《量子力學》試卷

1、一、判斷題(共 10 分，每題 2 分)1在量子力學中，粒子在某一點的能量等于動能與勢能之和。( )2若，則 的本征函數(shù)必定也是 的本征函數(shù)。 ( )3力學量算符， ，則 和 必相互對易。 ( )4若力學量算符 不顯含時間，則力學量 必為運動恒量。 ( ) 5.在任意態(tài)中，力學量x和 必定滿足下述關系式。()得分評卷人二、填充題(共 10 分，每題 2 分)1 .德布羅意關系式 和。2.稱等固有性質的微觀粒子為全同粒子。2質量，電荷，自旋；完全相同3下列算符:5已知體系的哈密頓算符為5已知體系的哈密頓算符為列算符x；x；y；：；與對易的有得分評卷人三、說明題（共 8分）試比較粒子和波這兩個概念

2、在經(jīng)典物理和量子力學中的含義。得分評卷人四、證明題（共 24 分，每題8 分）1設 、 、 、是厄密算符 的本征函數(shù)，它們所屬的本征值 、，試證 是算符都不相等，試證當 時，有 。 2已知 ，試證： 。 3設 為算符 屬于本征值 的本征函數(shù)，且 屬于本征值 的本征函數(shù)。，試證 是算符得分評卷人五、計算題（共 48 分，每題 12 分）1一粒子在一維勢場中運動，其中，求束縛態(tài)能級所滿足的方程。2設氫原子處于狀態(tài)，求氫原子能量、角動量平方及角動量z分量的可能取值及其相應的幾率，并求這些力學量的平均值。，如果電子之間3.轉動慣量為I,電矩為 的平面轉子處在均勻電場 中，電場是在轉子運動的平面上， 用

3、微擾法求轉子能量至二級修正。，如果電子之間4設兩個電子在彈性輳力場中運動，每個電子的勢能是 的庫侖能和 相比可以忽略，求這兩個電子組成的體系波函數(shù)。量子力學試卷答案一一、判斷題 每小題2分，共10分。（在每小題后的括號內對的打“V”，錯的打“X”）1.X2.X3.X4.X5.V二、填空題 每小題 2 分，共 10 分1. E = hv =力,九2質量，電荷，自旋；完全相同3（1），（3），（5）40 E u425（3），（4），（5）三、說明題 每小題 8 分，共 8分粒子：共同點：顆粒性，即是具有一定質量、電荷等屬性的客體 不同點：經(jīng)典粒子遵循經(jīng)典決定論，沿確定軌道運動微觀粒子不遵循經(jīng)典決定

4、論，無確定軌道運動；（ 4 分）波：共同點：遵循波動規(guī)律，具有相干迭加性 不同點：經(jīng)典波是與某個客觀存在的物理量的周期性變化在空間中的傳播相聯(lián)系的 量子力學中的物質波不存在這樣的物理量，它只是一種幾率波。 （4 分）四、證明題 每小題 8 分，共 24 分1=九 =九 kk k，ll l，J*F dT = X J * dTkllk l，（ 3 分）.J * F dT = J (F )* dT = X J * dTkIklkk l,（ 3 分）.當 X 工 X 時 J * dT = 0 當 ik 時，k l。（ 2 分）2Lj2, L = Lj2, L 土 iL 土xy=L2, L 土 iL2,

5、 L xy3= 0。4 分）kB = ABB = (1 + BA)鉤=(九 +1)鉤八八.是k屬于本征值九+1的本征函數(shù)。6 分）2 分）五、計算題 每小題12 分，共 48 分 1是束縛態(tài)，0 E U ,1）分區(qū)列方程力2 d 2屮4 + U 屮2 卩 dx 20 I力2 d 2屮亠=E屮2 卩 dx 2ii力2 d 2屮曲+ u屮2 卩 dx 20 IIIIIId即皎屮=0九2【I ,圧+dx2d 2屮dx2-空(u - E)屮力20=0III4 分）2）求通解屮I=A e ax 屮I=A e ax +A e-ax，1 2 ，屮II二 B s i nk(x + 5)，屮III二 C e a

6、x + C e -ax12（3）利用波函數(shù)的標準條件有限性，汕I，汕I二 A ex1，4 分）二 C e -O4 分）2連續(xù)性x=-aA e 一助 =B sin(-ka + 6)(1)屮nlm其中e 22n 2 a ，0，2 分)題中給定的屮(r,0,9)已按nlm展開了，且有C211 = 1，C 顯然C211卩+ C21-1 2 = 4，即屮(r,0 ,)末歸一化。C 2 = C 2 =經(jīng)歸一化 2114,21 一14（1 分）當氫原子處于狀態(tài)屮（r，0，9）時，能量的可能取值為E =28 a ,o,相應幾率為1,平均值為E E 28a ,o,（ 3 分）角動量平方的可能取值為L2 2 方

7、2 ,相應幾率為1，平均值為L2 2h2,（ 3 分）角動量 z 分量的可能取值為Lz力-力,13相應幾率為4,4 ,L13=X力一 X力平均值為z44一 2O（ 3 分）3 在均勻電場中，平面轉子體系的哈密頓算符為LH = a De cos 9 H + H21 0 ,八 L八H z八其中Hf = De cos9 ,0 21 , H0的本征值和本征函數(shù)分別為E （0） m屮E （0） m屮（0）meim9,m 0,1,3 分）H不顯含時間，屬于定態(tài)微擾,H，mn（o）* （-De cos 9 ）v（o）d9 =-J2m n 2 0（o）* （ei9 + e i9 ）V（o）d9mnDe20（o

8、）*屮（o）d9 +mn+1o（o）*屮（o）mn 1DDDm,n+1m,n-10,由上式可見，對于能級Em的2個簡并態(tài)屮mo）和屮-m,曰的所有矩陣元均為H H H = 0 m,m-m,-mm,-m，本題可按非簡并態(tài)微擾論處理，精確到二級修正的能量值為E = E(o)+ Hm mmH 2mnE(0) - E(0)mnD28 2D 28 2m 2 方 24+ +421m2 方 2(m 一 1)2 方 2m2 方 2(m +1)2 方 221 21 2121m 2力 2D 2 21+21(4m 2 1)力 24這個一個兩電子體系，屬于費米子系統(tǒng)。 在不考慮電子之間庫侖相互作用的情況下屮(r, r

9、s12（r）屮（r）+屮（r）屮1 n 2 n 1 m(IbA(r1,r2)=m(r)b (r)-b1 n 2 n(r )b (r )1 m 2其中b m（r）、b n （r）分別為諧振子第m、n個能量本征函數(shù)。（1）當m = n時，由這兩電子組成的體系波函數(shù)為A =b m（W m （r2）兀A （1z（2）當m豐n時，由這兩電子組成的體系波函數(shù)為=b (r,r)X (s ,s )A s 1 2 A 1z2 zX d)(s , s )s1z 2 z=b (r,r )i %(s ,s )AA 1 2 s1z2zX (s , s )s1z2z單重態(tài)三重態(tài)分）即（2 分）（3 分）（2 分）s2z）；（3 分）分）其中X(1) = X (s )X (s)s11z 12 z22