(典型題)高中數(shù)學(xué)必修四第二章《平面向量》檢測(包解析)

1、， 3， 9 ， 3， 9 一、選題1己知平面向量 b滿足 a ，則 a 的最大值為（ ）A B 2 5C 52已知O為正三角形ABC內(nèi)一點，且滿足OA ，若 OAB的面積與 OAC 的面積之比為 3則（ ）1A23已知向量 B， b 3C4，若向量 c 滿 ， （ ）A 7 B C 4已知非零向量 ， 夾為 45，且 ， ,則等于（ ）A 5若向量 a ， b 滿|B 2a |= ， bC =（，） 2=5， a 與 的角為（ ）A90 B 45 6在中， ，若 ，則向量 BC 在 BA 上的投影是（ ）A75B77125C771257已知 b 是位向量， （ ）b 若量 c 足 ，| c

2、|的最大值為A B C 2 2 8在ABC中， | AC BC ， O 是ABC的內(nèi)切圓，且與 BC 切于 D點，設(shè) ， AC ， A （ ）B C2 1a b3 9如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，原點O為正八邊形PP P P 1 4 6 7 的中心，PP x1 軸，若坐標(biāo)軸上的點 M （異于點O）滿足OM OP i j（其中 i j ，且 i、j ），則滿足以上條件的點 的數(shù)為（ ）已知 ， 為位向量， a 已知 ， 為位向量， a A B C10中， 為BC邊上一點，且 AD BC ，量 AB 與量 AD 共，若 10， ， GA GC ，ABCG（ ）A B 5C10211知 的角 A

3、， ， C 所的邊分別為 ， ， ，量 , b ，n , )，若 /，則 （ ）A5B23C12知正項等比數(shù)列 n，若向量 2 ， log a a )A12 B8 2C D二、填題13知平面向量 ， b 的夾角為 a 的小值_.14共線向量 a ， b 滿足 | b |，且 ( )，則 的夾角為_.15知圓 : x 2 2 ， A點為圓上第一象限內(nèi)的一個動點，將 逆針旋轉(zhuǎn) 90得OB ， 1,0，則 的取值范圍16知O為內(nèi)一點，且滿足 OB OC ，延AO交于點 D .若，則_.BD b，且 3，則 _18知 ABC 中， AB ， ， BC ，若點 D 滿 2，則 b AB t b AB t

4、 19圖，在四邊形 中， 60， AB ， BC ， AD ， M， 是線段BC上的動點，且 | 則 的值范圍為20平面向量a， 為單位向量， ，空間向量滿足 ，a ，b ，對任意的實數(shù) 三、解題t , ， c a 1 2的最小值是21平面直角坐標(biāo)系 中已 ， (2,3) ， ( （）以線段 AB、為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；（）存在 軸一點 滿 BC AP ，求 BPC 22 （） ，實數(shù) 的值；（） m x y b x y R，且m ， 與 的角為 ，求 ， 的.23圖，在ABC中， AB AC ， .（） 的；（）點 P 在 A 為心， 為半徑的圓弧BC上運動，且 ，其中x . 求

5、 的大.24知單位向量e1，e2的夾角為60，向量a 1 ， 2 1，t R.（） / b ， 的值；（） 求向量 a ， b 的角.25知單位向量 ， ，夾為 2，求 值（） a / .（） b ， a 23，向量 ，量 b 1 1 2.26圖，在直 eq oac(,角)ABC 中，點 D 為邊 BC 的靠近點 B 的三等分點，點 E 為 AD 的點2 2 2 2 AB （） AB AC 表 和 EB ；（）向量 EB與 EC 夾的余弦值【參考答案】*試卷處理標(biāo)記，請不要除一選題1解析：【分析】利用 a 得到 2cos ，令 ，則 t，利用平面向量的運算法則得到3a t，再利用基本不等式即可

