2023屆高考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練：數(shù)列模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題含解析

1、第 頁(yè)）2023屆高考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)點(diǎn)訓(xùn)練：數(shù)列模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 一、選擇題（共18小題）1. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中說(shuō)：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳”意為：“996 斤棉花，分別贈(zèng)送給 8 個(gè)子女做旅費(fèi)，從第 1 個(gè)孩子開(kāi)始，以后每人依次多 17 斤，直到第 8 個(gè)孩子為止分配時(shí)一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說(shuō)閑話(huà)”在這個(gè)問(wèn)題中，第 8 個(gè)孩子分到的棉花為 A. 184 斤B. 176 斤C. 65 斤D. 60 斤 2. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三

2、百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是：“一座 7 層塔共掛了 381 盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2 倍，則塔的頂層共有燈多少?”現(xiàn)有類(lèi)似問(wèn)題：一座 5 層塔共掛了 363 盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 3 倍，則塔的中間一層共有燈 A. 3 盞B. 9 盞C. 27 盞D. 81 盞 3. 根據(jù) 2020 年央行商業(yè)貸款基準(zhǔn)利率的有關(guān)規(guī)定：一年以下（含一年）年利率為 4.35%；一至三年（含三年）利率為 4.75%，三至五年（含五年）利率也為 4A. 100+1005C. 100+1005 4. 九章算術(shù)中有如下問(wèn)題：“今有金錘，長(zhǎng)五尺斬本一尺，重四斤斬末一尺

3、，重二斤問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是：“現(xiàn)在有一根金錘，長(zhǎng)五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下一尺，重 4 斤；在細(xì)的一端截下一尺，重 2 斤，問(wèn)各尺依次重多少?”（“斤”是古代一種質(zhì)量單位，1 斤 =500 克）按這一問(wèn)題的題設(shè)，假設(shè)金錘由粗到細(xì)各尺質(zhì)量依次成等差數(shù)列，則從粗端開(kāi)始的第二尺的質(zhì)量是 A. 73 斤B. 72 斤C. 52 斤 5. 九章算術(shù)之后，人們進(jìn)一步地用等差數(shù)列求和公式來(lái)解決更多的問(wèn)題，如張邱建算經(jīng)卷上第 22 題為利用等差數(shù)列求和公式解決織布問(wèn)題若有一女善織布，從第 2 天起每天比前一天多織相同量的布，第一天織 5 尺布，一個(gè)月（按 30 天計(jì)）共織 420 尺布，則第

4、 2 天織布的尺數(shù)為 A. 16329B. 16129C. 8115 6. 我國(guó)古代名著九章算術(shù)中有這樣一段話(huà)：“今有金錘，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現(xiàn)有一金錘，長(zhǎng) 5 尺，頭部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤”若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，則該金錘總重為 A. 6 斤B. 7 斤C. 9 斤D. 15 斤 7. 若數(shù)列 an，bn 的通項(xiàng)公式分別為 an=(1)n+A. 1,12B. 1, 8. 若一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，則 A. 三邊長(zhǎng)之比 345C. 較大銳角的正弦為 512 9. 一個(gè)彈性小球從 10 米高處自由落下，著地

5、后反彈到原來(lái)高度的 45 處，再自由落下，又彈回到上一次高度的 45A. 50B. 80C. 90D. 100 10. 已知數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a1=0,A. 20092010B. 20082009C. 11. 九章算術(shù)中的“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面 4 節(jié)的容積共 3 升，下面 3 節(jié)的容積共 4 升，現(xiàn)自上而下取第 1，3，9 節(jié)，則這 3 節(jié)的容積之和為 A. 133 升B. 176 升C. 199 升 12. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著 算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是：一座 7 層塔共

6、掛了 381 盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2 倍，則塔的頂層共有燈 A. 1 盞B. 3 盞C. 5 盞D. 9 盞 13. 某棵果樹(shù)前 n 年的總產(chǎn)量 Sn 與 n 之間的關(guān)系如圖所示從目前記錄的結(jié)果看，前 m 年的年平均產(chǎn)量最高，m 值為 A. 5B. 7C. 9D. 11 14. 九章算術(shù)中有一“竹九節(jié)”問(wèn)題大意為：現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，上面 3 節(jié)的容積之積為 3，下面 3 節(jié)的容積之積為 9，則第 5 節(jié)的容積為 A. 2B. 6766C. 3D. 15. 神六飛天，舉國(guó)歡慶，據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神舟六號(hào)”飛船的“長(zhǎng)征二號(hào)”系列火箭，在

7、點(diǎn)火 1 分鐘通過(guò)的路程為 2km，以后每分鐘通過(guò)的路程增加 2A. 10 分鐘B. 13 分鐘C. 15 分鐘D. 20 分鐘 16. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”其意思為：有個(gè)人走 378 里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了 6 天到達(dá)目的地，則第 2 天走了 A. 96 里B. 48 里C. 24 里D. 12 里 17. 張丘建算經(jīng)是我國(guó)南北朝時(shí)期的一部重要著作，書(shū)中系統(tǒng)地介紹了等差數(shù)列，同類(lèi)結(jié)果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn)書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題

8、，大意為：某女子善于織布，后一天比前一天織得快，而且每天增加的數(shù)量相同，已知第一天織布 5 尺，一個(gè)月（按 30 天計(jì)算）總共織布 390 尺，問(wèn)每天增加的數(shù)量為多少尺?該問(wèn)題的答案為 A. 829 尺B. 1629 尺C. 3229 尺 18. 算法統(tǒng)宗是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推在這個(gè)問(wèn)題中，記這位公公的第 n 個(gè)兒子的年齡為 an，則 a1A. 35B. 3

