高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)

1、6 0 曲面及其方程Px,y,z是球面上常用二次曲面的方程及其圖形1、球面設(shè)P 0 x0,y0,z0是球心, R 是半徑,任一點(diǎn),就P0PR,即xx02yy02zz02R2x2y2z2R22、橢球面x2y2z21a2b2c23、旋轉(zhuǎn)曲面設(shè) L 是 x0z 平面上一條曲線fx,z00,L 繞 z 旋轉(zhuǎn)一周所得旋y0,0,z 0轉(zhuǎn)曲面：fx2zy2,z02,zz0 x 0,y 0,0 x,y,zx0 x2y2z02x2yx0 x2y2z0z代入方程fx,z0得fx2y2,z0z例 1、zx2y2,zax2y2稱為旋轉(zhuǎn)拋物面y2z2x0y1,單zx2a2x2y2z2旋轉(zhuǎn)雙曲面：2a2c2c4、橢圓拋

2、物面zax2by2ab0z2x2y2z25、單葉雙曲面1a2b2c2x2y26、雙葉雙曲面1a2b2c27、二次錐面x2y2z20a2b2c2圓錐面z2x2y2z2ax2by28、柱面2拋物柱面2y1ax2a0橢圓柱面x2ya2b2圓柱面xy2R26 0 空間曲線及曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上投影方程（以后講）一般式F 1x,y,z0參數(shù)式xxt0中消去 z,再與 z=0yytF 2x,y,z0zzt曲線F 1x,y,z0在三坐標(biāo)面上投影方程F 2x,y,z0在 x0y 面上投影曲線方程：在F 1x,y,zF 2x,y,z0聯(lián)立；多元函數(shù)微分學(xué) 10二元函數(shù)及其極限與連續(xù)1、zfx,y,定義域?yàn)槠矫嫔夏?/p>

3、一個(gè)平面域極 限 是 否 存幾何上zfx,y為空間一張曲面；2、二元函數(shù)極限P186 例 1、爭(zhēng)論函數(shù)fx,y4x2y42x2y20在0,02y4x 0 x2y20在；解：lim x 0 x y 24x2y442lim x 04x24K4x42lim x 0 x4K2x220y4x2K4xx22K41而x lim 0 x y 24y4y24fxy在0,0 極限不存在 . y4y43、連續(xù)P187 2 0 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分 1、偏導(dǎo)數(shù)定義：zfx,y在點(diǎn)x0y0處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù),可導(dǎo)；記作：zxx0,fxx0,zxxx0,f1x0,y0 xx即：yy0yy00yy 0lim x 0fx

4、0 x,y0fx0,y0fxx0,y0 xlim y 0fx0,yyfx0,y0同理：fyx0,y0yfxf,y在x0,y0存在,稱zfx,y在x0y0例 1、zxy,求z,zxy解：z xyxy1,zxylnxy例 2、P188,例 5,6 設(shè)zy131x2sinx,yx3,x求zx22,112解：zx,1x,zx2,1dzx,123xx2dx2、高階偏導(dǎo)數(shù)f2zfxzfxxx,yzxxzfx2xzfyxz yxx2x22zyzfzxyxyyxyxxy2zzfxyfyxy2yyxy,yx,連續(xù),就3、全微分如zfxx,yyyfx,yAxByoxlnxdyx2y2y可微zfx,在x,全微分yd

5、zfdxfdyydxxyf x,偏導(dǎo)數(shù)f連續(xù)可微可導(dǎo)連續(xù)y例 3、設(shè)ux,xlnyylnx1就dulnyxy例 4、由方程xyzx2y2z22確定zzx,y在點(diǎn),1 0 ,1全微分dzdx2 dy3 0 復(fù)合函數(shù)微分法定理： P194 z = f u . vu = u x . y.v = v x . y z = f u , v = F x . y zfufv, zfufvxuxvxyuyvx例 5、P195,例 5.14 設(shè)z = 1 + x2 + y2 xy 求z2z2x12x2yy2xy解：zexyln1x2y2yln1xyz1x2y2xyxx2z1x2y2xyxln1x2y2222xy1

6、yyx2例 5.15 解zfx2y2,xy,yxzf2 x22 xx2x,x2xxfu,vFxxxxzf4x2xf vx2xx2x2xxu2f2xxxxxxf v2xxxxu例 7、zy2fx2y2,其中fu可微,就yz xzzx2xyfu2yfu2y2zyz2zy例 8、x,u 可微,就y2xy例 9、設(shè)zfx2yy2,求證1z1tzzgu,v具有-xxyyy2證：令x2y2fu就zyfuz2xyfuz12y2fuxf2uyfuf2u1z1z2y fu12yfuxxyyf2uyfuf2u二階可導(dǎo),1zyfuy22xygx,xy,其中例 10、設(shè)zf二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；求2zvgugvyxxgvz

