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1、建筑力學(xué) 第十五章第1頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三建筑力學(xué)理想壓桿:把軸線是筆直的、材料是均勻的、壓力F的作用線 與軸線重合的壓桿稱(chēng)為理想壓桿。失去穩(wěn)定:壓桿直線狀態(tài)的平衡由穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡 稱(chēng)為失去穩(wěn)定,簡(jiǎn)稱(chēng)失穩(wěn)。臨界應(yīng)力:對(duì)穩(wěn)定平衡的壓桿,逐步增大其軸向力,當(dāng)軸向力 增大到一定值以后,壓桿原有的穩(wěn)定平衡狀態(tài)就會(huì) 變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。穩(wěn)定平衡過(guò)渡到不穩(wěn)定平衡 需要的最小軸向力稱(chēng)為臨界壓力,簡(jiǎn)稱(chēng)臨界力,用 符號(hào)Fcr表示。 臨界力Fcr是判別壓桿是否會(huì)穩(wěn)定的重要指標(biāo)。當(dāng)FFcr時(shí),平衡是穩(wěn)定的;當(dāng)FFcr時(shí),平衡是不穩(wěn)定的。在材料。尺寸、約束均已確定的前提下
2、,壓桿的臨界力Fcr是個(gè)不確定值。不同的壓桿,其臨界力也是不同的。第2頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三 F 穩(wěn)定平衡 FFcrF干撓力 F撤去干撓力 穩(wěn)定平衡:干撓力撤去之后,構(gòu)件能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。 F不穩(wěn)平衡 F FcrF干撓力 F撤去干撓力 不穩(wěn)定平衡:干撓力撤去之后,構(gòu)件不能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。第3頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三建筑力學(xué)15.2 壓桿臨界力的歐拉公式 兩端鉸支壓桿的臨界力lFcryxxyyxFcrM(x)由平衡方程得:(a)撓曲線近似微分方程為(b)將式(a)代入式(b)得(c)令 ,得微分方程:第4頁(yè),共18
3、頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三建筑力學(xué)通解為:由 x = 0,y = 0;得B = 0,于是由 x = l,y = 0;得若A = 0,則 y=0,撓曲線為直線,無(wú)意義,只能于是得:由式 得:上式為為壓桿的最小臨界力,但n = 0,F(xiàn)cr= 0,故取n = 1。即上式是兩端鉸支壓桿臨界力的歐拉公式。第5頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三建筑力學(xué) 其它支承壓桿臨界力的歐拉公式與此類(lèi)似,寫(xiě)成統(tǒng)一形式:其中 稱(chēng)為桿的長(zhǎng)度系數(shù)。 不同桿端約束的壓桿臨界力直徑、材料相同,而約束不同的圓截面細(xì)長(zhǎng)壓桿,哪個(gè)臨界力最大。例2l(d)l(a)F(b)1.3lF1.7l(c)
4、F第6頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三 桿的長(zhǎng)度系數(shù)與桿端約束情況有關(guān),常見(jiàn)桿端約束的長(zhǎng)度系數(shù)如下表。ll兩端鉸支一端固定一端自由一端固定一端鉸支兩端固定ll約束情況長(zhǎng)度系數(shù)壓桿形狀第7頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三建筑力學(xué)15.3 歐拉公式的適用范圍 臨界應(yīng)力總圖 臨界應(yīng)力 臨界力除以壓桿橫截面面積,所得應(yīng)力稱(chēng)為臨界應(yīng)力。引入記號(hào):則有: 上式為歐拉公式的另一種表達(dá)式。式中 稱(chēng)為壓桿的柔度或長(zhǎng)細(xì)比,它是一個(gè)無(wú)量綱的量。柔度越大,即壓桿越細(xì),其臨界應(yīng)力越低,越易失穩(wěn)。第8頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三建筑力學(xué) 歐拉公式
5、的適用范圍 歐拉公式是根據(jù)撓曲線近似微分方程得到的,而撓曲線近似微分方程是在材料線彈性基礎(chǔ)上建立的,因此歐拉公式中的臨界應(yīng)力不得超過(guò)材料的比例極限,即取cr= P時(shí)的柔度值為P,則有或者 式中P是判斷歐拉公式是否適用的柔度。當(dāng) P時(shí),才能滿足p,歐拉公式才能適用,這種桿稱(chēng)為大柔度桿或細(xì)長(zhǎng)桿。第9頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三建筑力學(xué)臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖:壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的關(guān)系曲線,即cr曲線。第10頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三例1.5myz10040圖示壓桿的E=70GPa,P=175MPa。此壓桿是否適用歐拉公式,若能用,臨界力為
6、多少。解:由可得因 P,此壓桿為大柔度桿,歐拉公式適用,臨界力為:第11頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三圖示兩端球形鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿,彈性模量E200Gpa,試用歐拉公式計(jì)算其臨界載荷。 (1) 圓形截面,d=25 mm,l=1.0 m; (2) 矩形截面,h2b40 mm,l1.0 m; (3) 16號(hào)工字鋼,l2.0 m;例bPdlhzyyz第12頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三解:(1) 圓形截面桿:兩端鉸支: =1, (2) 矩形截面桿:兩端鉸支:=1, IyIz(3) 16號(hào)工字鋼桿:兩端球鉸:=1, IyIz 查表Iy93.110-8 m
7、4第13頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三例圖示圓截面壓桿,d=100mm,E=200GPa,P=200MPa。試求可用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)桿的長(zhǎng)度。lPd解:通過(guò)公式計(jì)算可得:第14頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三建筑力學(xué)15.4 壓桿穩(wěn)定的實(shí)用計(jì)算 可與建立壓桿強(qiáng)度條件類(lèi)似建立壓桿的穩(wěn)定條件: 當(dāng)給出穩(wěn)定安全系數(shù)時(shí),可用上式進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算。若給出壓桿許用應(yīng)力,則式中nst為穩(wěn)定安全系數(shù)。上式可得:或者式中 為壓桿穩(wěn)定系數(shù)。第15頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三例圖示為型號(hào)22a的a類(lèi)工字鋼壓桿,材料Q235鋼。已知壓力P=
8、280kN,容許應(yīng)力=160MPa,試校核壓桿的穩(wěn)定性。4.2mPyx解:通過(guò)查表可得22a工字鋼的相關(guān)尺寸分別為:查表:因此,說(shuō)明壓桿滿足穩(wěn)定性的要求。第16頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三例兩端鉸支壓桿,尺寸如圖所示。已知材料的E=200GPa,P=200MPa。若取穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3,試確定壓桿的許用應(yīng)力。解:通過(guò)公式計(jì)算可得:因P,歐拉公式適用。600P30 20yx單位:mm第17頁(yè),共18頁(yè),2022年,5月20日,8點(diǎn)23分,星期三建筑力學(xué)15.5 提高壓桿穩(wěn)定性的措施1、合理選擇材料細(xì)長(zhǎng)桿:與E成正比。中長(zhǎng)桿:隨 的提高而提高。所以采用高強(qiáng)度合金鋼可降低自重,提高穩(wěn)定性。2、合理選擇截面形狀 根據(jù)歐
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