基于小波變換的邊緣檢測技術

1、第一章 圖像邊緣的定義引言在實際的圖像處理問題中，圖像的邊緣作為圖像的一種基本特征，被 經常用于到較高層次的特征描述，圖像識別。圖像分割，圖像增強以及圖 像壓縮等的圖像處理和分析中， 從而可以對圖像進行進一步的分析和理解。由于信號的奇異點或突變點往往表現為相鄰像素點處的灰度值發(fā)生了 劇烈的變化，我們可以通過相鄰像素灰度分布的梯度來反映這種變化。根 據這一特點，人們提出了多種邊緣檢測算子： Roberts 算子 Prewitt 算子 Laplace 算子等。經典的邊緣檢測方法是構造出像素灰度級階躍變化敏感的微分算子。 這 些算子毫無例外地對噪聲較為敏感。由于原始圖像往往含有噪聲、而邊緣 和噪聲在

2、空間域表現為灰度有大的起落，在頻域則反映為同是主頻分量， 這就給真正的邊緣檢測到來困難。 于是發(fā)展了多尺度分析的邊緣檢測方法。 小波分析與多尺度分析有著密切的聯系，而且在小波變換這一統(tǒng)一理論框 架下，可以更深刻地研究多尺度分析的邊緣檢測方法， Mallat S 提出了一小 波變換多尺度分析為基礎的局部極大模方法進行邊緣檢測。小波變換有良好的時頻局部轉化及多尺度分析能力，因此比其他的邊緣 檢測方法更實用和準確。小波邊緣檢測算子的基本思想是取小波函數作為 平滑函數的一階導數或二階導數。利用信號的小波變換的模值在信號突變 點處取局部極大值或過零點的性質來提取信號的邊緣點。常用的小波算子 有Marr

3、算子Canny算子和 Mallat算子等。1.1 信號邊緣特征人類的視覺研究表明，信號知覺不是信號各部分簡單的相加，而是各 部分有機組成的。人類的信號識別（這里討論二維信號即圖像）具有以下 幾個特點：邊緣與紋理背景的對比鮮明時 , 圖像知覺比較穩(wěn)定；圖像在空間 上比較接近的部分容易形成一個整體；在一個按一定順序組成的圖像中， 如果有新的成份加入，則這些新的成份容易被看作是原來圖像的繼續(xù)；在 視覺的初級階段，視覺系統(tǒng)首先會把圖像邊緣與紋理背景分離出來，然后 才能知覺到圖像的細節(jié)，辨認出圖像的輪廓，也就是說，首先識別的是圖 像的大輪廓；知覺的過程中并不只是被動地接受外界刺激，同時也主動地 認識外界

4、事物，復雜圖像的識別需要人的先驗知識作指導；圖像的空間位 置、方向角度影響知覺的效果。從以上這幾點，可以總結出待識別的圖像 邊緣點應具有下列特征即要素：具有較強的灰度突變，也就是與背景的對 比度鮮明；邊緣點之間可以形成有意義的線形關系，即相鄰邊緣點之間存 在一種有序性；具有方向特征；在圖像中的空間相對位置；邊緣的類型， 即邊緣是脈沖型、階躍型、斜坡型、屋脊型中哪一種。1.2 圖像邊緣的定義邊緣檢測是圖像處理中的重要內容。而邊緣是圖像中最基本的特征， 也是指周圍像素灰度有變化的那些像素的集合。主要表現為圖像局部特征 的不連續(xù)性，也就是通常說的信號發(fā)生奇異變化的地方。奇異信號沿邊緣 走向的灰度變化

5、劇烈，通常分為階躍邊緣和屋頂邊緣兩種類型。階躍邊緣 在階躍的兩邊的灰度值有明顯的變化；屋頂邊緣則位于灰度增加與減少的 交界處。我們可以利用灰度的導數來刻畫邊緣點的變化，分別求階躍邊緣 和屋頂邊緣的一階，二階導數。如圖可見，對于邊緣點A ，階躍邊緣的一階導數在 A 點到最大值，二階導數在 A 點過零點；屋頂邊緣的一階導數在 A 點過零點，二階導數在 A 點有最大值。(a)(b)(C)(al)(CI)(bl)K 1-2屋頂狀邊線第二章 傳統(tǒng)的邊緣檢測算子2.1 傳統(tǒng)的邊緣檢測算子邊緣檢測的實質是采用某種算法來提取出圖像中對像與背景間的交界 線。我們將邊緣定義為圖像中灰度發(fā)生急劇變化的區(qū)域邊界。而灰

6、度變化 的情況可以用圖像灰度分布的梯度來反映，所以我們可以用局部圖像微分 技術來獲得邊緣檢測算子。以下對比較經典的邊緣檢測算子進行了理論分 析，并做出了比較和評價。我們記為 f (x, y) f i f j 圖像的梯度， f (x,y) 中包含局部灰度的變 xy化信息。記： e(x,y) fx2(x, y) fy2(x, y) (2.1)為梯度 f(x,y)的幅度， e(x,y) 可以用做邊緣檢測算子。 常用的邊緣檢測方法有：差分邊緣檢測， Roberts 邊緣檢測算子， Sobel 邊緣檢測算子， Prewitt 邊緣檢測算子 ,Robinson 邊緣檢測算子 ,Lapalce 邊緣 檢測算

7、子等等。 2.2 差分邊緣檢測方法 利用像素灰度的一階導數算子在灰度迅速變化處得到高值來進行奇異 點的檢測。它在某一點的值就代表該點的“邊緣強度” ，可以通過對這些值 設置閾值來進一步得到邊緣圖像。但用差分邊緣檢測必須使差分的方向與 邊緣方向垂直，這就需要對圖像的不同方向都進行差分運算，增加了實際 運算的繁瑣性。一般為垂直邊緣、水平邊緣、對角線邊緣檢測：圖 2-1 差分算法檢測邊緣的方向模板2.3 Roberts 邊緣檢測算子Roberts邊緣檢測算子根據任意一對互相垂直方向上的差分可以用來計算梯度的原理，采用對角線方向相鄰兩像素之差，即：他們的卷積算子為：01yf : 01 10有了 x，