7、ygvu0gvvxxy解：zft2x2z2 ft1gu0guvxyf2tx guvgxy gvv22z0變換成以 u , vy x,試將方程例 11、設(shè)uy,vx2xy為自變量的方程,其中函數(shù)z具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；2z解：zzuzvzyxuxvxvx22z2yzy2zv2zu2yzy2x2x3vx2v2xvuxx3vx4v22z1zy2zv202zuzy22zy22zxyx2vx2v2yvuy2z2zy1zy2z1x2vx2uvxv2x2zy2z2yzyx2xyx2vx3v2x2vx2vux3v2yzy22z0 x2vx2vu2z于是方程變?yōu)椋簔uvuv40隱函數(shù)求導(dǎo)Fxz.y.0確定了zzx

8、y.求z x,zy.,可求得zzy1方程兩邊同時(shí)對(duì) x求導(dǎo),留意zzxx方程兩邊同時(shí)對(duì) y 求導(dǎo),留意zzy.x,可求得y2利用公式zF xzF yxF yyF z3兩邊微分用2,3需詳細(xì)方程給出,簡(jiǎn)單例 12、設(shè)zzxy.由方程exy2zz e0,求zxzzxy.解法一、在方程兩邊對(duì)x 求導(dǎo),留意yexy2zezz0z2yexyxxxz e解法二、設(shè)Fxy.z.exy2 zz ezF xyexyxF z-2ez解法三、在方程兩邊微分xydexyz2 ze z00dexyd2 zde z0exyd2 dzezdzexyxdyydx2dzezdz0即dzyexydxxexydyzz2-e2-ez

9、yexyzxexyx2-ezy2-z ex2y22xfy確定,其中 f 可例 13、設(shè)zzxy.由方程x微就zf2yxlnz定義了zzxy.,求2zy2z例 14、已知方程zyx2解：xzlnzzlnyz.xyzF x11zxF z1lnzlny1xxzz（或方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),留意zzy.x）在方程zxzz兩邊對(duì) x 求導(dǎo),zx2zxzz1zzx2xxxz2z22zxxzz2x2xzxzxz3在1式兩邊對(duì)2x 求導(dǎo)zz12zz-z2z xx法二：2zxx2yxz2xzzzxzz23xxy2xzzz22z1xxx2x3zx例 15、習(xí)題 7 設(shè)ufxy.z.,x2e.yz.0,ysinx,其

10、中 f ,e都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且z0,求dzdx解：duffcosxfz0dxxyzxsinx在x2,sin ex,z0,兩邊對(duì) x 求導(dǎo),設(shè)ux2vuuvvzz0 xxxu2xvesinxcosxzz0 xzu2xvesinxcosx/zxduffcosxf zz/u2xvsin x ecosxdxxy例 16、P200,例： 5.20 50一階偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用1、 空間曲線的切線與法平面曲線 L：（）xxt（）F 1x,y,z0yytF 2x,y,z0zzt曲線 L 在 M0點(diǎn)處切線方程為：xtx0yty0zz0或xtx0yty0ztz0 x0y0zt0dxt0dyt0dzt0例

11、17、P204,例 5.24 ,例 5.25例 5.25 法二在x2zy22z226兩邊微分xdxydyzdz0 0 xy2xdx2ydydz在點(diǎn)M 01,1,2dxdy2dz02dx2dydz0dx:dy:dz12:21:115:5:0211222取1,1,0切線方程x11y1z021例 19、求曲線zy2xy2在1,2,7點(diǎn)處切線方程3x2解：法一2dxdy0dz0點(diǎn)1,2,7代入6xdx2ydydz0得2dxdy0dz0dx:dy:dz1:2:146dx4dydz0切線方程：x11y22z7142、空間曲面的切平面與法線曲面方程：Fx,y,z0點(diǎn)P 0 x0,y0,z0就曲面在P 點(diǎn)處切

12、平面方程：z00FP 0 xx0FP 0yy0Ft0zz00 xyz如曲面方程zfx,y就切平面方程：fxP 0 xx0fyP 0yy0z法線方程：xx0yy0zz0P 0F xF yF z例 20、曲面zx2y2在（ 2,1,3）處的法線方程2x22y21z31例 21、P203,例 5.22 例 22、曲線3x22y212繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)z010, 3 , 2 處的指向外側(cè)單位法向量是 0, 2 , 353例 23、證明：曲面 xyz a 的切平面與坐標(biāo)軸所圍成的四周體體積為常數(shù)證：設(shè)切點(diǎn)為Mx0,y0,z0,Fx,y,zxyza3FMy0z0,FMx0z0,FMx0y0

13、 xyz曲面在 Mx0,y0,z0 處切平面：y0z0 xx0 x0z0yy0 x0y0zaz00即y0z 0 xx0z0yx0y0z3x0y0z03即x0yz0193x3y03z13x0,3y四周體體積V0,3z0623、方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)：ufx,y,z,可微lz0m,n,pp2,l0cos,cos,cos M0 x0,y0,cosm2m2l2, cosm2nnn2cosm2p2p2fncos方向?qū)?shù)：ffcosfcoslxyz或：uucosucosucoslxyz如zfx,yl0cos ,cos 就zzcosxcoslxy分析：uucosku ycos Gu x,xu y,ucos,cos, coslxzu,u設(shè)：Gu x,就u l0lyz設(shè)：u xiu yju為函數(shù)ufz.y.在xz.y.