材料力學(xué)05 彎曲應(yīng)力

1、第五章 彎曲應(yīng)力材料力學(xué)1第五章 彎曲應(yīng)力 51 引言 52 純彎曲時的正應(yīng)力53 橫力彎曲時的正應(yīng)力54 彎曲切應(yīng)力55 提高彎曲強度的措施25 引言彎曲應(yīng)力1、純彎曲與橫力彎曲的概念（1）純彎曲即梁發(fā)生彎曲變形時橫截面上只有彎矩，而無剪力的情況。（此時橫截面上只有正應(yīng)力，而無切應(yīng)力。）（2）橫力彎曲即梁發(fā)生彎曲變形時橫截面上既有彎矩，又有剪力的情況。（此時橫截面上既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力。）3彎曲應(yīng)力CD段為純彎曲AC段和BD段為橫力彎曲FSMxx4彎曲應(yīng)力AB段為純彎曲PPaaABCDFSxPPMxPaAC段和BD段為橫力彎曲5彎曲應(yīng)力2、彎曲變形的平面假設(shè)6彎曲應(yīng)力各縱向線由直線變成弧線

2、；各橫向線仍保持為直線，發(fā)生相對轉(zhuǎn)動；各橫向線仍然垂直于變形后的弧線。（1）實驗前：繪縱向線，橫向線；在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)施加一對外力偶 。（2）實驗后：7彎曲應(yīng)力變形前原為平面的梁的橫截面變形后仍保持為平面，且仍垂直于變形后的梁的軸線。平面假設(shè)橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。對于純彎曲，認為各縱向纖維之間無擠壓，僅承受拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。即縱向纖維間無正應(yīng)力，只有橫截面上有正應(yīng)力。（4）推論：（3）結(jié)論：8彎曲應(yīng)力4、中性層與中性軸（1）中性層（2）中性軸即當(dāng)桿件發(fā)生彎曲變形時，沿軸線方向既不伸長又不縮短的一層。即中性層與橫截面的交線。中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸9彎曲

3、應(yīng)力52 純彎曲時的正應(yīng)力1. 變形幾何關(guān)系bdacabcdMM10彎曲應(yīng)力)O1O1)abcdABOOydxA1B1O1O1dqry 可見，縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比。rey=112. 物理關(guān)系彎曲應(yīng)力 可知，縱向纖維的正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比。在橫截面上，任意點的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比。即沿截面高度，正應(yīng)力按線性規(guī)律變化。 縱向纖維之間無正應(yīng)力，所以每一纖維都是單向拉伸或壓縮。當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時，由胡克定律：12彎曲應(yīng)力3. 靜力學(xué)關(guān)系即中性軸（z 軸）一定通過截面形心。zxyzydAOM13彎曲應(yīng)力其中，EIz 稱為梁的抗彎剛度。因 y 軸是對稱軸，上式自然

4、成立。zxyzydAOM14彎曲應(yīng)力聯(lián)立以上幾式，可得梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計算公式為：其中，為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力可由梁的變形確定。公式適用條件：（1）縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的純彎曲；（2）應(yīng)力小于比例極限（線彈性范圍內(nèi)）。正應(yīng)力的正負號：由變形直接判斷：以中性層為界，梁在凸出一側(cè)為拉應(yīng)力為正；在凹入一側(cè)為壓應(yīng)力為負。15彎曲應(yīng)力53 橫力彎曲時的正應(yīng)力1.計算公式2.彎曲正應(yīng)力強度條件（以等截面梁為例）工作正應(yīng)力最大值許用正應(yīng)力對于細長梁(l / h 5)，有：16彎曲應(yīng)力引入記號：稱為抗彎截面系數(shù)則彎曲正應(yīng)力強度條件可改寫為：3.彎曲正應(yīng)力強度條件的應(yīng)用（以等截面梁為例）校核強度：設(shè)計截面尺寸：確

5、定許可載荷：17彎曲應(yīng)力彎曲正應(yīng)力強度條件的幾點說明：（1）對于非等直梁，危險點的應(yīng)力max應(yīng)由 確定。（2）對于抗拉壓性能相同的材料，只要絕對值最大的正應(yīng)力不超過許用應(yīng)力即可；對于抗拉壓性能不同的材料，則拉和壓的最大正應(yīng)力都不應(yīng)超過各自的許用應(yīng)力。4.抗彎截面系數(shù)Wz的計算討論（1）矩形截面危險點：矩形頂邊和底邊上的所有點。hbz18彎曲應(yīng)力（2）實心圓形截面（3）空心圓形截面其中為內(nèi)外徑之比，即：危險點：在圓周外緣上下兩個點A和B上。zDABzdDAB危險點：在大圓周外緣上下兩個點A和B上。19例1 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應(yīng)力；（2）此截面上的

