大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第五章二次型第二節(jié)(課堂講解)

1、主要內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)形的定義第二節(jié) 標(biāo) 準(zhǔn) 形配方法及其證明配方法的矩陣形式初等變換法一、標(biāo)準(zhǔn)形的定義定義4 二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 經(jīng)過非退化線性替換 X = CY 所變成的如下形式(只含平方項(xiàng))d1y12 + d2y22 + + dnyn2 的二次型稱為二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 的標(biāo)準(zhǔn)形.這一節(jié)我們要討論的問題是如何用非退化的線性替換把二次型變成標(biāo)準(zhǔn)形.關(guān)于這個(gè)問題，我們有以下定理：二、配方法及其證明定理 1 數(shù)域 P 上任意一個(gè)二次型都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形.證明下面的證明實(shí)際上是一個(gè)具體把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)的方法，這就是中學(xué)里學(xué)過的“配

2、方法”.我們對(duì)變量的個(gè)數(shù) n 作歸納法.對(duì)于 n = 1 ，二次型就是f ( x1 ) = a11x12 .它已經(jīng)是平方和了，結(jié)論成立.現(xiàn)假設(shè)對(duì) n - 1 元的二次型，定理的結(jié)論成立.再設(shè)分三種情形來討論：1) aii ( i =1 , 2 , , n ) 中至少有一個(gè)不為零， 不妨設(shè) a11 0 , 這時(shí)這里是一個(gè) x2 , x3 , , xn 的二次型.令即這是一個(gè)非退化線性替換，它使由歸納法假設(shè)，對(duì)有非退化線性替換能使它變成標(biāo)準(zhǔn)形d2z22 + d3z32 + + dnzn2 .于是非退化線性替換就使 f ( x1 , x2 , , xn ) 變成f ( x1 , x2 , , xn

3、) = a11z12 + d2z22 + + dnzn2 ,根據(jù)歸納法原理，此時(shí)定理得證.2) 所有 aii = 0，但是至少有一個(gè) a1j 0 ( j 1 )不失一般性，設(shè) a12 0 .令它是非退化的線性替換，且使f ( x1 , x2 , , xn ) = 2a12x1x2 + .= 2a12(z1 + z2)(z1 - z2) + .= 2a12z12 -2a12z22 + ,這時(shí)上式右端是 z1 , z2 , , zn 的二次型，且 z12 的系數(shù)不為零，屬于第一種情況，定理成立.3) a11 = a12 = = a1n = 0 .由對(duì)稱性，有a21 = a31 = = an1 =

4、0 .這時(shí)是 n - 1 元二次型，根據(jù)歸納法假設(shè)，它能用非退化線性替換變成標(biāo)準(zhǔn)形.這樣我們就完成了定理的證明.證畢不難看出，標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣，d1x12 + d2x22 + + dnxn2反過來，矩陣為對(duì)角形的二次型就只含平方項(xiàng).按上一節(jié)的討論，經(jīng)過非退化的線性替換，二次型的矩陣變到一個(gè)合同的矩陣，因此，用矩陣的語言，定理 1 可以敘述為：定理 2 在數(shù)域 P 上，任意一個(gè)對(duì)稱矩陣都合同于一對(duì)角矩陣.定理 2 也就是說，對(duì)于任意一個(gè)對(duì)稱矩陣 A都可以找到一個(gè)可逆矩陣 C 使CTAC成為對(duì)角矩陣.例 1 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解由于二次型的平方項(xiàng)的系數(shù)全為零，故屬于定理 1 的證明過