8、y f 之后，很容易計算出Roberts的梯度幅值 R(i, j)，適當的取門限 TH，作如下判斷： R(i, j) TH ，(i, j) 為階躍邊緣點。 R(i,j) 為邊 緣圖像。Roberts算子采用對角線方向相鄰兩像素之差近似梯度幅值邊緣檢測。檢測水平和垂直邊緣的效果好于斜向邊緣，定位精度高，對噪聲敏感圖 2-2 ：用 Roberts 算子進行邊緣檢測的 Lena 圖與原圖像2.4 Sobel 邊緣檢測算子對數字圖像 f(i, j) 的每一個像素， 考察它上，下，左，右鄰點灰度的 加權差，與之接近的鄰點的權大。據此，定義 Sobel 算子如下：卷積算子為：圖 2-3 ：Sobel 邊緣

9、檢測算子方向模板適當的取門限 TH，作如下判斷： s(i, j) TH,(i, j)為階躍邊緣點，為 s(i, j) 邊緣圖像。Sobel 算子很容易在空間上實現， Sobel 邊緣檢測器不但產生較好的邊緣 檢測效果，而且受噪聲的影響也比較小。當使用大的領域時，抗噪聲特性 會更好，但這樣做會增加計算量，并得出的邊緣也比較粗。Sobel 算子利用像素點上下， 左右鄰點的灰度加權算法， 根據在邊緣點 出達到極值這一現象進行邊緣的檢測。 Sobel 算子對噪聲具有平滑作用，提 供較為精確的邊緣方向信息，但它同時會檢測出許多的偽邊緣，邊緣定位 精度不高。當對精度要求不是很高時，是一種較為常用的方法。圖

10、 2-4 ：用 Sobel 算子進行邊緣檢測的 Lena 圖與原圖像 2.5 Prewitt 邊緣檢測算子Prewitt 算子是一種邊緣樣板算子。這些算子樣板由理想的邊緣子圖像 構成。依次用邊緣樣板去檢測圖像，與被檢測區(qū)域為相似的樣板給出最大 值。用這個最大值作為算子的輸出值 P(i, j) ，這樣就可以將邊緣像素檢測出 來。定義 Prewitt 邊緣算子模板如下：圖 2-5 ： Prewitt 邊緣檢測算子模板8 個算子樣板對應的邊緣方向如下圖所示：圖 2-6 ： 樣板方向適當取門限 TH，作如下判斷： P(i, j) TH ,( i , j)為階躍邊緣點。 P(i,j) 為邊緣圖像。圖 2

11、-7 ： 用 Prewitt 算子進行邊緣檢測的 Lena 圖與原圖2.6 Robinson 邊緣檢測算子Robinson 邊緣檢測算子也是一種邊緣樣板算子，其算法和 Prewitt 邊緣檢測算子相似，只是 8 個邊緣樣板不同。如下所示：圖 2-8 ： Robinson 邊緣檢測算子模板 2.7 Laplace 邊緣檢測算子Laplace算子是二階微分算子，是一個標量，屬于各向同性的運算，對灰度突變敏感。在數字圖像中，可以用差分來近似微分運算，f (i, j) 的Laplace 算子為Laplace算子的二種估算模板：圖 2-9 ： Laplace 的兩種估算模板對階躍邊緣，二階導數在邊緣點出

12、現零交叉，即邊緣點兩邊二階導函數取異號。Laplace算子就是據此對 f(i,j) 的每個像素取它關于 x方向和 y方向的二階差分之和，這是一個與邊緣方向無關的邊緣檢測算子。而對屋 頂狀邊緣， 在邊緣點的二階導數取極小值， 這時對 f(i, j) 的每個像素取它 關于 x 方向和 y 方向的二階差分之和的相反數。Laplace算子有兩個缺點：其一是邊緣的方向信息丟失， 其二是 Laplace算子為二階差分，雙倍加強了圖像中的噪聲影響：優(yōu)點是各向同性，即具 有旋轉不變性。因為在微分學中有：一個只包含偶次階導數和取偶次冪的 奇次階導數的線形組合算子，一定是各向同性的。Laplace算子實際二階微分

13、算子，利用邊緣點處二階導函數出現零交叉 原理檢測邊緣。不具有方向性，對灰度突變敏感，定位精度高，不但檢測 出了絕大部分的邊緣，同時基本上沒有出現偽邊緣。但他的檢測也存在一 些缺點，如丟失一些邊緣，有一些邊緣不夠連續(xù)，對噪聲敏感且不能獲得 邊緣方向的功能信息。圖 2-10 ：用 Laplace 算子進行邊緣檢測的 Lena 圖與原圖 2.8 檢測結果與結論通過對以上介紹的幾種邊緣檢測算子的算法公式和檢測的結果可以看 出， Roberts 算子簡單直觀，但邊緣檢測圖里存在有偽邊緣； Sobel 算子、 Prewitt 算子和 Robinson 的檢測結果圖能檢測出更多的邊緣，但也存在有偽 邊緣且檢

14、測出來的邊緣線比較粗，并放大了噪聲； Lapalce 算子和改進的 Laplace 算子利用二階差分運算來進行檢測，但不可以檢測出較多的邊緣， 而且還在很大程度上消除了偽邊緣的存在，定位精度高。但受噪聲的影響 比較大。第三章 小波變換在圖像邊緣檢測中的應用 3.1 小波思想的引入雖然邊緣提取已有梯度算子、 Laplace 算子、 Sobel 算子等方法，但這 些算法都沒有自動變焦的思想。而事實上，由于物理和光照等原因，每幅 圖像中的邊緣通常產生在不同的尺度范圍內，形成不同類型的邊緣，這些 信息是未知的。另外圖像中還存在有噪聲，因此，根據圖像特性自適應地 正確檢測出圖像的邊緣是非常困難的?？梢钥?/p>