9、2C. 23D. 38 二、填空題（共6小題）19. 夏季某高山上的溫度從山腳起，每升高 100 米降低 0.7C ，已知山頂處的溫度是 14 20. 某棵果樹(shù)前 n 年的總產(chǎn)量 Sn 與 n 之間的關(guān)系如圖所示，從目前記錄的結(jié)果看，前 m 年的年平均產(chǎn)量最高，m 的值為 21. 若一個(gè)數(shù)列的第 m 項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前 m 項(xiàng)的乘積，則稱(chēng)該數(shù)列為“m 積數(shù)列”若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 是一個(gè)“2016 積數(shù)列”，且 a11，則當(dāng)其前 n 項(xiàng)的乘積取最大值時(shí) 22. 某地區(qū) 110a 原有森林木材存有量為 a，且每年增長(zhǎng)率為 25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要，每年年末要砍伐的木材量為 110a，設(shè)

10、 an 為第 23. 有一種計(jì)算機(jī)病毒可以通過(guò)電子郵件進(jìn)行傳播，如果第一輪被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)是 1 臺(tái)，并且以后每一臺(tái)已經(jīng)被感染的計(jì)算機(jī)都感染下一輪未被感染的 3 臺(tái)計(jì)算機(jī)，則至少經(jīng)過(guò) 輪后，被感染的計(jì)算機(jī)總數(shù)超過(guò) 2000 臺(tái) 24. 如圖所示，在一個(gè) 2n12n1（n 三、解答題（共6小題）25. 某投資商到一開(kāi)發(fā)區(qū)投資 72 萬(wàn)元建起一座蔬菜加工廠(chǎng)，第一年共支出 12 萬(wàn)元，以后每年支出增加 4 萬(wàn)元，從第一年起每年蔬菜銷(xiāo)售收入 50 萬(wàn)元設(shè) fn 表示前 n（fn= 前 n 年的總收入 前 n 年的總支出 （1）該廠(chǎng)從第幾年開(kāi)始盈利?（2）若干年后，投資商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，對(duì)該廠(chǎng)有兩種處理方

11、案：年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí)，以 48 萬(wàn)元出售該廠(chǎng)；純利潤(rùn)總和達(dá)到最大時(shí)，以 16 萬(wàn)元出售該廠(chǎng)，問(wèn)哪種方案更合算? 26. 已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為 a（單位：m2），其中有部分舊住房需要拆除當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門(mén)決定每年以當(dāng)年年初住房面積的 10% 建設(shè)新住房，同時(shí)也拆除面積為 b（單位：（1）分別寫(xiě)出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式：（2）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了 30%，則每年拆除的舊住房面積 b 是多少?（計(jì)算時(shí)取 1 27. 某職工準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一套商品房，要向銀行貸款若干，這筆貸款按復(fù)利計(jì)算（即本年利息計(jì)入下一年的本金生息），利率為 q0qS

12、m+1m+1 即可，也就是 Sm014. D【解析】方法一：依題意可設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列 an，設(shè)其公比為 qq0，由上面 3 節(jié)的容積之積為 3，下面 3 節(jié)的容積之積為 解得 a1q=所以第 5 節(jié)的容積為 a1方法二：依題意可設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列 an，由上面 3 節(jié)的容積之積為 3，下面 3 節(jié)的容積之積為 9 可知 a1a2a所以 a515. C16. A17. B【解析】由題意，該女子從第一天起，每天所織的布的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，記為 a1，a2，a3，其公差為 d，則 a1=5 S3018. A【解析】由題意可知，九個(gè)兒子的年齡成公差 d=3 的等差數(shù)列，

13、且 9故 S9=919. 1600 米20. 921. 1007 或 1008【解析】由題可知 a1a2a3a2016=a2016，故 a1a2a3a201522. 323. 7【解析】假設(shè)第 n 輪被感染的計(jì)算機(jī)為 an 臺(tái)，則第 n+1 輪被感染的計(jì)算機(jī)數(shù)為 an+1=24. 425. （1） 由題意知f由 fn0，即 由 n（2） 方案：年平均純利潤(rùn)f當(dāng)且僅當(dāng) n=故方案共獲利 616+方案：f當(dāng) n=10 時(shí)，故方案共獲利 128+比較兩種方案，獲利都是 144 萬(wàn)元，但由于第種方案只需 6 年，而第種方案需 10 年，故選擇第種方案更合算26. （1） 第 1 年末的住房面積a第 2

14、 年末的住房面積a（2） 第 3 年末的住房面積a第 4 年末的住房面積a第 5 年末的住房面積a依題意可知 1.6a627. （1） 設(shè)貸款金額為 x 元，則 1 年后欠款為 a1 2 年后欠款為 a2 3 年后欠款為 a3仿此，30 年后欠款為 a30因?yàn)?a30所以 x1所以 x=（2） 設(shè)第 8 年開(kāi)始償還的這種貸款金額為 y 元，則 8 年后欠款為 b8 9 年后欠款為 b9仿此，30 年后欠款為 b30因?yàn)?b30所以 y1所以 y=故 x即貸款金額比原貸款金額少 Aq28. （1） 每一年新增加的公交車(chē)數(shù)組成等比數(shù)列 an首項(xiàng) a1=128而2014年的公交車(chē)數(shù)為 a7則 a7（2） 設(shè)第 n 年底，新公交車(chē)總數(shù)為 Sn則 Sn所以 Sn故有 a1即 1283所以 32所以 n故 n 的最小值為 8故到2015年底新公交車(chē)開(kāi)始超過(guò)總量的 1329. （1） 由題意，每年的支出費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）組成首項(xiàng)為 11，公差為 2 的等差數(shù)列，故前 n 年的總支出費(fèi)用為 11