6、最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求11截面處中性層的曲率半徑。彎曲應(yīng)力q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax解：畫M圖求截面彎矩12120180zy3020彎曲應(yīng)力q=60kN/mAB1m2m11求應(yīng)力12120zy18030 xM+M1Mmax21求曲率半徑彎曲應(yīng)力q=60kN/mAB1m2m111212018030 xM+M1Mmax22解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力彎曲應(yīng)力畫危面應(yīng)力分布圖，找危險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kN.m4kN.mMy1y2GA1A2A4A3例2 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的L=30MPa

7、，Y=60 MPa，其截面形心位于G點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理？423校核強度T字頭在上面合理。彎曲應(yīng)力y1y2GA3A4y1y2GA1A2A4A3x2.5kN.m4kN.mM2454 彎曲切應(yīng)力一、矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、兩點假設(shè)： 切應(yīng)力與剪力平行；切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。2、研究方法：分離體平衡。彎曲應(yīng)力圖a圖bFS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)dxy在微段上取一塊如圖c，平衡在梁上取微段如圖b；dxxxzyb圖c25彎曲應(yīng)力dxx圖a由切應(yīng)力互等，得：圖bFS(x)M(x)M(x)+d

8、 M(x)FS(x)dxyxzyb圖c26彎曲應(yīng)力FS方向：與橫截面上剪力方向相同；大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h按拋物線規(guī)律變化。最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的1.5倍。二、其它截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;切應(yīng)力的計算公式亦為：其中，F(xiàn)S為截面剪力； 為距中性軸距離為y的橫線以下的面積對中性軸之靜矩； Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b 為截面寬度。272、幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力彎曲應(yīng)力工字形截面：。maxA FStf結(jié)論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。 鉛垂切應(yīng)力主要腹板承受（95-97%），且tmax tmin 故工字鋼最大切應(yīng)力Af

9、腹板的面積。;maxA FStf圓截面：28彎曲應(yīng)力三、梁的彎曲切應(yīng)力強度條件工作最大切應(yīng)力許用切應(yīng)力圓截面：矩形截面：工字形截面：一般說，最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大截面的中性軸處。29鉚接、焊接或膠合而成的組合梁，其焊縫、膠合面、鉚釘?shù)纫话阋：饲袘?yīng)力強度。梁的跨度較短，M 較小，而FS較大時，即指短粗梁，又叫深梁，一般要校核切應(yīng)力強度。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，一般要校核切應(yīng)力強度。彎曲應(yīng)力需要校核彎曲切應(yīng)力強度的幾種特殊情況：30彎曲應(yīng)力 在梁的彎曲強度計算中應(yīng)注意：（1）對受彎曲的梁來說，一般彎矩是主要的，所以無論強度校核還是設(shè)計截面，首先按正應(yīng)力強度條件進行，然后進行

10、切應(yīng)力校核。（2）對塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗壓的性能相同，因此對等截面直梁來說，危險截面僅一個，即彎矩值最大的截面。截面上的危險點也僅此截面上一點，即 所在的點。（3）對脆性材料而言，由于材料的拉伸強度極限和壓縮強度極限不相等，因此對等截面直梁來說，危險截面有兩個，正彎矩最大的截面和負彎矩最大的截面。而每個危險截面上危險點有兩個，即 所在點，因此要滿足全梁強度，必須這4點的強度均滿足。31彎曲應(yīng)力（4）無論什么材料，對等截面直梁而言，切應(yīng)力強度條件僅一個，在 的截面中性軸處。（5）強度條件中的許用應(yīng)力，是在軸向拉伸（壓縮）條件下得出，實際上彎曲時的許用應(yīng)力要大于軸向拉伸（壓縮）時的許用

11、應(yīng)力，這是因為彎曲時橫截面上應(yīng)力并非均勻分布，因此一般彎曲計算中用軸向拉伸（壓縮）的是偏于安全的。32解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例3 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7MPa，=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強度。彎曲應(yīng)力q=3.6kN/mABL=3mFS+xxM+Mmax33求最大應(yīng)力并校核強度應(yīng)力之比彎曲應(yīng)力q=3.6kN/mFS+xxM+Mmax34彎曲應(yīng)力55 提高彎曲強度的措施彎曲正應(yīng)力是控制梁強度的主要因素，故彎曲正應(yīng)力強度條件是設(shè)計梁的主要依據(jù)。對于等直梁，有：對于非等直梁，有：由此可知，要提高梁的承載能力，應(yīng)從以下三方面考慮：1. 合理安排梁的受力，降低Mmax。2. 采用合理截面形狀，提高Wz。3. 采用等強度梁。35一、合理安排梁的受力(降低Mmax)彎曲應(yīng)力1、合理布置梁的支座xx36彎曲應(yīng)力372、合理布置載荷彎曲應(yīng)力xx38二、采用合理截面形狀（提高Wz ）彎曲應(yīng)力常用Wz / A衡量截面形狀的合理性和經(jīng)濟性。 Wz / A越大，截面形狀的經(jīng)濟合理性越強。1、在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面形狀。39彎曲應(yīng)力（1）矩形優(yōu)于圓形（3）