近世代數(shù)多項(xiàng)式環(huán)的分解

1、近世代數(shù)課件多項(xiàng)式環(huán)的分解第1頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三5.1 基本結(jié)論 我們將要得到的結(jié)果是：一個(gè)唯一分解環(huán) 上的多元多項(xiàng)式環(huán) 本身也是唯一分解環(huán)。第2頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三5.2引理把一個(gè)素多項(xiàng)式叫做不可約多項(xiàng)式，把一個(gè)有真因子的多項(xiàng)式叫做可約多項(xiàng)式。定義 的一個(gè)元 叫做一個(gè)本原多項(xiàng)式，假如 的系數(shù)的最大公因子是單位。引理 1 假定 。那么 是本原多項(xiàng)式，當(dāng)而且只當(dāng) 和 都是本原多項(xiàng)式的時(shí)候。第3頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三證明 若是 是本原多項(xiàng)式，顯然 和 也都是本原多項(xiàng)式?，F(xiàn)在假定 是兩個(gè)

2、本原多項(xiàng)式。如果 不是本原多項(xiàng)式，那么有一個(gè)最大公因子d，d不是 的單位。由于（B）， ，因而 。這樣，由于 是唯一分解環(huán)，有一個(gè) 的素元 可以整除d，因而可以整除每一個(gè) 。這個(gè) 不能整除所有的 ，也不能整除所有的 ，不然 和 不會(huì)是本原多項(xiàng)式。假定 和 各是 和 的頭一個(gè)不能被 整數(shù)的系數(shù)。 是系數(shù) 可以寫成以下形式第4頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三 在這個(gè)式子里除了 以外，每項(xiàng)都能被 整除，所以 也能被 整除，因而由于 是唯一分解環(huán)， 或 能被 整除，與這兩個(gè)元的取發(fā)相反。這樣 必須是本原多項(xiàng)式。證完。 現(xiàn)在我們用 的商域Q來做Q上的一元多項(xiàng)式環(huán) ，那么 包含

3、。我們知道 是唯一分解環(huán)，我們要由這一件事實(shí)來證明 也是唯一分解環(huán)。第5頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三引理 2 的每一個(gè)不等于零的多項(xiàng)式 都可以寫成 的樣子，這里 是 的本元多項(xiàng)式。若是 也有 的性質(zhì)，那么第6頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三證明 Q的元都可以寫成 的樣子，因此 叫 ，那么 叫 b 是 的一個(gè)最大公因子，那么 ， 是本原多項(xiàng)式（，2習(xí)題2） 假定另一方面 ， 是 的本原多項(xiàng)式，那么 是 的一個(gè)多項(xiàng)式。由于 和 都是本原多項(xiàng)式，bc和ad一定同是 的系數(shù)的最大公因子（，2，習(xí)題2），因而 這樣 證完第7頁，共18頁，2022年

4、，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三引理3 的一個(gè)本元多項(xiàng)式 在 里可約的充分而且必要條件： 在 里可約。第8頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三證明 假定 在 里可約。這時(shí)，因?yàn)?顯然也是的本原多項(xiàng)式，由（C）。 和 都屬于 ，并且它們的次數(shù)都大于零。 由引理2， ， 和 都是 的本原多項(xiàng)式。由引理1，還是本原多項(xiàng)式；由引理2，因此 ，但 和 的次數(shù)各等于 的次數(shù)，因而都大于零： ；由（A）， 和 都不是 的單位。這樣，由，1，定理3， 在 里可約。第9頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三假定 在 里可約。這時(shí)，由（C）， 都屬于 ，并且他們的次數(shù)都

5、大于零。這樣，由（A），把 看作的元，這兩個(gè)多項(xiàng)式也不是 的單位；由，1，定理3，在 里 可約。證完。第10頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三引理 4 的一個(gè)次數(shù)大于零的本原多項(xiàng)式 在 里有唯一分解。第11頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三證明 我們先證明 可以寫成不可約多項(xiàng)式的乘積。若是 本身不可約，我們用不著再證明什么。假定 可約。由（C）和引理1， 都是本原多項(xiàng)式，并且他們的次數(shù)都小于 的次數(shù)。這樣，假如 還是可約，我們又可以把他們寫成次數(shù)更小的本原多項(xiàng)式的乘積。由于 的次數(shù)是有限正整數(shù)，最后我們可以得到（1） 。 是不可約本原多項(xiàng)式。第1

6、2頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三假定還有一個(gè)分解（2） 。那么由引理1， 是不可約本原多項(xiàng)式。由引理3， 和 在 里還是不可約，這就是說，（1）和（2）也是 在 里的兩種分解，但 是唯一分解環(huán)，所以我們有并且由（A），我們可以假定這樣，由引理2， 在 里有唯一分解。證完第13頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三5.3 結(jié)論的證明定理 1 若是 是唯一分解環(huán)，那么 也是。證明 我們看 的一個(gè)不是零也不是單位的多項(xiàng)式 。若 ，那么由于 是唯一分解環(huán)， 顯然有唯一分解。若 是本原多項(xiàng)式，由引理4， 也有唯一分解。這樣，我們只需看 d不是 的單位， 是

7、次數(shù)大于零的本圓多項(xiàng)式時(shí)的情形。第14頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三這時(shí)，因d有分解 有分解 是不可約本原多項(xiàng)式，所以 在 里有分解：假定在里有另一種分解： 都是 的不可約多項(xiàng)式。這時(shí)， 一定是 的素元， 一定是不可約多項(xiàng)式。第15頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三因?yàn)椋?若不是 的素元，顯然也不會(huì)是 的不可約多項(xiàng)式； 若不是本原多項(xiàng)式，它的系數(shù)的最大公因子 顯然是它的一個(gè)真因子，因而 也不會(huì)是不可約多項(xiàng)式，這樣由引理1和2，我們有（3） 是 的單位；因而（4）第16頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三（3）式表示的是本原多項(xiàng)式 的兩種分解，因而由引理4，而且我們可以假定（4）表示的是唯一分解環(huán) 的元d的兩種分解，因而而且我們可以假定這樣， 是唯一分解環(huán)。證完。第17頁，共18頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)44分，星期三由定理 1 ，應(yīng)用歸納法立刻可以得到定理 2 若 是唯一分解環(huán)，那么 也是，這