同濟大學高數第六版基本概念及公式總結(土木數學興趣小組)

1、四川建院土木 1301（數學興趣小組）目錄第一章 函數與極限薚函 第二章 導數與微分. . . .第三章 中值定理與導數的應用 第四章 不定積分. 第五章 定積分. 第六章 定積分的應用.功 .第七章 空間解析幾何與向量代數. . . . . 第八章 多元函數微分法及其應用 . . . . .第九章 重積分 . . 第十章 曲線積分與曲面積分 . . . . . 第十一章 無窮級數 . . . . 第十二章 微分方程. . 第一章 函數與極限第一節(jié)函數教學目的：本節(jié)主要是復習高中階段學過的集合以及函數的概念、性質；介紹鄰域、分段函數、復合函數、初等函數的概念。教學重點：分段函數、復合函數；一、

2、 集合、常量與變量一) B aM aa a M a M 或 a a . .。AxBAABx B B A為BA或讀B。 Z Q RN. BB A,B。若A1 :2 1 x R x x ,2 ,xx即 A。二) 設a和b |,|a 和 b 稱為開區(qū)間( a , b ) 的端點，這里 a ( a ) ， b ( a x b x b b aa和ba a a,b， b a,b.x|a (a b(a.數 + - :+ x|a ，x|， - + .設 a | a的 即 |a lim bf(dxba f(dx即a f(dxlim f(dxbab af(dxa f(dxa f(dxa blim bf(dx)aa

3、 b b f(dx即f(dxlim f(dxbbaab f(dxb f(dx f(dx和 f(dx00 ) ) f(dx即 f(dxf(dx f(dx00lim f(dxlim f(dx0ba ab 0f(dxf(dx ： f(dxlim f(dxbab a f(dxlim f(dxbbaa f(dxlim f(dxlim f(dx0ba0ab 是 則 f(dxlim f(dxlimF()bbaab ablim F)F)lim F()F)bx f(dxF() lim F()Fa)aaxf(dxF()F b ( )lim ( )F xbbx f(dxF() lim F()lim F()xx 2

4、a lim b f(dxtat bf(dx即af(dxlim f(dxbbatatbf(dxabf(dxa b lim t f(dxatb bf(dx即af(dxlim f(dxbtaatbbf(dxbf(dxaa 解 取 Oxy t,vv ,v )( , )vdxdy vxyxy ybyxbxvab,(,) va,)x2y2x2y2x2y2x2y2vdxdy va xxdx a x ( )21dy b yx ( ) 12即xb yyyydx a x ( ) 1xy2dy b yxu令得ydudyay u21bu2 1a 得得xbu (lnylnC)a1Caab Cy) Cy) 將u得 xby

5、1| 得Cyhhyayahx ) ( ) bb2 hhbxu(ln ln )y C將 uayxbarsh (lnylnC)yaxbx 1y 2bb shln(Cy) Cy) Cy) aaay第四節(jié) 一階線性微分方程一、 一階線性微分方程dyP(x)yQ()dx 0dyP(x)y0dxdyP(x)yQ()dxdyP(x)y0dx(y得ln|yP(dxC1或yC e Ce P(x)dx ( )1C2y52 x1(x例 2 解 dy 2ydx x10y x1把 C 得2x15( 2 ( u x 2 u xu(x2 (x212( u x得2332u (x C 2 2332y(x (x C2x152 (

6、)()(x 2(dx xdx2ln(xe P(x)dxe2ln( x( 2 x(eP(x)dx52122332 (x (x (x (x22332ye P(x)dx ( ) P(x)dx ( ( C Q xe C xx2二、伯努利方程dyP(x)yQ(x)yn ( ndx以 y 得ndyynP() Q()ndx令 z1 ndzdx)()z()dy y a(ln)y2例 3 dx x解 以 2得1dyy2 y1alnxdx xd(y1)1 y ax1 即x令 y dz 1dx x zalnxazC (ln)22以 y 1代 zayxC (ln)212第五節(jié) 全微分方程第六節(jié) 可降階的高階微分方程教

