專題14：周期型規(guī)律問題（老師版）

1、專題14：周期型規(guī)律問題-2022年中考數(shù)學解題方法終極訓練一、單選題1如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果點A的坐標為(1，0)，那么點B2020的坐標為（）A(1，1)B(，0)C(1，1)D(0，)【答案】C【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點B旋轉后對應的坐標8次一循環(huán)，據(jù)此解答即可求解【詳解】解：連接OB，四邊形OABC是正方形，A的坐標為（1，0），OA=AB=OC=BC=1，OAB=90，AOB=45，B（1，1），由勾股定理得：，由

2、旋轉性質(zhì)得：OB=OB1=OB2=OB3=，將正方形OABC繞點O逆時針連續(xù)旋轉45，相當于將OB繞點O逆時針連續(xù)旋轉45，依次得到AOB=BOB1=B1OB2=45，B1（0，），B2（1，1），B2(，0)，B4（1，1），B5（0，），B6（1，1），B7（，0），B8（1，1），發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點B旋轉后對應的坐標8次一循環(huán)，2020=8252+4，點B2020與點B4重合，點B2020的坐標為（1，1），故選：C【點評】本題考查坐標與旋轉規(guī)律問題、正方形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉性質(zhì)，正確得出變化規(guī)律是解答的關鍵2用符號表示關于自然數(shù)x的代數(shù)式，我們規(guī)定

3、：當x為偶數(shù)時，；當x為奇數(shù)時，例如：，設，以此規(guī)律，得到一列數(shù)，則這2022個數(shù)之和等于（）A3631B4719C4723D4725【答案】D【解析】根據(jù)題意分別求出x2=4，x3=2，x4=1，x5=4，由此可得從x2開始，每三個數(shù)循環(huán)一次，進而繼續(xù)求解即可【詳解】解：x1=8，x2=f（8）=4，x3=f（4）=2，x4=f（2）=1，x5=f（1）=4，從x2開始，每三個數(shù)循環(huán)一次，（2022-1）3=6732，x2+x3+x4=7，=8+6737+4+2=4725.故選：D【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數(shù)，通過計算找到數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關鍵3如圖，已知菱形OABC的

4、頂點O(0，0)，B(2，2)，菱形的對角線的交于點D；若將菱形OABC繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45，從如圖所示位置起，經(jīng)過60秒時，菱形的對角線的交點D的坐標為（）A(1，1)B(1，1)C(-1，1)D(1，1)【答案】B【解析】分別過點和點作軸于點，作軸于點，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)求得點的坐標，進而計算旋轉的度數(shù)，7.5周，進而根據(jù)中心對稱求得點旋轉后的D坐標【詳解】如圖，分別過點和點作軸于點，作軸于點，四邊形為菱形，點為的中點，點為的中點，；由題意知菱形繞點逆時針旋轉度數(shù)為：，菱形繞點逆時針旋轉周，點繞點逆時針旋轉周，旋轉60秒時點的坐標為故選B【點評】根據(jù)菱形的性質(zhì)及中點的

5、坐標公式可得點D坐標，再根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得旋轉后點D的坐標，熟練掌握菱形的性質(zhì)及中點的坐標公式、中心對稱的性質(zhì)是解題的關鍵4觀察下列等式：，解答下面問題：的末位數(shù)字是（）A0B2C3D9【答案】B【解析】通過觀察，對前面幾個數(shù)相加，可以發(fā)現(xiàn)末位數(shù)字分別是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四個為一個循環(huán)，從而可以求得到的末位數(shù)字是多少【詳解】，3=3，3+9=12，12+27=39，39+81=120，120+243=363，363+729=1092，1092+2187=3279，.，又20224=505.2，的末位數(shù)字是2，故選：B【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類以及尾數(shù)特征，根據(jù)各

6、數(shù)個位數(shù)字的變化，找出變化規(guī)律是解題的關鍵5已知a1x+1（x0且x1），a21（1a1），a31（1a2），則a2021（）AxBx+1CD【答案】C【解析】根據(jù)題中所給已知等式先求出前4個數(shù)，發(fā)現(xiàn)每3個數(shù)一個循環(huán)，進而可得則a2021等于a2的值【詳解】解：由a1=x+1（x0或x-1），所以，a4=1（1-a3）=x+1，20213=6732，故選：C【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律6如圖，正方形ABCD的邊長是2個單位長度，一只烏龜（看作一點）從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度繞正方形順時針運動，另有一只兔子（看作一點）也從點A出發(fā)以6個單

