二輪專題：排列組合的綜合應(yīng)用

1、第9頁(yè) 共9頁(yè)排列、組臺(tái)、二項(xiàng)式定理HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK 排列組合的綜合應(yīng)用高考要求HYPERLINK 1HYPERLINK 進(jìn)一步加深對(duì)排列、組合意義理解的基礎(chǔ)上，掌握有關(guān)排列、組合綜合題的基本解法，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，學(xué)會(huì)分類討論的思想2HYPERLINK 使學(xué)生掌握解決排列、組合問(wèn)題的一些常用方法HYPERLINK 解題思路歸納HYPERLINK 解排列組合問(wèn)題，首先要弄清一件事是“分類”還是“分步”完成，對(duì)于元素之間的關(guān)系，還要考慮“是有序

2、”的還是“無(wú)序的”，也就是會(huì)正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問(wèn)題，需掌握以下幾種常用的解題方法：特殊優(yōu)先法對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問(wèn)題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法HYPERLINK 例如：用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有_個(gè)HYPERLINK （答案：30個(gè)）科學(xué)分類法對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生例如：從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和

3、5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的選取法有_種HYPERLINK （答案：350）分組（堆）問(wèn)題的六個(gè)模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；無(wú)序不等分；無(wú)序等分；無(wú)序局部等分；插空法解決一些不相鄰問(wèn)題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問(wèn)題得以解決例如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)是_HYPERLINK (答案:3600)捆綁法相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列，然后再局部排列例如：6名同學(xué)坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法是_種HYPERLINK （答案：240）排除法從總

4、體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法HYPERLINK b、排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問(wèn)題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍HYPERLINK 例如：從集合0，1，2，3，5，7，11中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_條HYPERLINK （答案：30）剪截法（隔板法）：n個(gè) 相同小球放入m(mn)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪成m段（插入m1塊隔板），有種方法HYPERLINK

5、錯(cuò)位法：編號(hào)為1至n的n個(gè)小球放入編號(hào)為1到 n的n個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球HYPERLINK 要求小球與盒子的編號(hào)都不同,這種排列稱為錯(cuò)位排列HYPERLINK 特別當(dāng)n=2,3,4,5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1,2,9,44HYPERLINK 2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列容易計(jì)算HYPERLINK 關(guān)于5個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問(wèn)題：5個(gè)元素的全排列為：；剔除恰好有5對(duì)球盒同號(hào)1種、恰好有3對(duì)球盒同號(hào)(2個(gè)錯(cuò)位的) 種、恰好有2對(duì)球盒同號(hào)(3個(gè)錯(cuò)位的) 種、恰好有1對(duì)球盒同號(hào)(4個(gè)錯(cuò)位的) 種HYPERLINK 120-144HYPERLINK

6、 用此法可以逐步計(jì)算：6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)、元素的錯(cuò)位排列問(wèn)題HYPERLINK 容斥法：n個(gè)元素排成一列,求某兩個(gè)元素各自不排在某兩個(gè)確定位置的排法種數(shù),宜用容斥法HYPERLINK 題型講解HYPERLINK 例1 將6本不同的書按下列分法，各有多少種不同的分法？ 分給學(xué)生甲3 本，學(xué)生乙2本，學(xué)生丙1本； 分給甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； 分給甲、乙、丙3人，每人2本； 分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本； 分成3堆，每堆2 本HYPERLINK 分給分給甲、乙、丙3人，其中一人4本，另兩人每人1本； 分成3堆，其中一堆4本，另兩堆每堆1本HYPE

7、RLINK 分析：分書過(guò)程中要分清：是均勻的還是非均勻的；是有序的還是無(wú)序的HYPERLINK 特別是均勻的分法中要注意算法中的重復(fù)問(wèn)題HYPERLINK 解：是指定人應(yīng)得數(shù)量的非均勻問(wèn)題：方法數(shù)為；是沒(méi)有指定人應(yīng)得數(shù)量的非均勻問(wèn)題：方法數(shù)為；是指定人應(yīng)得數(shù)量的均勻問(wèn)題：方法數(shù)為；是分堆的非均勻問(wèn)題（與等價(jià)）：方法數(shù)為；是分堆的均勻問(wèn)題：方法數(shù)為；是部分均勻地分給人的問(wèn)題：方法數(shù)為； 是部分均勻地分堆的問(wèn)題：方法數(shù)為HYPERLINK 點(diǎn)評(píng)：以上問(wèn)題歸納為分給人（有序）分成堆（無(wú)序）非均勻均勻部分均勻見(jiàn)上表中的三類六種不同的分書問(wèn)題的模型；要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為六種分書模型來(lái)解決HYPERLINK 例