15、定，用單一尺度的邊緣算子 不可能檢測出所有的邊緣，同時，為避免在濾除噪聲是影響邊緣檢測的正 確性，用多尺度的方法檢測邊緣越來越引起人們的重視。由于小波變換具 有良好的時頻局部化特性及多尺度分析能力，在不同尺度上具有“變焦” 的功能，適合于檢測突變信號。是檢測突變信號強有力的工具，得到了廣 泛的應用。 3.1.1小波變換在圖像邊緣檢測中的優(yōu)勢用小波變換對信號做多分辨率分析非常適合提取信號的局部特征。 這是 因為小波變換的尺度因子和平移因子構成了一個滑動的時間 -頻率窗，小尺 度下的變換系數對應信號的高頻分量，大尺度下的變換系數對應信號的低 頻分量。于是信號被分解成各個頻率下的分量，這樣就可以檢測

16、對應不同 頻率的信號局部特征。而圖像中的突變信息和噪聲都屬于高頻信號，可以 利用小波變換后的高頻分量進行去噪和得到邊緣圖像。由于各種原因，圖像常常受到隨機噪聲的干擾。經典的邊緣檢測方法 由于引入了各種形式的微分運算，從而必然引起對噪聲的極度敏感，在其 上執(zhí)行邊緣檢測的結果常常是把噪聲當作邊緣點檢測出來，而真正的邊緣 也由于受到噪聲干擾而沒有被檢測出來。因而對于有噪聲圖像來說，一種 好的邊緣檢測方法應具有良好的各種噪聲抑制能力，同時又有完備的邊緣 檢測保持特性。小波變換可以提供一種很好的去噪方法。 當取小波函數為平滑函數的一 階導數時，信號的小波變換的模的信號突變點出取局部極大值，邊緣與噪 聲的

17、區(qū)別在于，隨著尺度的增加，噪聲引起的小波變換的模的極大值迅速 減??；而邊緣的濾波模值不隨尺度的變化，故小波變換可以在低信噪比的 信號中檢測噪聲和邊緣。通過計算在尺度 2j 和尺度 2j 1 上每一個在位置上 最接近，且具有相同符號的系數最大值，我們可以找出不同尺度下小波幅 度的變化，消除那些系數極值孤獨隨尺度減小而小波系數 Mf 在平均值上增 加的序列。這些極值對應圖像噪聲奇異點，從而就得到了圖像邊緣的真正 奇異點。同時，邊緣點具有較強的方向性。 即在邊緣點上， 其濾波值表現為較強 的模值，而在垂直邊緣方向上，濾波模值較??；而噪聲點在各個方向的濾 波模值相似。因而，在對信號進行不同方向的濾波時

18、，邊緣點濾波模值會 有較強與較弱的差異，而噪聲點濾波模值不會產生過大的差異，因此可以 通過構造任意方向的小波濾波器來檢測出奇異信號和噪聲點。對于很大一 類圖像來說，急劇變化點所對應的邊緣在圖像平面內是一些規(guī)則的曲線， 沿著這些曲線，圖像在一個方向是奇異的，而和該方向相垂直的方向卻是 平滑的。由于實際得到的值是一些離散點，為了檢測出邊緣，可以利用沿 曲線方向梯度矢量的模變化平緩特點以及不同尺度下梯度矢量幅角的信 息，將位置及幅角十分接近的模極大值點連接起來形成模極大值鏈，這些 鏈構成了圖像的邊緣。 3.1.2小波變換定義及特點小波 (wavelet)，即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限、平均值為

19、0的波形。它有兩個特點： 一是“小”，即在時域都具有緊支集或近似緊支集； 尺度二是正負交替的“波動性” ，也即直流分量為零。我們可以用小波和構 成傅立葉分析基礎的正弦波做一個比較，傅立葉分析所用的正弦波雜時間 上沒有限制，從負無窮到正無窮，但小波傾向于不規(guī)則也不對稱。傅立葉 分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，同樣小波分析是將 信號分解成一系列小波函數的疊加，而這些小波函數都是有一個母小波函 數經過平移與尺度伸縮得來的。我們知道，用不同規(guī)則的小波函數來逼近 尖銳變化的信號顯然要比光滑的正弦曲線要好，同樣，信號局部的特性用 小波函數來逼近顯然要比光滑的正弦函數來逼近要好。小波變換的定

20、義是把某一被稱為基本小波 (也叫母小波)的函數 (t) 做 位移 后，再在不同尺度 下與待分析的信號 x(t) 做內積：1 * tWTx(a, ) x(t) * ( )dta a ， a 0 (3.1) 等效的頻域表示是：WTx(a, ) a X ( ) *(a )eja d2 (3.2) 可以這樣理解上面表達式的意義：打個比喻我們用鏡頭觀察目標 x(t) (即待分析信號)， (t) 代表鏡頭所起的作用(例如濾波或卷積) 。 相當 于使鏡頭對于目標平行移動， a 的作用相當于鏡頭向目標推進或遠離。 由此 可見小波變換有以下特點： 有多分辨率， 也叫多尺度的特點， 可以有粗及細地逐步觀察信號。

21、可以看成用基本頻率特性為 ( )的帶通濾波器在不同尺度 a 下對 信號濾波。 由于傅立葉變換的尺度特性可知這組濾波器具有品質因數恒定， 即相對帶寬(帶寬與中心頻率之比) 恒定的特點。注意， a 越大相當頻率越 低。 適當的選擇基小波， 使 ( ) 在頻域上也比較集中， 就可以使在 WT 在時、頻域都具有表征信號局部特征的能力，因此有利于檢測信號的瞬態(tài) 或奇異點。正是由于上述特性， 有人把小波變換稱為分析信號的數學顯微鏡。 如上所述，小波分析的一個重要優(yōu)點就是能夠分析信號的局部特征。利 用小波分析可以檢測出許多其他分析方法忽略的信號特性，例如，信號的 趨勢，信號的高階不連續(xù)點、自相似特性?？傊?，

22、小波變換作為一種數學理論和方法在科學技術和工程界引起了 越來越多的關注和重視。連續(xù)小波變換 3.2.1連續(xù)小波的定義及其變換定義 3 . 1 設 (t) L2(R), 其傅立葉變換為 ( )滿足允許條件Admissible Condition ，完全重構條件或恒等分辨條件)(3.3)我們稱為一個基本小波或母小波( Mother Wavelet )。將母函數按此 方式經平移和伸縮后得到函數族：a ,b (t )tbaa,b R,a 0 (3.4)稱其為一個小波序列或連續(xù)小波。 其中 a 為伸縮因子， b 為平移因子我們首先來看看連續(xù)小波在相空間中的局部化格式。假定 是雙窗函數，記1a,ba002