7、位長度/秒的速度繞正方形逆時針運動，1秒后烏龜運動到點D，兔子也運動到點D，記為第1次相遇，則第2022次相遇在（ ）A點A處B點B處C點C處D點D處【答案】C【解析】用方程求出烏龜和兔子相遇一次所用的時間為1秒，即按烏龜路線每一次相遇正好前進一個邊長，到達下一個頂點，再由20214=5052，可求出結果【詳解】解：設烏龜和兔子相遇一次的時間為x秒，(2+6)x=24，解得x=1，即每一次相遇烏龜正好前進一個邊長，到達下一個頂點，20224=5052，第2021次相遇在點C故選：C【點評】此題考查了實際問題中周期性規(guī)律歸納能力，關鍵是發(fā)現(xiàn)它們相遇點周期性循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律7如圖，直線與軸、軸分別相

8、交于點、，過點作，使將 繞點順時針旋轉，每次旋轉則第2022次旋轉結束時，點的對應點落在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為AB4CD6【答案】C【解析】過點C作CDy軸，垂足為D，則BCD是等腰直角三角形，根據(jù)BC=，確定點C的坐標，第一次旋轉的坐標，根據(jù)第二次旋轉坐標與點C關于原點對稱，第三次旋轉坐標與第一次坐標關于原點對稱，確定循環(huán)節(jié)為4，計算20224的余數(shù)，確定最后的坐標，利用k=橫坐標縱坐標計算即可【詳解】如圖，過點C作CDy軸，垂足為D，直線與軸、軸分別相交于點、，過點作，使，A（-1，0），B（0，1），AB=，BC=，OA=OB，ABO=BAO=CBD=DCB=45，DC=BD=2，

9、DC=BD=2，OD=OB+BD=3，點C（-2，3），第一次旋轉的坐標為（3，2），第二次旋轉坐標與點C關于原點對稱為（2，-3），第三次旋轉坐標與第一次坐標關于原點對稱為（-3，-2），第四次回到起點，循環(huán)節(jié)為4，20224=5052，第2022次變化后點的坐標為（2，-3），k=-32=-6，故選C【點評】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式的確定，點的坐標的對稱性，利用旋轉性質(zhì)，確定點的對稱性及其坐標是解題的關鍵8如圖，甲乙兩動點分別從正方形ABCD的頂點A，C同時沿正方形的邊開始移動，甲按順時針方向環(huán)形，乙按逆時針方向

10、環(huán)行，若乙的速度是甲的3倍，那么它們第一次相遇在AD邊上，請問它們第2019次相遇在哪條邊上?（） AADBDCCBCDAB【答案】C【解析】設出正方形的邊長，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地點，第二次相遇地點，第三次相遇地點，第四冊相遇地點，找出規(guī)律，發(fā)現(xiàn)四次一循環(huán)即可解答【詳解】解：設正方形的邊長為a，因為乙的速度是甲的速度的3倍，時間相同，甲乙所行的路程比為，把正方形的每一條邊平均分成2份，由題意知：第一次相遇甲乙行的路程和為2a，乙行的路程為，甲行的路程為，在AD邊的中點相遇；第二次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為，甲行的路程為，在CD邊的中點相遇；第三次相遇甲乙行的

11、路程和為4a，乙行的路程為，甲行的路程為，在BC邊的中點相遇；第四次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為，甲行的路程為，在AB邊的中點相遇；第五次相遇甲乙行的路程和為4a，乙行的路程為，甲行的路程為，在AD邊的中點相遇；四次一個循環(huán)，因為，所以它們第2019次相遇在邊BC中點上故選擇C【點評】本題主要考查圖形行程中的相遇問題應用題及按比例分配的運用，難度較大，注意先通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律然后再解決問題二、填空題9如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OA1A2的直角邊OA1在y軸的正半軸上，且OA1A1A21，以OA2為直角邊作第二個等腰直角三角形OA2A3，以OA3為直角邊作第三個等限直角三角

12、OA3A4，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形OA2020A2021，則點A2021的坐標為 _【答案】（0，21010）【解析】根據(jù)題意，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標系中點與象限的關系，確定一部分點的坐標，從坐標中尋找規(guī)律，再按規(guī)律計算即可【詳解】解：等腰直角三角形OA1A2的直角邊OA1在y軸的正半軸上，且OA1A1A21，A1（0，1），A2（1，1）；根據(jù)勾股定理得：OA2，OA3OA22，A3（2，0），A4（2，2），根據(jù)勾股定理得：OA4，OA5OA44，A5（0，4），A6（4，4），根據(jù)勾股定理得：OA6OA54，OA7OA68，A7（8，0），A8（8，8），根據(jù)勾股

