江蘇省重點(diǎn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)2輪高效復(fù)習(xí)課件：思想方法之1（函數(shù)與方程）全國通用

1、第一部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法專題一 函數(shù)與方程的思想方法2021/8/8 星期日1 函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)y=0，通過方程進(jìn)行研究. 就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題

2、也可以用方程的方法來解決.函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)。專題一 函數(shù)與方程的思想方法知識概要2021/8/8 星期日2 1.函數(shù)的思想，是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決.函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是要善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題. 2.方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解

3、題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題.方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系.專題一 函數(shù)與方程的思想方法知識概要2021/8/8 星期日3 3.(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y=f(x)，當(dāng)y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)看做二元方程yf(x)=0.函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)=0，就是求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn). (2) 函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y=f(x)，當(dāng)y0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)

4、，也離不開解不等式.專題一 函數(shù)與方程的思想方法知識概要2021/8/8 星期日4 (3) 數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題十分重要. (4) 函數(shù)f(x)(ax+b)n （nN*）與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題. (5) 解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論. (6) 立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.專題一 函數(shù)與方程的思想方法知識概要2021/8/8 星期日

5、51.對任意a1,1，函數(shù)f(x)=x2+(a4)x+42a的值總大于零，則x的取值范圍是（ ） A.1x3 B.x1或x3 C.1x2 D.x1或x2解析 依題意有x2+(a4)x+42a0恒成立， 即(x2)a+x24x+40恒成立. 令g(a)=(x2)a+x24x+4，把g(a)看作是關(guān)于主元a的函數(shù)， 則g(a)是一次函數(shù)（x2）或是常數(shù)函數(shù)（x=2）， 因?yàn)閍1,1，要g(a)0恒成立，只需 ， 解得x1或x3，故選 B 點(diǎn)評 本題中，體現(xiàn)了主元的思想，對于多個字母恒成立的問題，這是一種基本方法.B專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日62.已知 (a,b,c

6、R)，則有 （ ）A.b24ac B.b24acC.b24ac D.b24ac解析 解法1：依題意有：a5b +c=0， 是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bx+c=0的一個實(shí)根，=b24ac0，b24ac. 故選B. 解法2：去分母，移項，兩邊平方得： 5b2=25a2+10ac+c210ac+25ac=20ac, b24ac.點(diǎn)評解法1通過簡單轉(zhuǎn)化，將其看作一個一元二次方程的解，敏銳地抓住了數(shù)與式的內(nèi)在特點(diǎn)，利用方程思想使問題迎刃而解；解法2轉(zhuǎn)化為b2關(guān)于a、c的函數(shù)(可看作是二元函數(shù))，利用重要不等式求解，其求解的思想實(shí)質(zhì)是函數(shù)的思想方法.B專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8

7、星期日73.不等式4x +log3x+x25的解集為 （ ） A.R B.R+ C.x|x1 D.x|x2 解析考察函數(shù)f(x)=4x+log3x+x2,定義域?yàn)?（0,），在（0,）上不難得知函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增的，當(dāng)x1時，f(x)=5,故4x+log3x+x25的解集為x|x1. 點(diǎn)評此題初一看上去,是一個含有指數(shù),對數(shù)的不等式的題,感覺很難求解.但此題的解法卻是巧妙地構(gòu)造了函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.這也體現(xiàn)了函數(shù)的思想在解題中的應(yīng)用. C專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日84.已知sincos= ，( ，)，則 tan的值是（ ） A. B. C. D

8、. 解析設(shè)tan x(x0）， 則 ， 解得x2，再用萬能公式，選A.A專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日95.已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，且Sp=Sq(pq，p,qN*)，則Sp+q=_解析利用 是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SpSqm ， ，則（ , p ）、( , q )、(x，p+q )在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0.0專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日106.已知f（x）=lg ，且f（1）=0，當(dāng)x0時，總有f（x）f（ ）=lgx.（1）求f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.專題一

9、 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日11解析（1）由f（1）= 0得：a+b=2 又f（x） f（ ）=lgx， lg lg =lgx，從而 = x， x0，（ab）（x1）=0 對x0總成立， 則a=b 由解得：a=b=1，f（x）= lg .專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日12（2）原方程f（x）=lg（m+x）可化為 m+x，且x0或x1, 令g（x）= x = +（x+1）+3， 當(dāng)x0時， +（1+x）2 （x= 1時取等號）， g（x）32 . 當(dāng)x1時，（ ）+（x+1）2 （x= 1時取等號）， g（x）3+2 . 故方程g（x）=