5、程中的第二種情形，作非退化線性替換則再令即則最后令即則這即為標(biāo)準(zhǔn)形，而這幾次線性替換的結(jié)果相當(dāng)于作一個(gè)總的線性替換，例 2 用配方法把三元二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性替換及變換矩陣.三、配方法的矩陣形式前面所講的配方法的過程，可以用矩陣寫出來.我們按前面的每一種情況寫出相應(yīng)的矩陣.情形一 a11 0這時(shí)的變數(shù)替換為該變數(shù)替換的矩陣為則上述變數(shù)替換相應(yīng)于合同變換A C1TAC1 .為了計(jì)算 C1TAC1 ，可令于是 A 和 C1 可寫成分塊矩陣其中 T 為 的轉(zhuǎn)置，En - 1 為 n - 1 級(jí)單位矩陣，于是矩陣 A1 - a11-1 T 是一個(gè) ( n - 1 ) ( n - 1 ) 對(duì)

6、稱矩陣，由歸納法假設(shè)，有 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 可逆矩陣 G 使GT( A1 - a11-1 T )G = D為對(duì)角形.令于是這是一個(gè)對(duì)角矩陣.我們所要的可逆矩陣為C = C1C2 .情形二 a11 = 0 但有一個(gè) aii 0這時(shí)，只要把 A 的第一行與第 i 行互換，再把第一列與第 i 列互換，就歸結(jié)成情形一，根據(jù)初等矩陣與初等變換的關(guān)系，取i行i 列顯然P( 1 , i )T = P( 1, i ) .矩陣C1TAC1 = P( 1 , i ) A P( 1 , i )就是把 A 的第一行與第 i 行互換，再把第一列與第i 列互換的結(jié)果.因此， C1TAC1 左上角第一

7、個(gè)元素就是 aii ，這樣就歸結(jié)到第一種情形.情形三 aii = 0, i = 1, , n, 但有一 a1j 0, j 0與上一種情形類似，作合同變換P( 2 , j )TAP( 2 , j )可以把 a1j 搬到第一行第二列的位置，這樣就變成了配方法中的第二種情況.與那里的變數(shù)替換相對(duì)應(yīng)，取于是 C1TAC1 的左上角就是也就歸結(jié)到第一種情形.情形四 a1j = 0, j = 1, , n由對(duì)稱性，aj1 , j = 1, 2, , n , 也全為零，于是A1 是 n - 1 級(jí)對(duì)稱矩陣.由歸納法假設(shè)，有n - 1 級(jí)可逆矩陣 G 使GTA1G = D成對(duì)角形.取CTAC 就成為對(duì)角形.例

8、 3 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為因?yàn)?a11 = a22 = a33 = 0, 但 a12 0, 故屬于情形三取再取再取A3 已是對(duì)角矩陣，因此令就有作非退化線性替換X = CY ,即得四、初等變換法在本節(jié)的最后，再來討論化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的初等變換法.由本節(jié)知，對(duì)任意一個(gè)對(duì)稱矩陣 A都可以找到一個(gè)可逆矩陣 C 使CTAC成為對(duì)角矩陣.由于 C 可逆，由第四章知，存在初等矩陣 P1, P2 , , Pk , 有C = P1P2 Pk . PkT P2TP1T A P1P2 Pk 于是為對(duì)角矩陣.這說明，任意一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣 A，可以經(jīng)過一系列相同類型的初等行、列變換化為對(duì)角形

9、矩陣.這里所謂的相同類型的初等行、列變換指的是：每對(duì) A 進(jìn)行一次行變換，緊接著對(duì) A 進(jìn)行一次相同類型的列變換.又因?yàn)镃 = P1P2 Pk =EP1P2 Pk ，所以，對(duì) A 作的列變換同樣施加于 E，即得變換矩陣 C .于是就有用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法是：將二次型的矩陣 A 與單位矩陣 E 構(gòu)造矩陣 B對(duì) B 作相同類型的初等行、列變換，直到 B 中的即為標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù).子塊 A 成為對(duì)角矩陣, 則 B 中原來對(duì)應(yīng)于 E 的部分即為線性變換矩陣.對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素例 4 用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.解該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為構(gòu)造矩陣 B初等變換 所以二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 所用線

10、性替換為例 5 用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本