金融工程練習(xí)題二 (答案)

1、金融工程練習(xí)題二一、計(jì)算題1.設(shè)一份標(biāo)的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個(gè)月的遠(yuǎn)期合約多頭，其交割價(jià)格為$930，6個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率（連續(xù)復(fù)利）為6%，該債券的現(xiàn)價(jià)為$910，求遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值。解: 由題意有, , , ,所以遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值為 2.假設(shè)6個(gè)月期和12個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)年利率分別為5%和6%，而一種十年期債券現(xiàn)貨價(jià)格為800元，該證券一年期遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為900元，該債券在6個(gè)月和12個(gè)月后都將收到$50的利息，且第二次付息日在遠(yuǎn)期合約交割日之前，求該合約的價(jià)值。解: 收益的現(xiàn)金貼現(xiàn) 遠(yuǎn)期合約的價(jià)值 PS:構(gòu)建兩個(gè)組合,組合A:(一單位的遠(yuǎn)期合約多頭,加上現(xiàn)金貼現(xiàn)值為

2、),組合B:(一單位的標(biāo)的資產(chǎn),和剛好與利息現(xiàn)金流相反的負(fù)債I),在到期時(shí)間T的時(shí)候,組合A的價(jià)值剛好為購買一單位的標(biāo)的資產(chǎn),組合B的價(jià)值為一單位的標(biāo)的資產(chǎn),產(chǎn)生的利息剛好用于負(fù)債的償還,那么在時(shí)間t的時(shí)候,兩個(gè)組合的價(jià)值也應(yīng)該相等,即合約的價(jià)值加上現(xiàn)金應(yīng)該等于資產(chǎn)的價(jià)值加上負(fù)債.3.股票價(jià)格為50美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，一個(gè)基于這個(gè)股票、執(zhí)行價(jià)格都為40美元的歐式看漲和歐式看跌期權(quán)價(jià)格相差7美元，都將于6個(gè)月后到期。這其中是否存在套利機(jī)會？如果有，應(yīng)該如何進(jìn)行套利？解:根據(jù)無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價(jià)公式, 代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算可以得到, 所以題目不滿足平價(jià)公式,其中存在了套利

3、機(jī)會.套利的方法:賣出股票,同時(shí)買入看漲期權(quán)和賣出看跌期權(quán)(使得參與者到期只能按執(zhí)行價(jià)格買入),利用所得的現(xiàn)金收益進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)投資買入看漲期權(quán),賣空看跌期權(quán),將凈現(xiàn)金收入43元(50元-7元)進(jìn)行6個(gè)月的無風(fēng)險(xiǎn)投資,到期獲得45.2元.如果到期時(shí)股票價(jià)格高于40元,執(zhí)行看漲期權(quán),如果低于40元,看跌期權(quán)被執(zhí)行,因此無論如何到期時(shí)股票價(jià)格都以40元購買股票用于平倉賣空的股票,凈收益5.2元.PS:當(dāng)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間不滿足期權(quán) 的平價(jià)公式的時(shí)候,市場就存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會4.假設(shè)一份5年期附息票債券，價(jià)格為900元。假定這種債券的一年期遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為910元。預(yù)期在6個(gè)月后和12個(gè)月后將

4、分別支付債券利息各40元，其中第二期利息支付恰好在遠(yuǎn)期合約交割日之前。6個(gè)月期和1年期無風(fēng)險(xiǎn)年利率各為9和10。求遠(yuǎn)期合約的價(jià)值。解:(與前面第二小題的算法是差不多的)根據(jù)已知條件,該證券已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值為 ,根據(jù)已知現(xiàn)金收益現(xiàn)值的遠(yuǎn)期價(jià)值計(jì)算公式,可以求得該遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值為 相應(yīng)的遠(yuǎn)期空頭的價(jià)值為-2.17元.5.假設(shè)黃金的現(xiàn)價(jià)為每盎司500美元，其存儲成本為每年每盎司2美元，在年底支付，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為6%。求一年期黃金遠(yuǎn)期價(jià)格。解:根據(jù)已知條件,可算出一年后支付儲存成本的現(xiàn)值為 由支付已知現(xiàn)金收益的遠(yuǎn)期價(jià)格公式有(美元/ )6. A股票現(xiàn)在的市場價(jià)格是20美元，年平均紅利率為3，無風(fēng)險(xiǎn)

