線性代數(shù)-總復(fù)習(xí)課件

1、線 性 代 數(shù) 復(fù) 習(xí) 課 一、內(nèi) 容 提 要 二、典 型 例 題一、內(nèi) 容 提 要 行列式的性質(zhì)性質(zhì)2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面.性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)4 對換兩行, 行列式值反號. 性質(zhì)3 若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和, 則該行拆開, 原行列式可以表為相應(yīng)的兩個行列式之和.性質(zhì)6 把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對應(yīng)的元素上去, 行列式的值不變.性質(zhì)5 若有兩行元素對應(yīng)成比例, 則行列式值為零. 設(shè) A, B 為 n 階矩陣, 則有 | AB | = | A | | B | . 一、內(nèi) 容 提 要 Laplace 按行列展開定

2、理 行列式等于某一行(列)的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和. 即 設(shè) A = (aij)為 n 階方陣, 則有一、內(nèi) 容 提 要 伴隨陣 設(shè) A 為 n 階方陣, Aij 為(i, j)元的代數(shù)余子式, 記稱 A 為方陣 A 的轉(zhuǎn)置伴隨陣.伴隨陣的性質(zhì) 設(shè) A 為 n 階方陣 A 的伴隨陣, 則有逆矩陣的性質(zhì) 設(shè) A, B 為 n 階可逆矩陣, 則有一、內(nèi) 容 提 要 分塊對角陣的性質(zhì)(3) A 可逆的充分必要條件是 Ai(i=1,s)都可逆, 且有一、內(nèi) 容 提 要 設(shè) Ai(i=1,s)都是方陣, 設(shè) A, B 都是方陣, 則有行最簡形矩陣 行階梯形矩陣 一、內(nèi) 容 提 要 矩陣的秩 一

3、、內(nèi) 容 提 要 如果矩陣 A 的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 那么稱 U 中單位陣的階數(shù) r 為矩陣 A 的秩, 記為 R(A). 性質(zhì)1 等價矩陣有相等的秩.性質(zhì)2 性質(zhì)4 性質(zhì)3 n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是 R(A) = n. 行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù).性質(zhì)5 矩陣的秩 一、內(nèi) 容 提 要 如果矩陣 A 的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 那么稱 F 中單位陣的階數(shù) r 為矩陣 A 的秩, 記為 R(A). 性質(zhì)7 性質(zhì)8 性質(zhì)9 若 則 性質(zhì)6 逆矩陣的初等變換求法矩陣初等變換的應(yīng)用 線性方程組的最簡形解法 將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡形, 寫出同解方程組, 解便一目了然. 矩陣方程 AX = B,

4、XA = B 的初等變換解法一、內(nèi) 容 提 要 (1) 當(dāng) R(A, b)R(A) 時, 方程組無解;(2) 當(dāng) R(A, b)=R(A) = n 時, 方程組有唯一解; (3) 當(dāng) R(A, b)=R(A) n 時, 方程組有無窮多解. 設(shè) n 元線性方程組 Ax = b. n 元方程組 Ax = 0 有非零解的充要條件是 R(A) n. AX = B 有解的充要條件是 R(A) = R(A, B).線性方程組的可解性定理 當(dāng) A為方陣時, Ax = 0 有非零解的充要條件是 | A| = 0. 一、內(nèi) 容 提 要 齊次通解結(jié)構(gòu)定理 設(shè) n 元齊次線性方程組 Ax = 0 的一個基礎(chǔ)解系為x

5、1, xn-r , 其中 r = R( A), 則 Ax = 0 的通解為(k1, kn-r 為任意數(shù)) 非齊次通解結(jié)構(gòu)定理(k1, kn-r 為任意數(shù)) 設(shè) x = h 是 n 元非齊次線性方程組 Ax = b 的一個解 (稱特解), x1, xn-r 是導(dǎo)出組 Ax = 0 的一個基礎(chǔ)解系, 則 Ax = b 的通解為一、內(nèi) 容 提 要 線性相關(guān)性 設(shè)有向量組 如果存在一組不全為 0 的數(shù) 使那么, 稱 線性相關(guān). 否則, 稱 線性無關(guān). 基本性質(zhì) 一、內(nèi) 容 提 要 (1) 若向量 b 可由向量組 a1, am 線性表示, 則向量組b, a1, am 線性相關(guān).(2) 若部分組線性相關(guān),