23、( )2 d(3.5)由于正頻和負頻討論類似，只對正頻進行討論。注意到a,b ( )1aeib(a )(3.6)因此 a,b 的正頻窗口中心為 b, 0 (a 0)其時窗寬 a,b a ，頻a1窗寬 a,b 。由此可以看出， b 僅僅影響窗口在相平面時間軸上的 a位置，而 a 不僅僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。當 a 越小時，時寬越小，而頻寬越大，且 a,b 窗口中心向 增大方向移動，這 表明高頻時連續(xù)小波的時間分辨率較高，頻率分辨率較低；反之，當 a 越 大時，時寬越大，而頻寬越小， a,b 窗口中心向 減小方向移動，這表明 低頻時連續(xù)小波的時間分辨率較差，頻率分辨率較高。這

24、一特性正好符合(3. )f, a,b1/ 2 t b a Rf (t) dtR a (3.7)112Wt (a,b)t b dadbCaa (3.8)低頻信號變化緩慢而高頻信號變化迅速的特點，決定了小波變換在突變信 號處理上的特殊地位及功能。在這個意義上，小波變換被譽為數學顯微鏡。 對于任意函數 f(t) L2(R) 的連續(xù)小波變換為Wf (a,b)其重構公式(逆變換)為f(t)有時為了方便起見，小波變換也常用如下定義Wf (s,x)1 x t f* (x) 1s Rf(t) xst dt (3.9)其中1 s(x)s式 (3.7) 和式 (3.9) 定義形式有所不同，主要在于1 )伸縮系數不

25、同。2 )由卷積代替了相關。但事實上，它們之間是可以相互轉換的。 由 基本小波 ( ) 生成的小波 a,b(t) A2j f (x, y) 在小波變換中對被分析的信號 起著信號觀測窗的作用，所以 ( ) 還應滿足一般函數的約束條件(t)dt故 (t )是一個連續(xù)函數。這意味著，為了滿足允許條件，( ) 在原點必須等于零，即(0)(t)dt0 (3.11)小波 (t )只有在實軸 t 上取值有正有負才能保證上式的積分為零，所 以應具有振蕩性，也就是說是一個“波”。同時， (t) 的定義域是具有緊 支撐的，即在一個很小的區(qū)間之外， 函數值為零，應是一個迅速衰減的 “小” 波。小波因此得名。如果 (

26、t) 使下式t (t)dt 0 k 0, N 1 (3.12) 成立，則說 (t)為k 階消失距小波(Vanishing k moments)這時 ( ) 在 0 處是 k次可微的， 即 (k)(0) 0 。而時就是容許條件， 隨著k 的增加，小波 (t) 的振蕩性就越 來越強烈。 連續(xù)小波變換具有以下重要性質：1、線形性：一個信號的小波變換等于各個分量的小波變換之和 2、平移不變性：若 f (t)的小波變換為 Wf(a,b)，則 f (t )的小波變換為Wf (a,b )3、伸縮共變性：若 f(t)的小波變換為 Wf(a,b)，則 f (ct) 的小波變換為1 Wf ( ca, cb)c c

27、 0 (3.13)4、自相似性：對應不同尺度參數 a和不同平移參數 b 的連續(xù)小波變換之(3. )間是自相似的5、冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。 3.2.2 離散小波變換在實際運用中，特別是在計算機實現上，往往需要把上面提到的連續(xù) 小波及其變換離散化。 需要注意的是， 這一離散化是針對連續(xù)的尺度參數 a 和連續(xù)的平移參數 b 的，而不是針對時間變量 t 的。這一點和我們在離散傅 里葉變換中熟悉的時間離散化是不同的。在連續(xù)小波中，考慮函數：a,b(t)1/2 atba (3.14)這里，bR 。為方便起見， 在離散化中，總限制 a 只取正值，即a且 a 0 ， 是容許的，這樣相容性

28、條件就變成()(3.15)通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數 a 和平移參數 b的離散公式分別取作 a a0j ,b ka0j b0 ，這里 j Z ，擴展步長 a0 1是固定值。為了方便起見，總 假定 a0 1。所以對應的離散小波函數j,k(t) 即可寫作j,k (t) a0t ka0jb0a0ja0j/2 (a0 jt kb0)而離散化的小波變換系數則可表示為Cj,kf (t) *j,k(t)dt f, j,k (3.17)f (t) C C j,k j,k(t)其重構公式為 (3.18)C是一個與信號無關的常數。顯然， a0和b0決定了信號重構的精度， 即網格點應盡可能地密 (a0和b0 盡

29、可能小)，才能保證一定的重構精度。如果網格點越稀疏，使用的小波 函數 j,k(t) 和離散小波系數 Cj,k就越少，信號重構的精確度也就會降低。 3.3常用小波函數介紹 3.3.1 Haar 小波Haar小波是在小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函 數，同時也是最簡單的一個函數。 Haar 函數的定義為1 0 x 1/ 2H 1 1/ 2 x 1 (3.19) 0 其它3.3.2 Daubechies 小波系Daubechies函數是由世界著名的小波分析學者 Inrid Daubechies構造的 小波函數，提供了比 Haar小波更有效的分析和綜合。 除了 dbl(即 Haar 小波

30、)外，其它小波沒有明確的表達式。但轉換函數 h 的平方模是很明確的N1假設P(y)CkN 1kyk 其中， CkN 1 k為二項式的系數，則有k0m0( ) (cos2 ) N P(sin 2 ) (3.20) 221 2N 1其中：m0 ( ) 1hke ik2k0小波函數 和尺度函數 的有效支撐長度為 2N 1 ，小波函數 的消失矩階數為 N,且具有正交性。 常用的 Daubechies小波函數有 db4 和 db8 兩 種小波。 3.3.3 Morlet 小波Morlet 函數定義為x2 /2 (x) Ce x /2 cos5x (3.21)它的尺度函數不存在，且不具有正交性。 3.3.