7、學目的：使學生掌握三類可降階的高階微分方程教學重點：y(n)f (x)型的微分方程一、y(n)f (x)型的微分方程 n 次y f(xdx1(n y(n f(dxC dxC12例2 mFFt在 0時 F t F TF0解 設 td x2mFt)dt2力 隨 t且 0F F T00tTFt)F )0Fmd xtT2 )0dt2dxdtx| 0| 0t0t0得Fdxt2T t )C0dt m得F11tT3x ( t )CtC02m 212dxdt| 0 | 0t0得 C C 12Fm 21t3Tx ( t )02解 設 tF 0Ft) ttT 1Ft)F )故即F T00FmtT )0 | | 0

8、0得Ft2 t )C0m得FT11t3x ( t )C02m 2T2 | | 00得 C C 12Fm 21t3Tx ( t )02二、型的微分方程設 p設 C 則1dydx (,C )1y (,C dxC12例 3 x 2| | 3x0 x0解 設 有 2p xx2得px C2即C ) C e C11 | 得 C x01得 C 2 | 得 C x02x 3三、型的微分方程設 有 ypp f(,)f(,) p C 1(,C )xC21例 4 20解 設 則 y p得p20在 0 p得 p ypy即或 Cyc 1或C e C c 111第七節(jié) 高階線性微分方程第八節(jié)二階常系數齊次線性微分方程教學

9、目的：使學生掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數非齊次線性微分方程的解法教學重點：二階常系數齊次線性微分方程的解法一、二階常系數齊次線性微分方程0 q y y C y C y 121 12 2 使 e e rxrx0得r e 2rx r 2 e rx 0 0 r r 可12pp q2r 2ey er x2 r r y、r x11212yey er x 1ey ee( ) 1 2、又 11r xr xr r x122r x22yCe C e r xr x1122y ey xer x1 r r r x、11212y er x又11(xe (xe (xe )r xr e xre qx

10、er xr xr xr x21r xr x11111111e r )xe r pr )0r xr x211111yr xy xexr x且 2121y er x11yCe C xer xr x1112 r e e ( i x( i x 2 xxxy e 和 y e 得( i x( i x12y e i( i xx1y e i( i xx212y y 2e cos x (y y )xx12121iy y 2iee sin x (y y )xx1212故 、y x也xx2y y xxx12C C xx12 0 r 02 r r 12 例 1 0解 r 2 r r 312C e C e xx12例

11、2 0 | | 2x0 x0解 r 22 r r 112C C e x12 | 4得 C x01C e x2 x得C C e x22 | 2得 C x02e xn y p y p y p p )12n1n n p p p p 121n n n p D p D p p n1n2121n則 n p D p D p p 0或 n12121nD DD ( nn令 e 則rxe r p r p r p p e e rxn1n2rxrx121n r 則 e 0rxn r p r p r p p 0n12121n 0 r rx r e C C x1 212k r ke C C C x rxk112k對 k

12、r k1 2C C C x (D D D x xk1k112k12k例 4 0 解 r r r 即 r r 43222 r r 0和 r 123 4C C e C C x1234例 5 0 解 r 44r ) r )22xxye C cos xC sin ) eC cos xC sin )2212223242二、二階常系數非齊次線性微分方程簡介) q Y )Y當 P 型xm當 P 時 xmyxP 2m r 0 則 Q m 22Q b x b x b b mm1m01m1m b b b 01mQ xm r 0 則 但 22P 2m 1 mQ b x b x b b mm1m01m1m b b b

13、 01m xm r 0則 22P 2m 2x Q 2mQ b x b x b b mm1m01m1m b b b 01mx Q 2xm P xmx Q kxm Q P 而 k 按 mm 1或 例 1 1解 是 P P xmmr 2 0b b 01得b b b 001 x得b 30b b b b b 10010111 3b b 0*x13 P P xlnPP xlne ee eixixixixe P()P ()x2iln1212 P()iP ()e P()iP ()ei)xi)xlnln(ei)xP(ei)x1212() (PP) P() (PP)而 mlnln P ) y xQ ) ixkix1m則ki)y*x Q (e qyP(ei) 1m k按 0或 PP xln*x Q (ex Q (ek )x