13、定理得：OA8OA78，OA9OA816，A9（0，16），坐標的循環(huán)節(jié)為8，202182525，A2021的坐標與A5（0，4）的規(guī)律相同，422，A2021的縱坐標為21010，A2021的坐標為（0，21010），故答案為：（0，21010）【點評】本題考查了坐標系中坐標的變化規(guī)律，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標的特點熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理靈活運用一般與特殊的思想，構造冪運算是解題的關鍵10給出一組有規(guī)律的數(shù)：，小明通過觀察發(fā)現(xiàn)，當為大于1的奇數(shù)時，；當為大于1的偶數(shù)時，按此規(guī)律，計算前2021個數(shù)的和為 _【答案】1011【解析】先根據(jù)規(guī)律寫出至的值，可從中發(fā)現(xiàn)規(guī)

14、律：的值每4個一循環(huán)，并計算循環(huán)一次的和為2，2021個數(shù)共循環(huán)505次，并余一個奇數(shù)為第2021個數(shù)，根據(jù)規(guī)律計算即可【詳解】解：，的值每4個一循環(huán)，故答案為：1011【點評】本題主要考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并求出相應的值，每4個一循環(huán)是解題的關鍵11如圖，邊長為1的正六邊形放置于平面直角坐標系中，邊在軸正半軸上，頂點在軸正半軸上，將正六邊形繞坐標原點順時針旋轉，每次旋轉，那么經(jīng)過第2022次旋轉后，頂點的坐標為_【答案】【解析】連接AD、BD，由勾股定理可得BD，求出OFA=30，得到OA的值，進而求得OB的值，得到點D的坐標，由題意可得6次一個循環(huán)，即可求出經(jīng)

15、過第2022次旋轉后，頂點的坐標【詳解】解：如圖，連接AD，BD，在正六邊形ABCDEF中，在中，將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉，每次旋轉60，6次一個循環(huán)，經(jīng)過第2022次旋轉后，頂點D的坐標與第一象限中D點的坐標相同，故答案為：【點評】此題考查了正六邊形的性質(zhì)，平面直角坐標系中圖形規(guī)律問題，解題的關鍵是正確分析出點D坐標的規(guī)律12如圖，一段拋物線：yx（x2）（0 x2）記為C1，它與x軸交于兩點O，A；將C1繞點A旋轉180得到C2，交x軸于A1；將C2繞點A1旋轉180得到C3，交x軸于點A2如此進行下去，直至得到C2021，若點P（4041，m）在第2021段拋物線上，

16、則m的值為 _【答案】1【解析】由于每次變化時，開口方向變化但形狀不變，則 ，故開口向上時a=1，開口向下時a=-1；與x軸的交點在變化，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律拋物線Cn與x軸交點的規(guī)律是（2n-2，0）和（2n，0），由兩點式 求出解析式，最后把x=4041代入解析式即可求得m的值【詳解】解：由拋物線C1：y=-x(x-2)，令y=0，即-x(x-2)=0，解得 與x軸的交點為O（0,0），A（2,0）.拋物線C2的開口向上，且與x軸的交點為A（2,0）和A1（4，0），則拋物線C2：y= （x-2）（x-4）；拋物線C3的開口向下，且與x軸的交點為A1（4，0）和A2（6，0），則拋物線C3：y= -

17、（x-4）（x-6）；拋物線C4的開口向上，且與x軸的交點為A2（6，0）和A3（8，0），則拋物線C4：y=（x-6）（x-8）；同理：拋物線C2021的開口向下，且與x軸的交點為，A2019（4040，0）和A2020（4042，0），則拋物線C2021：y=-（x-4040）（x-4042）；當x=4041時，y=- 11（-1）=1故答案為1【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉的性質(zhì)，正確求出第C2021的解析式是解答本題的關鍵13法國著名數(shù)學家笛卡爾在蜘蛛戒網(wǎng)的啟示下創(chuàng)建了數(shù)對與直角坐標系如圖，一只蜘蛛先以O為起點結六條線OA，OB，OC，OD，OE，OF后，再從線OA上某點開始按

18、逆時針方向，依次在OA，OB，OC，OD，OE，OF，OA，OB，OC，OD，上結網(wǎng)，若將各線上的結點依次記為1，2，3，4，5，6，7，8，那么，第2021個結點在線_上【答案】OE【解析】根據(jù)點在射線上的排布順序發(fā)現(xiàn)規(guī)律“射線上的數(shù)字以6為周期循環(huán)”，依此規(guī)律即可得出結論【詳解】解：根據(jù)數(shù)的排布發(fā)現(xiàn)：1在OA上，2在OB上，3在OC上，4在OD上，5在OE上，6在OF上，7在OA上，射線上的數(shù)字以6為周期循環(huán)，20216=3365，2021與5在同一條射線上，即2021在射線OE上故答案為：OE【點評】本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關鍵是找出規(guī)律“射線上的數(shù)字以6為周期循環(huán)”本題