6、求解.【詳解】因為 a ，所以 a cos b ，則 b ，令 ，所以b t，則 a b 9 a a t 2 9 t22 9 2 ， a b2 eq oac(,S) eq oac(,S) 1 22 t2 ，所以3a t， 利用基本不等式知： a a 222，則 t t t ，當(dāng)且僅當(dāng) 2 2 時等號， 此時 t .則a b 的最大值為 .故選：【點睛】思路點睛：利用已知條件得到 b ，令 ，則 t，把問題化為了單一變量的函數(shù)問題，再利用平面向量的運算法則得到3a t，最后利用基本不等式即可解.2A解析：【分析】分別取、的中點 D 、 E，連接 、 ，平面向量的線性運算可得OD OE ，進(jìn)而可得

7、 eq oac(,S)，即可得解【詳解】分別取 、 BC 的中 D 、 ，接 、 AE ，圖，所以 ABC 的中位線，因為 OC 所以 OD OE ，所以 、 E 、 O 三共線， eq oac(,S) eq oac(,S) eq oac(,S) eq oac(,S) eq oac(,S) eq oac(,S) 所以 1 3 eq oac(,S)，所以O(shè)D 1 1 即 OD OE ，所 即 . 2 2 故選：【點睛】本題考查了平面向量共線、線性運算及基本定理的應(yīng)用，考查了運算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸 思想，屬于中檔.3D解析：【分析】設(shè)出 c x, y )【詳解】，根據(jù)向量的共線與垂直的坐標(biāo)運算，列

8、出方程組，即可求.設(shè) c x y )，向量 ， ，可得 2), a (3, ，由 / ，得 y 2) ， 3 x y 0，由c 3x ， y 聯(lián)立方程組 ，解得 7 x , y ， ) 9 3.故選：【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示，以及向量的共線與垂直的坐標(biāo)運算及應(yīng)用，其中解答中 熟記向量的共線和垂直的坐標(biāo)運算時解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能.4A解析：【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算， 【詳解】 兩邊平方即可求. , a , ， 夾角為 2 a )22 2a a , | cos4 ,解得：| | 2，故選：c c 【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，數(shù)量積的定義，屬于中檔. 5C解析

9、：【詳解】由題意可得 b ( 5,所cos b a 5 a 2,又為 ,所以 b , C. 6B解析：【解析】由正弦定理得，AC 5 cos sin B sin C sin 2C 5,由余弦定理得， C BC 2 2 11 BC ,則 2 BC cos，故選 7C解析：【分析】通過建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算和圓的方程及數(shù)形結(jié)合即可得出 【詳解】 |b |， ， 可 c c ，( x y ，（）+（12 的大值 12 2 故選 【點睛】j i jP j i jP 熟練掌握向量的坐標(biāo)運算和圓的方程及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵 8B解析：【分析】由題得三角形是直角三角形，設(shè)AB AC ，設(shè)DB x

10、 , AD AE y, EC 求出 y ，再利用平面向量的線性運算求.【詳解】因為 | AB |:| AC |:| |3: 4:5 ，所以是直角三角形，設(shè)AB AC 4, BC 如圖，設(shè) BF x, AD y, CF 由題得 x y y x z x ，所以AD BD AB 3 2 3 2 AB ( ) AB a 5 5 5 5.故選：【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水 9D解析：【分析】分點 在 、 y 進(jìn)行分類討論，可得出點 個數(shù).【詳解】分以下兩種情況討論：P 、 P 關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，由此可得出點 M 的 i若 在 x 軸上，則 、 i j N軸對稱

11、，由圖可知， 與 P1 8、 P 與 P 、 與 P 與 P 于 軸稱， 2 3 i 2 i 2 個；此時，符合條件的點 有 4若 在 上，則 P 、 i j Nj 軸稱，由圖可知， 與 、 P 與 、 與 、 與 關(guān) 軸對稱， 5 8 6 此時，符合條件的點 有 4個綜上所述，滿足題中條件的點 的數(shù)為.故選：【點睛】本題考查符合條件的點的個數(shù)的求解，考查了平面向量加法法則的應(yīng)用，屬于中等. 10解析：【解析】取 BC 的中點 E， 向量 共，所以 、 三共線，中 邊上的中線與高線重合，則AB AC .因為 GA GB ，以 G 為的重心，則GA AC )3 2.所以CE CG 12 AB2,