5、利率為8，若該股票6個(gè)月的遠(yuǎn)期合約的交割價(jià)格為22美元，求該遠(yuǎn)期合約的價(jià)值及遠(yuǎn)期價(jià)格。解:由題意有, , , , , 根據(jù)支付已知紅利資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約多頭價(jià)值計(jì)算公式,遠(yuǎn)期多頭的價(jià)值為相應(yīng)的遠(yuǎn)期多頭價(jià)格為 7.假設(shè)2年期即期利率為10.5%，3年期即期利率為11%，本金為100萬美元的2年3年遠(yuǎn)期利率協(xié)議的協(xié)議利率為11%，請問該遠(yuǎn)期利率協(xié)議的價(jià)值和理論上的協(xié)議利率等于多少？ 解(課本 P85):由題意有 ,所以理論上的協(xié)議利率為 遠(yuǎn)期利率協(xié)議的價(jià)值為 PS:(課本P87) 遠(yuǎn)期利率協(xié)議的標(biāo)的資產(chǎn)是貨幣,在利率協(xié)議存續(xù)期間可以產(chǎn)生無風(fēng)險(xiǎn)收益,因此遠(yuǎn)期利率協(xié)議的定價(jià)屬于支付已知收益率的遠(yuǎn)期合約.遠(yuǎn)

6、期利率是由一系列即期利率決定的.例如兩年前的即期利率和3年期的即期利率以及第2年開始到第3年的遠(yuǎn)期利率,他們之間存在著這樣的關(guān)系: 將上述式子進(jìn)行變形有,所以有8.假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機(jī)構(gòu)支付6個(gè)月期的LIBOR，同時(shí)收取8的年利率（半年計(jì)一次復(fù)利），名義本金為1億美元?；Q還有1.25年的期限。3個(gè)月、9個(gè)月和15個(gè)月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利率）分別為10、10.5和11。上一次利息支付日的6個(gè)月LIBOR為10.2（半年計(jì)一次復(fù)利），求互換對銀行的價(jià)值。解:A為利率互換中的名義本金額,k為現(xiàn)金流交換日交換的固定利息額, 運(yùn)用債券組合給利率互換定價(jià),這里, 為互換合約中分解出的固定利

7、率債券的價(jià)值;為互換合約中分解出的浮動(dòng)利率債券的價(jià)值對于互換多頭(固定利率的支付者)來說,利率互換的價(jià)值就是 因此 因?yàn)榛Q剛好還有1.25年的期限,處于重新確定利率的時(shí)刻,因此9、6個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為2美元，執(zhí)行價(jià)格為20美元，標(biāo)的股票價(jià)格為19美元，預(yù)期2個(gè)月和5個(gè)月后的股利均為0.5美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，利率期限結(jié)構(gòu)為平坦。6個(gè)月后到期的執(zhí)行價(jià)格為20美元的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為多少？解:由題意可知 ,根據(jù)平價(jià)公式 有 10.某無紅利支付股票的歐式期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為25美元，股票現(xiàn)價(jià)為26美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，股票年波動(dòng)率為20%，期權(quán)到期日為4個(gè)月。如果該期權(quán)為歐式看漲

8、期權(quán)，計(jì)算其價(jià)格。解:跟第11題第一問一樣.11.某無紅利支付股票的歐式期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為29美元，股票現(xiàn)價(jià)為30美元，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，股票年波動(dòng)率為25%，期權(quán)到期日為4個(gè)月。（1）如果該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，計(jì)算其價(jià)格；（2）如果該期權(quán)為歐式看跌期權(quán)，計(jì)算其價(jià)格；（3）驗(yàn)證看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系是否成立。12.無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，股票價(jià)格的年波動(dòng)率為25%，計(jì)算標(biāo)的為不支付紅利的股票6個(gè)月期的平價(jià)歐式看漲期權(quán)的Delta值。二、證明題1.證明：對于支付已知現(xiàn)金收益的證券而言，其遠(yuǎn)期價(jià)格F與現(xiàn)價(jià)S之間的關(guān)系滿足。（其中是遠(yuǎn)期合約期限所得現(xiàn)金收益的現(xiàn)值）證明:構(gòu)建兩個(gè)組合組合A:一份遠(yuǎn)期多頭 +

9、 現(xiàn)金組合B:一單位標(biāo)的資產(chǎn) + 負(fù)債I由于在到期時(shí)間T,組合A的價(jià)值剛好為一單位的標(biāo)的證券,組合B中證券的利息剛好與負(fù)債I完全抵消,此時(shí)的價(jià)值也為一單位標(biāo)的證券.因此在t時(shí)刻,兩個(gè)組合的價(jià)值也應(yīng)該相等,即,又當(dāng)f=0時(shí),K=F,以上式子可變?yōu)椋築SM歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式符合歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)平價(jià)公式。證:歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式分別為由以上前兩個(gè)公式有 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正太分布函數(shù)的特征,有 所以上式可以變成 即 3、假設(shè)是在時(shí)刻支付1美元的貼現(xiàn)債券按連續(xù)復(fù)利計(jì)息的到期收益率。假設(shè)遵循如下過程：，其中、和是正常數(shù)，是維納過程。試證明：解答：假設(shè)債券價(jià)格為，由Ito引理可得，債券價(jià)格遵循的過程為： 因?yàn)椋?所以： 因此，代入得，債券價(jià)格遵循的過程為：4.證明：支付已知紅利率q（連續(xù)復(fù)利）的歐式看漲期權(quán)的Delta值為。證明:在B-S-M期權(quán)定價(jià)中,無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式為相應(yīng)的無收益看跌期權(quán)