6、 則整個向量組也線性相關(guān).(3) 若向量組線性無關(guān), 則任一部分組也線性無關(guān).定理 線性相關(guān)性 設(shè)有向量組 如果存在一組不全為 0 的數(shù) 使那么, 稱 線性相關(guān). 否則, 稱 線性無關(guān). 一、內(nèi) 容 提 要 向量組 線性無關(guān)的充分必要條件是 a1, am 線性無關(guān), 也即向量方程只有零解. 化矩陣 A 為行最簡形 A0, 通過觀察 A0, 便知 A 的列向量組的秩和一個特定的最大無關(guān)組, 以及 A 的其余列向量在該最大無關(guān)組下的線性表示.一、內(nèi) 容 提 要 秩與最大無關(guān)組的一個算法 例 設(shè) 的秩為3,一個最大無關(guān)組為則且有 初等行變換保持矩陣的列向量組的線性關(guān)系.向量組的線性表示 若向量組 B

7、 中的任一向量都可由向量組 A 中的向量線性表示, 就稱向量組 B 可由向量組 A 線性表示.一、內(nèi) 容 提 要 向量組 B 可由向量組 A 線性表示的充要條件是 若向量組 B 可由向量組 A 線性表示, 則 R(B) R(A).等價向量組 可以相互線性表示的兩個向量組, 稱等價向量組. 向量組 A 與向量組 B 等價的充分必要條件是 向量空間 設(shè) Rn 的非空集 V 滿足條件：那么, 稱 V 為一個向量空間. 當(dāng)非空集 V 滿足條件(1),(2)時, 稱 V 對線性運算封閉. (1) 若 aV, bV, 則 a +bV;(2) 若 aV, kR, 則 kaV, 齊次線性方程組 Ax = 0

8、的解集 S 是一個向量空間. 子空間 設(shè)有向量空間 V1 及 V2, 若 V1V2, 就稱 V1 是 V2 的子空間. 當(dāng) V1V2 時, 稱 V1 是 V2 的真子空間.一、內(nèi) 容 提 要 向量空間的基和維數(shù) 稱向量空間 V 的秩為 V 的維數(shù), 記為 dim V. 稱向量空間 V 的任一最大無關(guān)組為 V 的一個基.基的性質(zhì) 設(shè) V 為一個向量空間, 則 V 中向量組 a1, ar 為V 的一個基的充分必要條件是(2) V 中任一向量可由 a1, ar 線性表示.(1) a1, ar 線性無關(guān); n 元齊次線性方程組 Ax = 0 的基礎(chǔ)解系為解空間S 的一個基, dim S = n-R(A

9、).一、內(nèi) 容 提 要 生成空間 設(shè)有向量組 A: a1, am, 記稱 L(A) 為由向量組 A 生成的向量空間, 簡稱生成空間. 稱 a1, am 為生成元.向量組線性表示的等價說法 設(shè)有向量組 A: a1, as, B: b1, bt . 則有 (1) L(A) 為 L(B) 的子空間的充分必要條件是 A 組可由B 組線性表示；(2) L(A) = L(B) 的充分必要條件是 A 組與 B 組等價.一、內(nèi) 容 提 要 向量在基下的坐標(biāo) 設(shè) V 為一個 r 維向量空間, 則 V 中任意 r 個線性無關(guān)向量 a1, ar 為 V 的一個基, 且有V 中任一向量 a 可唯一地表示為稱 (k1,

10、 kr ) 為 a 在基 a1, ar 下的坐標(biāo). 一、內(nèi) 容 提 要 向量的內(nèi)積一、內(nèi) 容 提 要 設(shè)有 n 維向量 a = (a1, , an), b = (b1, , bn),稱 a, b 為向量 a 與 b 的內(nèi)積.記向量的范數(shù) 稱為向量 a 的范數(shù)(或長度), 記為 | a |. 若 a, b = 0, 則稱向量 a 與 b 正交.向量的夾角 非零向量 a 與 b 的夾角為規(guī)范正交基一、內(nèi) 容 提 要 r 維向量空間 V 中, 任一正交單位向量組 e1, er ,稱為 V 的一個規(guī)范正交基.正交矩陣 如果 ATA = E(A -1 = AT ), 則稱方陣 A為正交矩陣.1 定義:2

