福建省南安一中2023學(xué)年高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是（ ）ABCD2若不相等的非零實(shí)數(shù)，成等差數(shù)列，且，成等比數(shù)列，則（ ）ABC2D3已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，雙曲

2、線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在過且垂直于軸的直線上，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時，點(diǎn)恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（ ）ABCD4在中，“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）ABCD6如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A2014年我國入境游客萬人次最少B后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差7已知函數(shù)，

3、若時，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD8已知集合，則集合( )ABCD9函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（ ）A向右平移個單位B向右平移個單位C向左平移個單位D向左平移個單位10在中所對的邊分別是，若，則（ ）A37B13CD11已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，則（ ）ABC6D12已知滿足，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有且只有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.14用數(shù)字、組成無重復(fù)數(shù)字的位自然數(shù)，其中相鄰兩個數(shù)字奇偶性不同的有_個.15設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則的取

4、值范圍是_.16定義在上的奇函數(shù)滿足，并且當(dāng)時，則_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖所示，直角梯形ABCD中，四邊形EDCF為矩形，平面平面ABCD(1)求證：平面ABE；(2)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值(3)在線段DF上是否存在點(diǎn)P，使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為，若存在，求出線段BP的長，若不存在，請說明理由18（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（）求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)分別交于兩點(diǎn)（

5、與原點(diǎn)不重合），求的最小值.19（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線：.（1）當(dāng)時，求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，求的值.20（12分）在直角坐標(biāo)系中，長為3的線段的兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，且滿足.記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)為曲線上的兩個動點(diǎn)，記，判斷是否存在常數(shù)使得點(diǎn)到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)的值和這個定值；若不存在，請說明理由.21（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面為正三角形，且面面，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）

6、（文科）求三棱錐的體積；（理科）求二面角的正切值.22（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，若三角形的面積大于，求參數(shù)的取值范圍.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的符號，然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【題目詳解】函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.時，時，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.故選：【答案點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值，判斷導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)附近左側(cè)為

7、正，右側(cè)為負(fù)，由正負(fù)情況討論圖像可能成立的選項，是判斷圖像問題常見方法，有一定難度.2、A【答案解析】由題意，可得，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【題目詳解】由，成等差數(shù)列，所以，又，成等比數(shù)列，所以，消去得，所以，解得或，因?yàn)?，是不相等的非零?shí)數(shù)，所以，此時，所以故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.3、A【答案解析】點(diǎn)的坐標(biāo)為，展開利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線計算得到答案.【題目詳解】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，因?yàn)?，所以，?dāng)且

8、僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立，此時最大，此時的外接圓面積取最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入可得，所以雙曲線的方程為故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.4、C【答案解析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價條件為，再利用大角對大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【題目詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，由，可得，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判定，同時也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對大邊以及正弦定理的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.5、C【答案解析】求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點(diǎn)

9、到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍【題目詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題6、D【答案解析】ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【題目詳解】A由統(tǒng)計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B由統(tǒng)計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確；D由統(tǒng)計圖可知：前年的入境游客萬人次

10、相比于后年的波動更大，所以對應(yīng)的方差更大，故錯誤.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計圖，分析出對應(yīng)的信息，對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.7、D【答案解析】通過分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，解方程組即得解.【題目詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因?yàn)闀r，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，所以，解得故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8、D【答案解析】根據(jù)集合的混合運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】，故可得

11、.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.9、C【答案解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識得到答案.【題目詳解】由圖象知：，.又時函數(shù)值最大，所以.又，從而，只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象，故選C.【答案點(diǎn)睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求10、D【答案解析】直接根據(jù)余弦定理求解即可【題目詳解】解：，故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題11、D【答案解析】先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和，進(jìn)而求出，代入題中給的定義即可求解.【題目詳解】由題意，則，得，由定義知

12、，故選:D.【答案點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡單題目.12、A【答案解析】利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結(jié)果.【題目詳解】，.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】畫出函數(shù)的圖象，再畫的圖象，求出一個交點(diǎn)時的的值，然后平行移動可得有兩個交點(diǎn)時的的范圍【題目詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)榉匠逃星抑挥袃蓚€不相等的實(shí)數(shù)根，所以圖象與直線有且只有兩個交點(diǎn)即可，當(dāng)過點(diǎn)時兩個函數(shù)有一個交點(diǎn)，即時，與函數(shù)有一個交點(diǎn)，由圖象可知，直線向下平移后有兩個交點(diǎn)，可得