8、2 求不同的排法種數(shù)：（1）6男2女排成一排，2女相鄰；（2）6男2女排成一排，2女不能相鄰；（3）4男4女排成一排，同性者相鄰；（4）4男4女排成一排，同性者不能相鄰解：（1）是“相鄰”問(wèn)題，用捆綁法解決：HYPERLINK （2）是 “不相鄰”問(wèn)題，可以用插空法直接求解6男先排實(shí)位，再在7個(gè)空位中排2女，即用插孔法解決：HYPERLINK 另法：用捆綁與剔除相結(jié)合：HYPERLINK （3）是“相鄰”問(wèn)題，應(yīng)先捆綁后排位：HYPERLINK （4）是 “不相鄰”問(wèn)題，可以用插空法直接求解: HYPERLINK 例3 有13名醫(yī)生,其中女醫(yī)生6人HYPERLINK 現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療

9、小組前往災(zāi)區(qū),若醫(yī)療小組至少有2名男醫(yī)生,同時(shí)至多有3名女醫(yī)生,設(shè)不同的選派方法種數(shù)為P,則下列等式(1)(2);(3);(4);其中能成為P 的算式有_種HYPERLINK 分析: HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK HYPERLINK 例4 對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品,一一進(jìn)行測(cè)試,到區(qū)分出所有次品為止HYPERLINK 若所有次品恰好在第五次測(cè)試被全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有 種解:HYPERLINK HYPERLINK 例5 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開(kāi)演前有增加了2個(gè)新節(jié)目,如果將這兩節(jié)目插入節(jié)目單中,那么不同的插法種數(shù)為_(kāi)HYPE

10、RLINK 解:實(shí)質(zhì)是7個(gè)節(jié)目的排列,因原定的5個(gè)節(jié)目順序不改變,故排這5個(gè)節(jié)目是一個(gè)組合,有種方法,在排新插入的兩個(gè)節(jié)目有種方法,故HYPERLINK 點(diǎn)評(píng)：分清是排列還是組合問(wèn)題 排列與組合的根本區(qū)別是元素之間有否順序HYPERLINK 若元素之間交換次序后是兩種不同的情形,則是排列問(wèn)題;若元素之間交換次序后是相同的情形,則是組合問(wèn)題;另外若元素之間已經(jīng)規(guī)定了順序,則仍是組合問(wèn)題HYPERLINK 例6 從10 種不同的作物中選出6 種放入6個(gè)不同的瓶子中展出,如果甲、乙兩種種子不能放入第1號(hào)瓶?jī)?nèi),那么不同的放法共有( )種HYPERLINK AHYPERLINK BHYPERLINK C

11、HYPERLINK DHYPERLINK 解: 先排第1號(hào)瓶,從甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有種方法,再排其余各瓶,有種方法,故不同的放法共有HYPERLINK 故選CHYPERLINK 點(diǎn)評(píng)：這樣解分步合理、過(guò)程簡(jiǎn)捷HYPERLINK 但本題更容易想到先從10種不同的作物種子中選出6種,然后排列HYPERLINK 由于選出的6種種子中是否含甲、乙不確定,導(dǎo)致后繼排列也不確定,這時(shí)就要分類了HYPERLINK 選出的6種種子中只含甲或只含乙的不同放法都為種,選出的6種種子中,同時(shí)含甲與乙的不同放法有種;選出的6種種子中,都不含甲與乙的不同放法有種HYPERLINK 故不同的放法共有種

12、HYPERLINK 例7 將3種作物種植在如圖的5塊試驗(yàn)田里,每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物,不同的種植方法共有_種HYPERLINK 解: 根據(jù)同種作物最多能種植的塊數(shù)分類討論:(1) 當(dāng)其中有一種作物種三塊時(shí),選取這種作物有種,它們只能種在兩端及中間位置,有不同的種植方法種, (2)當(dāng)其中兩種作物各種兩塊時(shí),選取這兩種作物有種,然后選定其中一種作物,其不同種植方式有以下六類:1123456 第(1)(2)(5)(6)類的種法都是2種;第(3)類有1種種法;第(4)類有3種種法,于是這種情況有種種法,故不同的種植方法共42種HYPERLINK 例8 HYPERLINK 解:

13、 HYPERLINK 點(diǎn)評(píng)：確定用分類法、分步法、還是間接法計(jì)數(shù) 為求完成某件事的方法種數(shù),如果我們分步考慮時(shí),會(huì)出現(xiàn)某一步的方法種數(shù)不確定或計(jì)數(shù)有重復(fù),就要考慮用分類法,分類法是解決復(fù)雜問(wèn)題的有效手段,而當(dāng)正面分類情況種數(shù)較多時(shí),則就考慮用間接法計(jì)數(shù)HYPERLINK 例9 從黃瓜，白菜，油菜，扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有_種HYPERLINK 解:按要求從4種蔬菜品種中選出3種有種方法,種在不同土質(zhì)的三塊土地上有種方法,不同的種植方法共有種HYPERLINK 例10 有四個(gè)不同的小球,全部放入四個(gè)不同的盒子內(nèi),恰有兩個(gè)盒子不

14、放球的放法總數(shù)為 _ 解:選取兩個(gè)不放球的盒子,有種選法；把4個(gè)球分成兩堆,可分為兩堆各為1,3個(gè)或兩堆都有2個(gè)球這兩類,有種;再把兩堆分別放入兩個(gè)盒子里有種,所求放法總數(shù)為種HYPERLINK 點(diǎn)評(píng)：如何實(shí)施先組合,后排列 對(duì)常見(jiàn)的排列組合綜合問(wèn)題,應(yīng)先組合,后排列,可分為以下兩類HYPERLINK 例11 把9個(gè)相同小球放入其編號(hào)為1、2、3的三個(gè)箱子里,要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù),則不同的放球方法共有_種HYPERLINK 解:先給編號(hào)為2、3的三個(gè)箱子里分別放入1個(gè)、2個(gè)小球,有1種方法；再將剩余的6個(gè)小球串成一串，截為三段有種截?cái)喾ǎ瑢?duì)應(yīng)放到編號(hào)為1、2、3的三個(gè)箱子里HY

15、PERLINK 因此，不同的放球方法有11010種HYPERLINK 例12 某校準(zhǔn)備參加2005年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把10個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的8 個(gè)教學(xué)班,每班至少一個(gè)名額,則不同的分配方案共有_種HYPERLINK 解 HYPERLINK 將10個(gè)小球串成一串，截為7段有種截?cái)喾?，?duì)應(yīng)放到8個(gè)盒子里HYPERLINK 因此，不同的分配方案共有36種HYPERLINK 點(diǎn)評(píng)： 剪截法（隔板法）：n個(gè) 相同小球放入m(mn)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪成m段（插入m1塊隔板），有種方法HYPERLINK 例13 編號(hào)為1至6的

16、6個(gè)小球放入編號(hào)為1至6的6個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球,其中恰有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的放法有_種HYPERLINK 解： 選取編號(hào)相同的兩組球和盒子的方法有種,其余4組球與盒子需錯(cuò)位排列有9種放法,故所求方法有種HYPERLINK 點(diǎn)評(píng)：錯(cuò)位法：編號(hào)為1至n的n個(gè)小球放入編號(hào)為1到 n的n個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球HYPERLINK 要求小球與盒子的編號(hào)都不同,這種排列稱為錯(cuò)位排列HYPERLINK 特別當(dāng)n=2,3,4,5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1,2,9,44HYPERLINK 例14 將A、B、C、D、E、F六個(gè)不同的電子元件在線路上排成一排組成一個(gè)電路,如果元件A不排在始端,元件B不排在

17、末端,那么這六個(gè)電子元件組成不同的電路的種數(shù)是_ HYPERLINK 解：不考慮限制條件共有種排法,元件A排在始端和B排在末端各有種排法,把它們都剔除,則A排在始端同時(shí)B排在末端的總數(shù)多減了一次,需補(bǔ)上種HYPERLINK 故組成不同的電路種HYPERLINK 點(diǎn)評(píng)：容斥法：n個(gè)元素排成一列,求某兩個(gè)元素各自不排在某兩個(gè)確定位置的排法種數(shù),宜用容斥法HYPERLINK 小結(jié)：六種分書模型；解決排列、組合問(wèn)題的一些常用方法：容斥法、錯(cuò)位法、剪截法（隔板法）、捆綁法、剔除法、插孔法HYPERLINK 學(xué)生練習(xí)HYPERLINK 1HYPERLINK 將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，則不同的投法的

18、種數(shù)是（）AHYPERLINK BHYPERLINK CHYPERLINK DHYPERLINK 2HYPERLINK 某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)，得3分；平一場(chǎng)，得1分；負(fù)一場(chǎng)，得0分；一球隊(duì)打完15場(chǎng)，積33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況共有（）AHYPERLINK 3種BHYPERLINK 4種CHYPERLINK 5種DHYPERLINK 6種3HYPERLINK 若，則（）AHYPERLINK 9BHYPERLINK 8CHYPERLINK 7DHYPERLINK 64HYPERLINK 從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊地上，其中