19、屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)射線上數(shù)字的排布找出規(guī)律是關鍵1420222021的個位數(shù)是_【答案】2【解析】通過分析可知：2的個位數(shù)字的特征是2、4、8、6、2、4、8、6，從第一個2開始，每4個一個循環(huán)，那么用2021除以4，商說明有幾個這樣的循環(huán)，余數(shù)是幾，就是一個循環(huán)中的第幾個數(shù)字，據(jù)此即可解答【詳解】解：通過分析可知：2的個位數(shù)字的特征是2、4、8、6、2、4、8、6，從第一個2開始，每4個一個循環(huán)，則20214=5051因為余數(shù)為1，所以它的計算結果的個位數(shù)字是2故答案是2【點評】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律；通過列舉、歸納出規(guī)律并靈活應用規(guī)律成為解答本題的關鍵15如圖，

20、平面直角坐標系中O是原點，等邊OAB的頂點A的坐標是（2，0），點P以每秒1個單位長度的速度，沿OABOA的路線作循環(huán)運動，第2021秒時點P的坐標是_【答案】【解析】計算前面7秒結束時的各點坐標，得出規(guī)律，再按規(guī)律進行解答便可【詳解】解：由題意得，第1秒結束時P點運動到了線段OA的中點C的位置，所以P1的坐標為P1（1，0）；第2秒結束時P點運動到了點A的位置，所以P2的坐標為P2（2，0）；第3秒結束時P點運動到了線段AB的中點D的位置，如下圖所示，過D點作x軸的垂線交于x2處，OAB是等邊三角形，且OA=2，在RtAD x2中，DA x2=60，AD=1，故D點的坐標為，即P3;第4秒結

21、束時P點運動到了點B的位置，同理過B點向x軸作垂線恰好交于點C，在RtOBC中，BOC =60，, ，故B點的坐標為（1，），即P4（1，）；第5秒結束時P點運動到了線段OB的中點E的位置，根據(jù)點D即可得出E點的坐標為，即 P5；第6秒結束時運動到了點O的位置，所以P6的坐標為P6（0，0）；第7秒結束時P點的坐標為P7（1，0），與P1相同；由上可知，P點的坐標按每6秒進行循環(huán)，202183365，第2021秒結束后，點P的坐標與P5相同為，故答案為：【點評】本題主要考查了點的坐標特征，等邊三角形的性質(zhì)，數(shù)字規(guī)律，關鍵是求出前面幾個點坐標，得出規(guī)律16已知菱形的邊長為2，=60，對角線，相交

22、于點O以點O為坐標原點，分別以，所在直線為x軸、y軸，建立如圖所示的直角坐標系以為對角線作菱形菱形，再以為對角線作菱形菱形，再以為對角線作菱形菱形，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，在x軸的正半軸上得到點，則點的坐標為_【答案】（3n1，0）【解析】【詳解】試題分析：菱形的邊長為2，=60，=2，=1，點A1的坐標為（1，0），=1，=，=3，點A2的坐標為（3，0），即（321，0），同理可得：點A3的坐標為（9，0），即（331，0），點A4的坐標為（27，0），即（341，0），點An的坐標為（3n1，0）故答案為（3n1，0）考點：1相似多邊形；2菱形的性質(zhì)；3規(guī)律型三、解答題17算式計算的結果個位

23、是幾？【答案】1【解析】利用（3-1）替換2得（3-1）+1=3，再由得到個位數(shù)每4個數(shù)一循環(huán)，從而得到 的個位數(shù)為1，即可求解【詳解】解： ，3=3，3=9，3=27，3=81， ，個位數(shù)每4個數(shù)一循環(huán)， ， 的個位數(shù)為1，即結果個位是1【點評】本題主要考查了平方差公式的應用，熟練掌握 是解題的關鍵18如圖，將一個面積為1的圓形紙片分割成6個部分，部分的面積是圓形紙片面積的一半，部分的面積是部分面積的一半部分的面積是部分面積的一半，依此類推（1）陰影部分的面積是；（2）受此啟發(fā)，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意和圖形，可以得到陰影部分的面積；（2）根據(jù)圖形，可以求得所求式子的值【詳解】解：（1）由圖可得，陰影部分的面積是，故答案為：（2）【點評】本題考查圖形的變化類、有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答19動腦筋、找規(guī)律邱老師給小明出了下面