13、，故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的跟與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題14、【答案解析】對首位數(shù)的奇偶進(jìn)行分類討論，利用分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【題目詳解】若首位為奇數(shù)，則第一、三、五個數(shù)位上的數(shù)都是奇數(shù)，其余三個數(shù)位上的數(shù)為偶數(shù)，此時，符號條件的位自然數(shù)個數(shù)為個；若首位數(shù)為偶數(shù)，則首位數(shù)不能為，可排在第三或第五個數(shù)位上，第二、四、六個數(shù)位上的數(shù)為奇數(shù)，此時，符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.綜上所述，符合條件的位自然數(shù)個數(shù)為個.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的排列問題，要注意首位數(shù)字的分類討論，考查分步乘法計數(shù)和分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能

14、力，屬于中等題.15、.【答案解析】配方求出頂點(diǎn)，作出圖像，求出對應(yīng)的自變量，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【題目詳解】，頂點(diǎn)為因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，令，可得或.又因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對稱軸為，且，所以的取值范圍為.故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值域，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.16、【答案解析】根據(jù)所給表達(dá)式，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可確定函數(shù)對稱軸及周期性，進(jìn)而由的解析式求得的值.【題目詳解】滿足，由函數(shù)對稱性可知關(guān)于對稱，且令，代入可得，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以令，代入可得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，則當(dāng)時，所以，所以，故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與對稱性的綜合應(yīng)用，周期函數(shù)的判斷及應(yīng)

15、用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）見解析（II）（III）【答案解析】試題分析：（）取為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面的法向量，且，據(jù)此有，則平面（）由題意可得平面的法向量，結(jié)合()的結(jié)論可得，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為（）設(shè)，則，而平面的法向量，據(jù)此可得，解方程有或據(jù)此計算可得試題解析：（）取為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面的法向量，不妨設(shè)，又，又平面，平面（），設(shè)平面的法向量，不妨設(shè)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為（）設(shè) ，又平面的法向量，或當(dāng)時，；當(dāng)

16、時，綜上，18、（）直線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（）2.【答案解析】（）由定義可直接寫出直線的極坐標(biāo)方程，對曲線同乘可得：，轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為；（）分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程，由得，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)即可求解；【題目詳解】（）直線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為由曲線的極坐標(biāo)方程得，所以的直角坐標(biāo)方程為.（）與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.所以.所以當(dāng)時，取最小值2.【答案點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)中的幾何意義，屬于中檔題19、（1），；（2）【答案解析】（1）依題意可知，直線的極坐標(biāo)方

17、程為（），再對分三種情況考慮；（2）利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義，求弦長即可得到答案.【題目詳解】（1）依題意可知，直線的極坐標(biāo)方程為（），當(dāng)時，聯(lián)立解得交點(diǎn)，當(dāng)時，經(jīng)檢驗(yàn)滿足兩方程，（易漏解之處忽略的情況）當(dāng)時，無交點(diǎn)；綜上，曲線與直線的點(diǎn)極坐標(biāo)為，（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線，得，可知，所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.20、（1）（2）存在；常數(shù)，定值【答案解析】（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用以及，求得曲線的方程.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，求得到

18、直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合以及為定值，求得的值.當(dāng)直線的斜率不存在時，驗(yàn)證.由此得到存在常數(shù)，且定值.【題目詳解】（1）解析：（1）設(shè)，由題可得，解得又，即，消去得：（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為設(shè)，由可得：由點(diǎn)到的距離為定值可得（為常數(shù)）即得：即，又為定值時，此時，且符合當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線方程為由題可得，時，經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件綜上可知，存在常數(shù)，且定值【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查橢圓中的定值問題，屬于難題.21、（1）見解析（2）（文） （理）【答案解析】（1）證明：取PD中點(diǎn)G，連結(jié)GF、AG，GF為PDC的中位線，GFCD且，又AECD且，GFAE且GF=AE，EFGA是平行四邊形，則EFAG，又EF不在平面PAD內(nèi)，AG在平面PAD內(nèi)，EF面PAD； （2）（文）解：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，面PAD面ABCD，PAD為正三角形，PO面ABCD，且，又PC為面ABC