31、4 Mexican Hat 小波Mexican Hat 函數為(x) 31/4(1 x2)e x /2 (3.22)它是 Gauss函數的二階導數，像墨西哥帽的截面，也稱為墨西哥函 數。它在時間域和頻率域都有很好的局部化，并且滿足 (x)dx 0 由于它的尺度函數不存在，所以不具有正交性。 3.3.5 Meyer 小波Meyer 小波的小波函數 和尺度函數 都是在頻率域中進行定義的， 是具有緊支集的正交小波。(3.23)其中，(a)為構造 Meyer 小波的輔助函數，具有(3.24)圖 3-1 ：幾種常見的小波函數圖形第四章 小波分析中的多尺度思想和邊緣檢測算子4.1 多尺度邊緣檢測思想圖像在

32、不同尺度上的小波變換都提供了一定的邊緣信息。 當小尺度時，圖像的邊緣細節(jié)信息較為豐富，邊緣定位精度較高，但易受到噪聲的干擾；大尺度時，圖像的邊緣穩(wěn)定，抗噪性好，但定位精度差。在實際應用中經 常存在著去除噪聲和準確定位之間的矛盾。多尺度邊緣檢測的基本思想就是沿梯度方向，分別用幾個不同尺度的 邊緣檢測算子在相應點上檢測模極大值的變換情況， 并通過對閾值的選取， 再在不同尺度上進行綜合得到最終邊緣圖像，可以較好的解決噪音和定位 精度之間的矛盾。在信號的時頻局部化分析中， 雖然 Fourier 變換能較好地刻畫信號的頻 率特性，但不能提供信號在時域上的信息， 為此，Gabor 首先提出加窗 Fouri

33、er 分析，但加窗不能敏感地反映信號的突變。小波理論與變換方法能彌補上 述不足，主要表現在高頻處的時間分辨率高，低頻處的頻率分辨率高，即 具有變焦特性，小波變換是一種非平穩(wěn)信號分析方法，它是通過一個基本 小波函數的不同尺度的平移和伸縮構成一族小波函數系表示來逼近一信 號。在小波多尺度分析中，引入了尺度函數 (t) ，其伸縮與平移系數j,k(t) 2( j/2) (t 2 jn) j,k Z 構成矢量空間 Vj j Z 的正交基， Vj j Z構成空間 L2(R)在分辨率 2j j Z上組成逼近空間。尺度函數具 有低通濾波作用，并滿足雙尺度方程(t)h( k) (2tkZk)(4.1)而與尺度函

34、數相對應的小波函數的平移與伸縮構成矢量空間 Vj 的正交補空間Wj ，小波函數具有高通濾波的作用，并滿足方程(t)g(k)kZ(2t k )(4.2)對任意一平方可積函數或信號 f(t) L2，在 2j尺度下的離散小波變換W2dj f 為 W2dj f 2( j/2) R f(t) (2 jt k)dtf (t),2 ( j/2) (2 j/2)t k)平滑信號為A2dj f 2( j/2) f (t) (2 jt k)dtf(t),2( j/2) (2 j/2)t k) j Z小波變換 W2dj f 與平滑分量 A2dj f 滿足遞推公式A2dj f 2 h(n 2k)A2dj f 2 g(

35、n 2k)W2dj fk Z k Z其中W2dj fg(k 2n)A2dj1f ；A2dj fh(k 2n)A2dj1 fkk信號 f (t )的多分辨率分解與重構可由上式完成， 推廣至二維圖像空間， 在圖像被分解成 1個輪廓圖像 A2dj f 和 3個細節(jié)圖像 W2dj f d 1,2,3 。其中A2dj ( f)(x,y), 2j (x 2 jn) 2j(y 2 jm) n,m Z代表了圖像的低頻成分，低頻圖像還可以進一步分解成 4 個子帶，設 分解層數為 K ，則總的子帶數為 3K 1W21j (f )f(x, y), 21j (x 2 jn,y 2 jm) n,m Z代表了圖像的垂直高

36、頻成分(水平邊界) ；W22j (f )f(x, y), 22j (x 2 jn,y 2 jm) n,m Z代表了圖像的水平高頻成分(垂直邊界) ；W23j (f )f(x, y), 23j (x 2 jn,y 2 jm) n,m Z代表了圖像的對角線上的高頻成分。Mallat S提出了離散小波變換的一種快速算法，即用低通濾波器H 和高通濾波器 G 對原始數據進行逐步分層分解。 其結果是產生一個低頻圖像， 1 個水平方向的細節(jié)圖像， 1 個垂直方向的細節(jié)圖像和 1 個對角方向的細節(jié)圖像。另外小波變換的多尺度分析 ( 或多分辨率分析 ) 是建立在函數概念上 的，其創(chuàng)建者 Mallat S 正是在

37、研究數字圖像處理的問題時建立此理論的 .隨 著尺度由大到小變化 , 在各尺度上可以由粗及精地觀察圖像的目標 .大尺度 時,觀察到的是圖像的基本特征 ;在小尺度的空間里 , 則可以看到目標的細 節(jié) . 把 二 維圖 像 信 號 f(x,y) L2(R2) 所 占 據 的總 頻 帶 定 義為 V0(2) (x,y)JVJ(1)(x) VJ(1) ( y) WJ(1)(x) VJ(1) ( y) VJ(1)(x) WJ(1) ( y) Wf(1)(x) W f(1)( y)j空間, 用理想的低通濾波器 h0和高通濾波器 h1在行、列方向將它分別分解成 低頻部分 V1(1)和高頻部分 W1(1) ,

38、每一方向的兩部分分別反映出該圖像信號在 剖分方向上的概貌和細節(jié) ;對于V1(1) ( x) V1(1) ( y)經第二級 ( a = 21) 分解后 又被剖分成低頻 V2(1) (x) V2(1)( y) 、水平方向的高頻 W2(1) (x ) V2(1)(y) 、垂直方 向的高頻 V2(1) (x) W2(1) ( y) 、以及對角線方向的高頻 W2(1)(x) W2(1)(y) L 在這 種空間剖分過程中 , V f(1) (i )(i x,y) 反映的是圖像信號在空間 Vf(2)1(i)(i x,y) 中沿 i 方向概貌的低頻子空間 ，Wf(1)(i)(i x,y) 反映的是圖像信號在空