19、黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（）AHYPERLINK 24種BHYPERLINK 18種CHYPERLINK 12種DHYPERLINK 6種5HYPERLINK 從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái)，則不同的選取法有種（結(jié)果用數(shù)值表示）6HYPERLINK 在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種值A(chǔ)、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有種HYPERLINK （作數(shù)字作答）7HYPERLINK 有件不同的產(chǎn)品排成一排，若其中A、B兩件產(chǎn)品排在一起的不同排法有48種，則8HYPE

20、RLINK 將3種作物種植在如圖的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共有種（以數(shù)字作答）9HYPERLINK 把6名同學(xué)排成前后兩排，每排3人，則不同排法的種類（）AHYPERLINK 36BHYPERLINK 120CHYPERLINK 720DHYPERLINK 144010HYPERLINK 6個(gè)人排成一排，其中甲、乙不相鄰的排法種數(shù)是（）AHYPERLINK 288BHYPERLINK 480CHYPERLINK 600DHYPERLINK 64011HYPERLINK 12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分

21、配方案共有（）AHYPERLINK 種BHYPERLINK 3種CHYPERLINK 種DHYPERLINK 種12HYPERLINK 從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同工作，其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則選派方案共有（）種AHYPERLINK 280BHYPERLINK 240CHYPERLINK 80DHYPERLINK 9613HYPERLINK 用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成比20000大，且百位數(shù)不是3的，無(wú)重復(fù)數(shù)字的個(gè)數(shù)是（）AHYPERLINK 64BHYPERLINK 72CHYPERLINK 78DHYPERLINK 9614HYPE

22、RLINK 從某班學(xué)生中，選出四個(gè)組長(zhǎng)的不同選法有m種，選出正、副組長(zhǎng)各一名的不同選法有n種，若m:n=13:2，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）AHYPERLINK 10BHYPERLINK 15CHYPERLINK 20DHYPERLINK 2215HYPERLINK 如圖所示，為某市的四個(gè)小鎮(zhèn)，現(xiàn)欲修建三條公路，將這四個(gè)鎮(zhèn)連接起來(lái)，則不同的修路方案種數(shù)為（）AHYPERLINK 6BHYPERLINK 12CHYPERLINK 16DHYPERLINK 24 16HYPERLINK 從1,2,3,4,5,6,7,8,9中每次取出兩個(gè)不重復(fù)的數(shù)字分別作為對(duì)數(shù)式中的底和真數(shù)，共可得到不同的對(duì)數(shù)值（）A

23、HYPERLINK 53個(gè)BHYPERLINK 55個(gè)CHYPERLINK 57個(gè)DHYPERLINK 59個(gè)17HYPERLINK 8名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行了單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3,4名，大師賽共有場(chǎng)比賽（用數(shù)字作答）18HYPERLINK 平面上有4條平行線與另外5條平行直線相互垂直，則可圍成個(gè)矩形（用數(shù)字作答）19HYPERLINK 設(shè)編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球放入這五個(gè)盒內(nèi)，要求每個(gè)盒內(nèi)投放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)

24、球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則不同的投放方法有種（用數(shù)字作答）20HYPERLINK 樓道里有10盞燈，為節(jié)約用電，在一定時(shí)間可關(guān)掉其中的3盞燈，但關(guān)掉的燈不能相鄰，而且不在樓道兩端，則不同的關(guān)燈方法共有種HYPERLINK 21HYPERLINK 如圖，一個(gè)地區(qū)分5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（用數(shù)字作答）22HYPERLINK 將10個(gè)相同的小球裝入3個(gè)編號(hào)分別為1,2,3的盒子（每次要把10個(gè)球裝完），要求盒子里球的個(gè)數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，這樣的裝法種數(shù)是（用數(shù)字作答）23HYPERLINK 某藥品研究所研制了5種消炎

25、藥， 4種退燒藥，現(xiàn)從中取出兩種消炎藥和一種退燒藥同時(shí)使用進(jìn)行療效實(shí)驗(yàn)，但又知兩種藥必須同時(shí)使用，且兩種藥不能同時(shí)使用，則不同的實(shí)驗(yàn)方案有種HYPERLINK 24HYPERLINK 對(duì)于任意正整數(shù)n，定義“n的雙階乘n！”如下：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，現(xiàn)有如下四個(gè)命題：;的個(gè)位數(shù)是0 ; 的個(gè)位數(shù)是5其中正確的命題有參考答案：1HYPERLINK B2HYPERLINK A3HYPERLINK C4HYPERLINK B5HYPERLINK 3506HYPERLINK 127HYPERLINK 58HYPERLINK 42 9HYPERLINK C10HYPERLINK B11HYPERLINK A12HYPERLINK B13HYPERLINK C14HYPERLIN