11、 運算性質(zhì) 正交矩陣之積為正交陣正交矩陣的轉(zhuǎn)置為正交陣 正交矩陣的伴隨矩陣為正交矩陣 正交矩陣A的行列式 或1方陣的特征值一、內(nèi) 容 提 要 稱 n 次多項式 |lE - A| 為 A 的特征多項式. 稱 n 次方程 |lE - A|=0 的根為方陣 A 的特征值. 設(shè) l1, ln 為 A 的所有特征值, 則有特征值的性質(zhì)(2) (1) A 的跡, 記為tr(A). 設(shè) f 是一個多項式, 若 l 為方陣 A 的一個特征值, 則 f (l) 為 f (A) 的一個特征值.方陣的特征向量一、內(nèi) 容 提 要 設(shè) l 為方陣 A 的特征值, 稱方程組 (lE - A) x = 0的任一非零解為方陣

12、 A 對應(yīng)于特征值 l 的特征向量. 對應(yīng)于 n 階矩陣 A 的特征值 l 有 n-R(lE-A) 個線性無關(guān)的特征向量, 定理 設(shè) l1, lm 是方陣 A 的 m 個不相同的特征值, A1, Am 分別為屬于 l1,lm 的線性無關(guān)特征向量組, 則由 A1, Am 的并集構(gòu)成的向量組線性無關(guān).稱屬于 l 的線性無關(guān)特征向量組.定理 設(shè) l1, lm 是方陣 A 的 m 個不相同的特征值, p1, , pm 為對應(yīng)的特征向量, 則 p1, pm 線性無關(guān).相似矩陣一、內(nèi) 容 提 要 設(shè) A, B 為 n 階方陣, 若存在可逆矩陣 P, 使那么, 稱 B 是 A 的相似矩陣. 稱 P 為相似變

13、換矩陣. 矩陣的相似具有反身性、對稱性和傳遞性.定理 相似矩陣有相同的特征多項式(特征值).推論 若對角陣 L 是 A 的相似矩陣, 則 L 以 A 的特征值為對角元素.定理一、內(nèi) 容 提 要 n 階方陣 A 與對角陣相似的充分必要條件是 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量.定理 設(shè) l 是 n 階矩陣 A 的 k 重特征值, 則定理 方陣 A 可相似對角化的充分必要條件是 A的每一特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù). 稱 k 為特征值 l 的代數(shù)重數(shù). 稱 n - R(lE - A) 為特征值 l 的幾何重數(shù).(1) 求出 n 階方陣 A 的所有特征值 li .一、內(nèi) 容 提 要 (2) 求 (li

14、 E-A) x = 0 的一個基礎(chǔ)解系.(3) 將求出的 n 個特征向量排成矩陣則可對角化矩陣的多項式計算 當(dāng) P -1AP = L = diag(l1, ln) 時,方陣相似對角化的算法1. 二次型及其矩陣表示 定義6.1 含有 個變量 的二次齊次函數(shù) 稱為 元二次型，用矩陣表示為 其中向量 ，矩陣 稱為對稱矩陣 的二次型，并稱 的秩為該二次型的秩 .所以 是對稱矩陣， 稱為二次型 的矩陣， 一、內(nèi) 容 提 要 稱為 的標(biāo)準(zhǔn)形或法式.稱這時的標(biāo)準(zhǔn)形為 的規(guī)范形，即特別地，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù) 只取1，-1或0時， 只含平方項的二次型 2. 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，但其規(guī)范形唯一（在

15、實變換下 ）.標(biāo)準(zhǔn)形中所含非零平方項的項數(shù)等于二次型的秩. 一、內(nèi) 容 提 要 3.合同變換 對于 階方陣 ，如果存在可逆方陣 ，使 則稱 為合同矩陣或稱 與 合同，變換 稱為合同變換，矩陣 稱為合同變換矩陣. 對任意可逆方陣 ，若 對稱，則 也對稱且 用可逆變換把實二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形等同于用合同變換把實對稱矩陣化為對角矩陣.實對稱矩陣可以用正交的相似變換對角化，又正交的相似變換也是合同變換.一、內(nèi) 容 提 要 4.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法和步驟 定理 任給實二次型 總有正交變換 使 化為標(biāo)準(zhǔn)形 其中 是 的矩陣 的特征值. （1）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 一、內(nèi) 容 提 要 步驟:第一步 寫出二

