jié)合基本不等式即可求得最值.【解析】因?yàn)椋傻炔顢?shù)列通項(xiàng)公式,設(shè)公差為,可得，變形可得因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列,所以，即，而由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知，由,結(jié)合基本不等式可得，

4、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為4。已知a，b均為正數(shù)，且2是2a，b的等差中項(xiàng)，則eq f(1,ab)的最小值為_(kāi)【解析】由于2是2a，b的等差中項(xiàng)，故2ab4，又a，b均為正數(shù)，故2abeq blc(rc)(avs4alco1(f(2ab,2)24，當(dāng)且僅當(dāng)2ab2，即a1，b2時(shí)取等號(hào)，所以eq f(1,ab)的最小值為eq f(1,2).基本不等式與向量相結(jié)合的最值問(wèn)題如圖所示,已知點(diǎn)是的重心,過(guò)點(diǎn)作直線分別交，兩邊于，兩點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi).【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)有,再表達(dá)成的關(guān)系式,再根據(jù),三點(diǎn)共線可得系數(shù)和為1,再利用基本不等式求解即可.【解析】根據(jù)條件：,又,.又,三點(diǎn)共線

5、,.,.的最小值為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.故答案為：.基本不等式與圓錐曲線相結(jié)合的最值問(wèn)題在平面直角坐標(biāo)系中， 已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線C（）求C的方程；（）為C上動(dòng)點(diǎn)，為C在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值【解析】（）設(shè)，由已知得，所以=， =(0，)，=(，-2).再由題意可知（+）=0， 即（，）(，2)=0所以曲線C的方程式為（）設(shè)為曲線C：上一點(diǎn)，因?yàn)?，所以的斜率為，因此直線的方程為，即則點(diǎn)到的距離又，所以當(dāng)=0時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)到距離的最小值為2在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值為3（）求橢圓的方程；（）在橢圓上，是否存在點(diǎn)使得直線：與

6、圓O： 相交于不同的兩點(diǎn)，且面積最大？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】（）由，所以，設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則，所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，可得，所以故橢圓的方程為：（）存在點(diǎn)滿足要求，使得面積最大假設(shè)直線與圓相交于不同兩點(diǎn),則圓心到的距離， 因?yàn)樵跈E圓上，所以 ，由得：所以，由得代入上式得，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)滿足要求的點(diǎn)有四個(gè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的的面積為基本不等式與圓相結(jié)合的最值問(wèn)題設(shè)，若直線與圓相切，則取值范圍是（ ）A BC D【解析】直線與圓相切，圓心到直線的距離，所以，設(shè)，則，解得.基本不等式與不等式恒成立結(jié)合的最值問(wèn)題當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）A BCD【分析】

7、將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，利用均值不等式求解即可.【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于在時(shí)恒成立即等價(jià)于；而因?yàn)?，?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.故：。已知，若不等式恒成立，則的最大值為（ ）A9B12C16D20【分析】可左右同乘，再結(jié)合基本不等式求解即可【解析】， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故。基本不等式與立體幾何相結(jié)合的最值問(wèn)題如圖，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)恰是長(zhǎng)、寬、高分別是m，2，n的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，此三棱錐的體積為2，則該三棱錐外接球體積的最小值為（ ）A B C D【分析】根據(jù)三棱錐的體積關(guān)系可得,根據(jù)三棱錐與長(zhǎng)方體共外接球,長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的直徑可得,根據(jù)基本不等式可得半徑的最小值,進(jìn)一步可得體積的最小值.【解析】根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知三棱錐的高為,所以,所以,又該三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球,該外接球的直徑是長(zhǎng)方體的對(duì)角線,設(shè)外接球的半徑為,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,，所以,所以該三棱錐外接球體積為.故選:C基本不等式與解三角形相結(jié)合的最值問(wèn)題在中，內(nèi)角的對(duì)邊另別是，已知，則的最大值為（ ）ABCD【解析】,由正弦定理得，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為（ = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I）若成等差數(shù)列，證明：