10、m的解集為時， m的取值范圍為（32 ，3+2 ）. 專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日13點(diǎn)評（1）列出方程，運(yùn)用方程思想求解參數(shù)是求參數(shù)常用的基本方法. （2）構(gòu)造輔助函數(shù)g（x），運(yùn)用函數(shù)思想求值域是確定參數(shù)m的取值范圍的關(guān)鍵，其次要注意求補(bǔ)集思想的運(yùn)用.一般地，函數(shù)g（x）的值域?yàn)镈，則方程 g（x）=m有解的充要條件是mD，解集是的充要條件 是mCRD.專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日147. 對于函數(shù)f(x)，若存在x0R,使f(x0)=x0成立，則稱x0為f(x)的不動點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0

11、)（1）若a=1,b=2時，求f(x)的不動點(diǎn)；（2）若對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，且A、B關(guān)于直線y=kx+ 對稱，求b的最小值解析（1）當(dāng)a=1,b=2時，f(x)=x2x3，由題意可知x=x2x3，得x1=1,x2=3故當(dāng)a=1,b=2時，f(x)的兩個不動點(diǎn)為1,3.專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日15（2）f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)恒有兩個不動點(diǎn)，x=ax2+(b+1)x+(b1)，即ax2+bx+(b1)=0恒有

12、兩相異實(shí)根=b24ab+4a0(bR)恒成立 于是=(4a)216a0解得0a1故當(dāng)bR，f(x)恒有兩個相異的不動點(diǎn)時，0a1.專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日16（3）由題意A、B兩點(diǎn)應(yīng)在直線y=x上，設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)又A、B關(guān)于y=kx+ 對稱，k=1 設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x,y).x1,x2是方程ax2+bx+(b1)=0的兩個根，x=y= = ， 又點(diǎn)M在直線y=x+ 上有 ，即a0，2a+ 2 當(dāng)且僅當(dāng)2a= 即a= (0,1)時取等號，故b ，得b的最小值 .專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日178. 如圖，

13、正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.點(diǎn)M在AC上移動,點(diǎn)N在BF上移動,若CM=BN=a (0a ). ()求MN的長; ()當(dāng)a為何值時,MN的長最小. 分析取a作為變量，建立MN的長的表達(dá)式，利用函數(shù)思想求MN的最小值.專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日18 解析()作MPAB交BC于點(diǎn)P,NQAB交BE于點(diǎn)Q,連結(jié)PQ,依題意可得MPNQ,且MP=NQ, 即MNQP是平行四邊形，所以MN=PQ, 由已知，CM=BN=a, CB=AB=BE=1. 所以AC=BF= , 即 CP=BQ= .專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2

14、021/8/8 星期日19()由()得MN= 所以，當(dāng)a= 時,MNmin= .即M、N分別移動到AC、BF的中點(diǎn)時,MN的長最小,最小值為 . 點(diǎn)評利用函數(shù)關(guān)系建立MN的長與a 的函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.立體幾何中的最值問題常借助函數(shù)思想求得.專題一 函數(shù)與方程的思想方法考題剖析2021/8/8 星期日20 1.函數(shù)思想的應(yīng)用主要有：求變量的取值范圍，從而轉(zhuǎn)化為求該函數(shù)的值域；構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)；運(yùn)用函數(shù)思想要抓住事物在運(yùn)動過程中保持不變的規(guī)律和性質(zhì)，從而更快更好地解決問題. 運(yùn)用方程觀點(diǎn)解決問題主要有兩個方面：一是從分析問題的結(jié)構(gòu)入手，找主要矛盾，抓住某一關(guān)鍵變量，將等式看成關(guān)于這個主變量(常稱主元)的方程，然后具體研究這個方程；二是在中學(xué)中常見的如求曲線交點(diǎn)，求函數(shù)值域等問題，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程問題去解決.專題一 函數(shù)與方程的思想方法規(guī)律總結(jié)2021/8/8 星期日21