16、次型 所對應(yīng)的實對稱矩陣 ；第二步 求出 的所有特征值；第三步 對 的每一特征值求出對應(yīng)的特征向量，把對應(yīng)于特征單根的特征向量規(guī)范化，對應(yīng)于特征重根的特征向量正交化、規(guī)范化；第四步 以全體正交規(guī)范化向量為列向量構(gòu)成正交矩陣 ，得正交變換 ；第五步 寫出標(biāo)準(zhǔn)形 ，其中 為 的特征值，其順序應(yīng)和 中的列特征向量順序相對應(yīng). 以上步驟與把實對稱矩陣化為對角陣的步驟基本一致.一、內(nèi) 容 提 要 (2) 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 這種方法是將二次型的各項歸并成完全平方項，即不含交叉項，再對這些平方項引入新變量以達(dá)到二次型成為關(guān)于新變量的平方項之和.具體做法是：如果二次型中含有某 的平方項，則先把含 的各

17、項集中，按 配成完全平方，然后按此法對其它變量配方，直至都配成平方項；如果二次型中不含平方項，但有某個 ，則先作一個可逆的線性變換： 使二次型出現(xiàn)平方項，再按上面方法配方. 一、內(nèi) 容 提 要 5. 慣性定理 一個二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的，但其所含非零項的項數(shù)是確定的（即二次型的秩）.不僅如此，在限定變換為實變換時，標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項的個數(shù)是不變的（從而負(fù)平方項的個數(shù)也是不變的）.一、內(nèi) 容 提 要 6. 正定二次型 設(shè)有實二次型 ，如果對任何 都 （ ），則稱 為正定二次型，并稱對稱矩陣 是正定的，記作 ；如果對任何 都有 則稱 為負(fù)定二次型，并稱對稱矩陣 是負(fù)定的，記作 . 判斷實二次型正定

18、的充要條件（1) 實二次型標(biāo)準(zhǔn)形中的個系數(shù)全為正；（2) 實二次型的矩陣的特征值全為正；（3) 實二次型的矩陣的各階順序主子式全大于零.至于 的負(fù)定性可通過 的正定性來判斷.一、內(nèi) 容 提 要 二、典 型 例 題 例1 設(shè) a1, a2, a3, b 均為3維列向量, 矩陣A = (a1, a2, a3), 解B = (3a1, 2a2, b), 且已知行列式 det A = 2, det B = 6.計算 det (3A-B) 和 det (3A+B).解例2 設(shè) 計算知識點例3解例4 計算矩陣 A2n 的行列式, 其中解例5 設(shè)且 A2 + AB - A = E, 求 A9 和 B.解證明

19、 例6 設(shè) A 滿足方程 A2 +2A-E = O, 證明 A 與 A+3E都可逆, 并求它們的逆陣. 由 A2 +2A-E = O, 得因此 A 可逆, 且有因此 A+3E 可逆, 且有且 AB = B+A, 求 B. 已知 解例7 由 AB = B+A, 得 例8 設(shè) 求 An.解則有 令 例9設(shè)A為3階方陣 , ,求解例10求向量一個最大無關(guān)組,并把其余向量用該最大無關(guān)組表出.矩陣的秩=?線性無關(guān)嗎?是最大無關(guān)組嗎?解是右邊的最大無關(guān)組是左邊的最大無關(guān)組總結(jié)矩陣的行初等變換不改變矩陣的列向量組的線性關(guān)系。證1 例11 設(shè) mn 矩陣 A 的秩 R(A) = n, 證明 于是存在 m 階可

20、逆矩陣 P, 使 A = PF.因此因 R(A) = n,可知 A 的等價標(biāo)準(zhǔn)形為(也是行最簡形)知識點證2 若 x 滿足 Bx = 0,則有 A(Bx) = 0,即 (AB)x = 0;若 x 滿足 (AB)x = 0,則有 A(Bx) = 0,因為 R(A) = n, 綜上可知 (AB)x = 0 與 Bx = 0 同解, 所以 Bx = 0.設(shè)解空間為 S, 則有 n 元方程組 Ax = 0 有非零解的充要條件是 R(A) r, 則向量組 b1, bs 線性相關(guān). 設(shè)向量 b1, , bs 可由向量組 a1, ar 線性表示, 定理 設(shè)向量組 線性無關(guān), 若 線性相關(guān),則向量 b 可由