39、間 Vf(2)1(i)(x,y)中沿 i方向細節(jié)的高頻子空間。從多分辨率分析可以看出 , 空間的每次剖分包含兩部分 :一部分是圖像 信號通過低通濾波后得到的低頻概貌 ;另一部分是通過帶通濾波 (小波變換 ) 得到的圖像高頻細節(jié) ;對于低頻概貌,重復以上過程 ,最終把圖像信號分解 成多個等級的高頻細節(jié)與最后一次低通濾波后的低頻概貌之和。在剖分過 程中, 這些子空間具有以下的特性 ：2 單調性: Vj(2) (x,y) Vj(2)1(x,y)逼近性: j Z V j(2) (x, y) 0, j ZVj(2) (x,y) L2(R2)伸縮規(guī)則性 : f (x,y) Vj(2) (x, y)f (x

40、2, 2y) Vj(2)1(x,y) j Z平行不變性 : f (x,y) V0(2) ( x, y)f (x k1,y k2) V0(2) (x,y) k1,k2 Z滿足的上述性質稱為多尺度分析即 :L2(R2)JVJ(1)(x) VJ(1) ( y)WJ(1)(x) VJ(1) ( y)VJ(1)(x) WJ(1) ( y)Wf(1)(x) W f(1)( y)j任意函數 f (x,y) V0(2)(x,y) 應用多尺度分析將其分解為細節(jié)部分或是某一方向上的細節(jié)部分和 f ( x, y) Vi(1) ( x) Vi (1) ( y) 的基本特征部分Vi (1) ( x) Vi(1)(y)

41、然后將 Vi(1)(x) Vi(1) ( y)進一步分解 , 可得到任意尺度下的 f ( x, y)的基本特征部分以及細節(jié)部分之和。 按照多尺度分析理論 , 描述函數f(x,y) 分解過程如圖所示圖 4-1常用的幾種邊緣檢測算子近年來受到廣泛關注的邊緣檢測方法是 Canny 算子以及 Mallat 邊緣檢 測算子。下面就簡單地作以介紹：1 Canny 邊緣檢測算子Canny 算子使用一階導數的極大值表示邊緣。 其基本思想是先將圖像使 用 Gauss 函數進行平滑，再由一階微分的極大值確定邊緣點。二階導數的 零交叉點不僅對應著一階導數的極大值也對應著一階導數的極小值，也就 是說，灰度變化劇烈的點

42、與灰度變化緩慢的點都對應著二階導數零交叉點 不僅對應著一階導數的極大值也對應著一階導數的極小值。在用高斯函數對圖像 f (x, y)進行濾波得到 f G (x,y) f(i, j) ，其中 為相應的尺度因子。計算其梯度矢量的模和方向：圖像邊緣點即為在方向 A 上使 M 取得局部極大值的點。2 Mallat 小波邊緣檢測算子基于 Canny邊緣檢測算子的主要思想， Mallat 在 1992 年提出了小波變 換極大值方法，并用于分析信號的奇異性和圖像的邊緣檢測，使其成為圖 像檢測的重要工具。在邊緣提取中，一般取小波函數為其中 ( x, y)為平滑函數，滿足( x, y)dxdy 1，且 (x,

43、y) 0。R2則相應的二進小波變換為小波變換中尺度參數 S 的確定及有效邊緣判定進行邊緣檢測時，濾波尺度參數 S 的選取取決于當前象素點所處的區(qū) 域是紋理區(qū)（平滑區(qū)）還是邊緣區(qū)，如果是紋理區(qū)（平滑區(qū)） , 則取大的濾 波尺度 S, 以抑制噪聲；如果是邊緣區(qū)，則取小的濾波尺度 S ，以準確定位 邊緣。（1）判斷紋理區(qū)（平滑區(qū)）和邊緣區(qū)12計算 S 1,S 2兩個尺度下的小波變換結果 W1和W2 ，對于坐標為 （i, j） 的象素點，在兩個尺度下的小波變換模值分別為 Wij1和Wij 2 ,若滿足 Wij1 Wij2,則判斷為脈沖噪聲 ,其中Tm是閾值， Tm的取值可以去掉一部分噪 聲和一些弱的細

44、節(jié)，其取值受圖像中噪聲強度的影響，若圖像噪聲強度較 弱，則Tm較??；否則Tm較大。假設圖像中噪聲分布為 N（0, 2） ，可取Tm 2 , 這樣可以去掉較多噪聲點。將整幅圖像中所有這樣的脈沖去掉，然后將剩下的 Wij1, 中的局部極值 點（候選邊緣點）進行線形連接，得到各候選邊緣點的鏈長 L ，將鏈長 L 大 于某一閾值 TL 的候選邊緣點定義為大輪廓的邊緣點，然后計算其它候選邊 緣點距離最近的大輪廓邊緣點的距離 D ，得到邊緣點要素中的 D 參量，候 選邊緣點的方向參數 可使用文獻中的方法來計算， 這樣，可以得到整幅圖 像中所有候選邊緣點的邊緣特征。（2）濾波尺度參數 S 的選取范圍邊緣準確

45、定位時，濾波尺度 S 應盡可能小，取最小尺度 S0 1。最大濾波尺度 S的選取應考慮抑噪能力和計算復雜度的折衷 , 選取能夠充分抑制 噪聲的所有尺度中最小者為 Smax。由于使用的小波函數是平滑函數 (x) 的 一階導數，檢測到的邊緣點是小波變換的局部極值點，在滿足下式時則判 定為局部極值點， Wf(X0,S) Wf(X0 x0,S) T其中 X 0是局部極值點， x0是 X 0的鄰域， T是閾值。理論上是不需要閾值的，但具體實現時，閾 值可以抑制噪聲的影響，同時閾值在一定范圍內時(不引起有效邊緣的丟 失)，決定著相應的最大濾波尺度 Smax ，閾值越大， Smax 越??；閾值越小， Smax