21、線性表示.而 x1, , xn-r 線性無關(guān),所以 h, h+x1, , h+xn-r 線性無關(guān). 因 x1, , xn-r 的線性組合也是 Ax = 0 的解, h 不可由 x1, , xn-r 線性表示, 證2 由定理知h, x1, xn-r 線性無關(guān),從而易知 h, h+x1, , h+xn-r 與 h, x1, xn-r 等價, 因此所以例17 設(shè)x1, , xn-r 是 Ax = 0 的一個基礎(chǔ)解系, 而h不是 Ax = 0 的解, 證明 h, h+x1, , h+xn-r 線性無關(guān). 知識點例18求一個齊次方程組, 使它的基礎(chǔ)解系為記之為 AB=O ,這相當(dāng)于要解矩陣方程, 習(xí)慣把

22、未知的 A 放在右邊, 轉(zhuǎn)置,只需解然后再把這些解拼成 的列( A 的行)即可. 解 得基礎(chǔ)解系設(shè)所求的齊次方程組為 , 則取即可.解例19設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知 是它的三個解向量, 且求該方程組的通解.解取 , 則它就是解,從而也是基礎(chǔ)解系.基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù) = 4 3 = 1故非齊次方程組的通解為解 例20 設(shè)(1) 求(2) 說明 a1, a2 和 a3, a4 為V 的兩個基, 并求從基 a1, a2 到基 a3, a4 的過渡矩陣.易知故a1,a2 和a3,a4都是V 的基.從基 a1, a2 到基 a3, a4 的過渡矩陣為知識點例 21 已知 的兩組基

23、為： 及 其中：（1）求向量 在基 下的坐標(biāo)； （2）求從 到 的過渡矩陣； （3）求向量 在基 下的坐標(biāo)。解：（1）設(shè)所求坐標(biāo)為 ，即有： 方程組整理得：對其增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：即方程組得解為：即于是：（2）設(shè)所求過渡矩陣為 即有：（2）設(shè) ，解方程組 （1）因為 所以（3）設(shè)向量 則 本題如果直接利用公式 來求 ，計算 時計算量較大，為了避免繁瑣的運算，可采用如下方法之一求解：即可 由例6知，只要知道了舊基底到新基底的過渡變換矩陣，就易計算出向量在新基底下的坐標(biāo)。例22 設(shè) 是 的一組基，而（1）證明： 也是 的一組基，并寫出由 到 的過渡矩陣；（2）設(shè) 在 下的坐標(biāo)為 求 在 下的坐

24、標(biāo)。解：1）設(shè)矩陣 對矩陣B進(jìn)行初等列變換：后一列減去前一列得：所以 也是 的一組基。而或由定理知 也是 的一組基。故從 到 的過渡矩陣為：2）則 在基 下的坐標(biāo)為：解方陣 A 的特征多項式為例23 求方陣的特征值和特征向量.方陣 A 的特征值為解例23 求方陣的特征值和特征向量.當(dāng) l1 = -3 時, 解方程組 由 得基礎(chǔ)解系方陣 A 對應(yīng)于 l1 = -3 的全部特征向量為解例23 求方陣的特征值和特征向量.當(dāng) l2 = l3 = l4 = 1 時, 解方程組 由 得基礎(chǔ)解系方陣 A 對應(yīng)于 l2 = l3 = l4 = 1 的全部特征向量為( k2, k3, k4 不同時為零)解例24 設(shè)矩陣 A 與 B 相似, 其中(1) 因 A 與對角陣 B 相似,知 A 的特征值為 2, 2, b.由特征值的性質(zhì)得求得知識點(1) 求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣 P, 使 P -1AP = B. (3) 求 An.解例24 設(shè)矩陣 A 與 B 相似, 其中(1) 求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣 P, 使 P -1AP = B. (3) 求 An.(2) 當(dāng) l = 2 時, 解方程組 (2E-A)x = 0, 得基礎(chǔ)解系當(dāng) l = 6 時, 解方程組 (6E-A)x = 0, 得基礎(chǔ)解系取可逆矩