46、 越大。利用有效邊緣測度 調整濾波尺度 S 若判定當前象素點處在紋理區(qū) (平滑區(qū))，則應取最大的濾波尺度 Smax ； 若判定為邊緣區(qū)，則應取最小濾波尺度 S0 ；若不能確定時，選取尺度為 S0 1，這樣在一定程度上可以抑制噪聲， 同時又不會使邊緣定位誤差過大， 如果圖像噪聲的強度較大，這個尺度可以取 S0 2 ，以進一步抑制噪聲。第五章 利用小波變換進行邊緣檢測5.1 利用小波變換進行邊緣檢測的基本原理設 (x, y)上一適當光滑的二元函數，并滿足條件：( x, y)dxdy 1, 2lim2(x,y) 0 x y (5.1)引進記號：gs(x,y) 12 g x,ys s s (5.2)用

47、函數 s(x, y) 對 f (x,y)進行光滑得 f s(x, y) 。現在取二維小波基本函數 1(x,y), 2(x, y)如下：1(x,y)(x, y)x，2(x,y)(x,y)y作相應的小波變換如下：2 * 2Ws2 f (x,y) f * s2(x,y)1 * 1Ws1f(x,y) f* s1(x, y)由 1(x,y) ， 2(x, y)的定義，易得：1顯然，向量 Ws2f (x,y)(5.3) 的模取極大值的點對應函數 f s(x, y)(即按尺度s光滑后的圖像)的突變點。當 s很小時，用 s(x,y) 對 f (x, y)光滑化的 結果對 f(x, y)的突變部位的位置形態(tài)影響

48、不大，而當 s稍大時，則此光滑 過程會將 f (x, y) 的一些細小突變(有噪聲引起的不是圖像的真正突變)消 去，剩下尺寸較大的突變(圖像真正的突變) 。對 參 數 s 取 二 進 數 列 2j， 則 二 維 函 數 序 列jZWf W21jf(x,y),W22jf(x,y) j Z為 f ( x, y)的二維二進小波變換。在 2j 尺度下， f (x, y)的梯度的模正比于：M2j f(x,y) W21j f(x,y) W22jf(x,y)2 它與水平方向的夾角等于：A2j f(x,y) arg(W21j f(x,y) iW22j f(x,y)顯然，M 2j f (x, y)取極大值的點對

49、應 f* 2j (x, y)的突變點，A2j f(x,y)則 5、同時滿足以下三式，則 O 點為模極大值點：給出了梯度方向根據前面的分析可以知道，用小波系數的局部極大值點可刻畫出圖像 信號突變點的位置，即圖像邊緣的位置。因此，利用小波變換的極大值檢 測可以探測出圖像的邊緣點。利用小波變換進行邊緣提取的兩種方法根據上面所述的利用小波變換進行邊緣提取的基本原理，對于數字圖 像可設計出下述計算機實現方法：1、選擇 MRA 濾波器、邊界拓展方式、分解尺度 J 和閾值 Tdh d v2、小波變換，設原始圖像為 a0 ，變換得到 dj 、dj223、計算： Mj f (x,y) djh(x, y) dvj

50、(x,y)dvj (x, y)Aj f (x,y) arctg hj(5.4)djh(x,y)4、 確定與 O點相鄰的兩點 adj1(x1, y1 ) 、 adj 2(x2 , y2 ) 。如圖：Mff(O) Mf f (adj1) ；Mf f(O) Mff(adj2)；Mff(O) Mf f (adj1)或M f f (O) M f f (adj2) 。若Mff(O) T則令 g(O) 0，否則 g(O) 255。6、將 g(x, y) 顯示出來即為所求邊緣圖像。7 、重復步驟 2-5，直至分解尺度 J。對于上述方法還有以下簡化算法， 該算法把二維邊緣檢測問題轉化為 小波變換來處理，簡化了算

51、法的復雜度，其實現方法如下：1、選擇 MRA 濾波器、邊界拓展方式、分解尺度 J 和閾值 T。2、對圖像的每一行像素做一維小波變換，并取絕對值。3、對圖像的每一列像素做一維小波變換重復步驟 2。4、分別求取行列小波變換的模值極大值點，其余點置 0。5、若Mf(x,y) T，則令g(x,y) 0，否則 g(x,y) 255。6、將 g(x,y) 顯示出來即為所求邊緣圖像。7、重復步驟 2-5，直至分解尺度 J。按上述方法分別對 Lena圖進行邊緣檢測，使用 B樣條小波，得到下圖的邊緣圖像。圖 5-1: 用小波變換得到的圖像第六章 結 論這種多尺度不僅改變了以前的高斯算法計算量大的缺陷 , 而且以

52、較少 的運算便可得到理想的圖像處理結果 . 與傳統(tǒng)的高斯尺度空間算法相比較 得到如下結論 :與傳統(tǒng)的經典的邊緣檢測算法相比 , 此小波變換具有定位精確和計算量小的優(yōu)點 ; 而傳統(tǒng)的和經典的邊緣檢測算法不僅不夠精確 , 而計算量大 , 對噪聲的敏感程度也遠遠高于小波變換的算法 ;利用小波的多尺度空間信息 , 識別圖像邊緣特性的能力比高斯尺 度空間強 . 由于小波變換有多尺度的特點 , 可以利用多尺度特性 , 通過細 節(jié)和粗節(jié)的逼近 , 將圖像的空間信息較好的描述 , 與傳統(tǒng)的和經典的邊緣 檢測算法相比 , 在識別邊緣特征方面 , 強于它們 .在邊緣和噪聲的取舍中 , 由于二者均為高頻信號 , 很

53、難用頻帶劃 分 . 小波變換的方法 , 使得在大尺度下抑制噪聲 , 小尺度下 , 得到邊緣的 真實位置 ; 而傳統(tǒng)的和經典的邊緣檢測算法則在此問題上不能提供有效的 解決辦法 .致 謝：為期三個月左右的畢業(yè)設計結束了，在這次設計中使我對數字圖像處 理有了進一步的認識與研究，充實了自己的專業(yè)知識，并且在本次設計中 得到了桂志國老師的大力幫助，給我提出了寶貴的意見和修改建議。在此 衷心感謝桂志國老師對我的幫助，使我的畢業(yè)論文能夠順利完成。參 考 文 獻：1】 李勇，徐震等， MATLAB 輔助現代工程數字信號處理 ，西安電子科 技大學出版社 20022】 飛思科技產品研發(fā)中心， MATLAB 6.5

54、 輔助小波分析與應用， 電子工 業(yè)出版社 20033】 樓順天， 李博菡 ，基于 MATLAB 的系統(tǒng)分析與設計信號處理， 西安電子科技大學出版社 19984】 胡昌華，張軍波，夏軍，張偉，基于 MATLAB 的系統(tǒng)分析與設計 小波分析 19995】 胡昌華，張軍波，夏軍，張偉，基于 MATLAB 的系統(tǒng)分析與設計 小波分析，西安電子科技大學出版社 19996】 楊福生，小波變換的工程分析與應用，科學出版社2001譯文：一種改進的邊緣檢測與邊緣等級排列技術摘要本文說明了一種精簡的 Canny邊緣檢測的方法 , 隨后從邊界的角度排列 了他們相對距離上的邊緣 .這促進了計算機視覺的合適細節(jié)選擇 ,

55、 特別是對 有連接的物體 .第一個議題是對有錯誤的縫隙與偽邊緣中用已經存在的 Canny 算法只 選擇一條邊緣相互交叉的路徑 .說明了一種有效 , 實用的 Canny 技術處理過 程,這種算法能夠系統(tǒng)、 合適的連接邊緣，最后一個命題是邊緣的等級排列。1、動機與介紹 這項工作的原理與基礎理論需要一個可以連接的具有多種邊緣細 節(jié)的周界提取器。這需要產生一個圖像預處理的可以進行手動跟蹤系統(tǒng)的 平臺，為了實現這個結論，使用精確模板的幾何學技術來瀏覽圖像。他能 夠來為圖像重要部分的邊界提取服務，并能夠很好的分辨出周界上的邊緣 細節(jié)的區(qū)別于不同。第二部分簡明的說明了 Canny 邊緣檢測的算法。第三部分說

56、明了周界 提取出的邊緣排列與縫隙連接。第四部分提出了這種技術市怎樣為后期精 確的 3D 物體圖像的處理與重現，第五部分是總結與結論。2、Canny邊緣檢測 一種尋找物體邊界的標準后簡單方法是得到它的輪廓， 并且對單一的， 已知的可控制的背景輪廓能夠很容易的被計算出來。然而輪廓邊界的精確 位置隨著計算閾值的選擇，源方向與邊界附近的光線水平有關。一種更加精簡的方法 -幾乎可以克服所有的缺點 - 是用邊緣檢測，正如 我們處理低分辨率圖像時，精確的算法用來抵消粗糙的不足，另外一種優(yōu) 點是能夠計算出內部細節(jié)而不是一個單點，這對多關節(jié)的物體追蹤是十分 重要的。在計算機視覺基礎上的邊緣檢測，被定義用來計算圖

57、像的每一個像素 值，并按比例計算兩種不同邊界值的像素Canny 邊緣檢測算法，被用于 openCV，選擇它是因為他的快速運算結 果（與重要的邊緣檢測技術相比較） ，與它的高效率實行技術。如何工作的第一長圖是被高斯回旋所平滑的， 然后用 2D的衍生操作器對平滑圖象 的亮光部分檢測。邊緣表示在圖像的梯度極大值上，算子跟蹤檢測那些梯 度變化的點，并將不變化的值賦 0，所以輸出即為一條線。兩種閾值限制了這種算法， T1與 T2T2，計算時只從值大于 T2 的點開 始。然后想兩個方向計算直到值小于 T1。這種滯后現象使得噪聲不會干擾 多邊緣的細節(jié)。Y- 邊緣連接點效果基于 Canny 操作器的一個問題是

58、：“Y-連接” ：這種情況發(fā)生在梯度 圖象的 3 個邊緣或者更多的邊緣相交時。當一個邊緣被另外一個物體所融 合或交合時，這種算法會把兩個邊緣認作為同一條線，并且第三條極大值 邊緣作為一條直線來接近他，但是并沒有連接上另外兩個邊緣。圖 1： Canny 檢測算子和它的“ Y-連接”效果左：影像圖像，右： Canny 邊緣檢測。注意到兩條垂直的顯示怎么樣接近 的但是并沒有與中心的水平線相接，產生了水平的兩個偽邊緣。邊緣等級邊緣等級與下面的法則有關。0 周界上的邊緣1 并不是 0 等級的并且截止在周界上的邊緣。N 不是小于 N 等級的，并且截止在 N-1 的邊緣后來平臺的處理含有圖像的各種邊緣等級構

59、造起來的框架， 有益于 選擇合適的邊緣細節(jié)。周界提取從上面的邊緣檢測發(fā)現 , 周長被提取出來。雖然比較瑣碎，可能會（通 常都會）在物體重要部分上有偽造的噪聲，而且周長大體上都不再連續(xù)。首先圖像從內部框架的外邊緣進行掃描， 由于任何有界圖形的像素將會從外部接近（盡管圖形沒有連接）（實際上，有一種間接的可能性，即這 種掃描可能先連接內部物體的重要部分，但事實上并沒有干擾到運算的成 功。最壞打算它只是對低等級的邊緣減慢了檢測進程。然后，檢測邊界的基礎圖形， 當考慮到其他的邊界像素時對圖形的外界 一定要注意，這個可以用下面的實現：1、 當我們對每一個像素沿著周長追蹤時，要保持“最后外部 像素”的觀點。

60、2、從與痕跡的方向一致的圖形最后的最外面的像素開始旋轉。換句話說，每一次我們找出另外的一個周長像素 , 我們記錄最后的非周 長像素。（在外部） 為了要找下一個周長像素， 我們替換了立即相鄰像素 （從 最后外部像素開始，與旋轉的方向相同）。我們假設物體重要的外部邊緣在處理的過程中已經被移動或者忽視。 盡 管它可能與其他邊緣相接，也可以用測量長度等技術來實現。這不在是一 個沒有原形的問題?？p隙連接現在如果我們試著向前追蹤我們已經發(fā)現的形狀外部， 我們會發(fā)現通常 痕跡只出現在物體周界周圍的一部分，因為 Canny 邊緣檢測留下了縫隙。圖 3: 維持“由從它的中心到它的最后外部的圖素中心的一個直線部分