12、 CG 本題選擇 B 選項 11解析：【分析】由 n ，得.結(jié)余弦定理，可求角C.【詳解】m a b ), c a )，且 n 整理得 .，又c222 cos C . , C .故選：【點睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)表示和余弦定理，屬于基礎(chǔ). 12解析： 2 2 2 2 2 2 【分析】本題先根據(jù)平行向量的坐標(biāo)運算可得 a a ，再根據(jù)等比中項的知識，可計算出 ，在求和時根據(jù)對數(shù)的運算及等比中項的性質(zhì)可得到正確選項【詳解】解：由題意，向量 a ， b 2， a / b則 8 ，即 a ，根據(jù)等比中項的知識，可得 a ，a 5， 4， log a log a log ( ) ( ) ( a ) (

13、 a ) ( a a ) a log 9log 218故選： D 【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，以及數(shù)列與向量的綜合問.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想， 平行向量的運算，對數(shù)的計算，邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能屬中檔題二、填題13【分析】先利用平面向量的夾角為且解出然后求解的最值即可得到的最值 【詳解】因為所以而當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以故答案為：【點睛】本題考查平 面向量數(shù)量積的運用考查模長最值的求解難度一般解析： 6【分析】先利用平面向量 ， 的角為 a 值即可得到 a 的值【詳解】 ，然后求解 a 的因為 a 所以 a ，而a b ，當(dāng)且僅當(dāng) b 時等號成立，所以 故答案為： 6 . 1)( s

14、in 1) sin sin cos 1)( sin 1) sin sin cos 【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運用，考查模長最值的求解，難度一. 14【解析】由垂直可=0 即又因為所以填（或）解析：【解析】由垂直可知a |2 ,a | 2,a 1 , b a 2,又為a , ,所 , .填（或 15【分析】由題意可設(shè)即有結(jié)合應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求的取值范圍； 【詳解】由題意設(shè)則即有 而即 故答案為：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積 的坐標(biāo)表示結(jié)合坐標(biāo)的三角表示正弦函數(shù)的區(qū)間值域求數(shù)量積的范圍；解析：【分析】由題意可設(shè)，0 2，即有 ，結(jié)合 1,0 應(yīng)數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求 【詳解】的取值范

15、圍；由題意，設(shè)，0 2，則 ，即有PA(cos ， ， sin( ) 1，而 ( , )4 4 2 ，即 ) ) ， 2)，故答案為：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合坐標(biāo)的三角表示、正弦函數(shù)的區(qū)間值域求數(shù)量積 的范圍；16【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為結(jié)合得到設(shè)列出關(guān)于的方程組由此求得【詳 解】由于所以所以即因為即化簡得設(shè)所以解得故答案為：【點睛】本小題主要 考查平面向量的基本定理考查平面向量的線性運算考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解析：【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為AO AB ，結(jié)合BD ，得到 AB AC 1 ，設(shè) AO ，出關(guān)于 的方程組，由此求得.【詳解】由于 OC ，以 OA ， 5所以

16、AO ， AB AC 9因為 BD ， AD .化簡得AD AB ，設(shè)AO AD k AB AC 1 ， k 3所以 ，解得k 5.故答案為： a 2 a 2 【點睛】本小題主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的線性運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué) 思想方法，屬于中檔.17【分析】根據(jù)向量的夾角公式及數(shù)量積的運算計算即可求解【詳解】因為 又所以故答案為：【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的定義運算法則性質(zhì)向 量的夾角公式屬于中檔題解析：6【分析】根據(jù)向量的夾角公式及數(shù)量積的運算計算即可求. 【詳解】因為cos c | a a ) 2 2 (2 ) 22 3 4 4cos332，又 ，所以 c 6，

17、故答案為：【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的定義，運算法則，性質(zhì)，向量的夾角公式，屬于中檔. 18【分析】根據(jù)以為一組基底由得到再由求解【詳解】因為又因為所以所以 故答案為：-12 【點睛】本題主要考查平面向量基本定理和向量的線性運算還考 查了運算求解的能力屬于中檔題解析 【分析】根據(jù) AC ，以 AB 為一組基底，由BC )AC 22 2 1 25 154 BC )AC 22 2 1 25 154 4 2 AB ，得到AB 152，再由 1 AB AD AC AB 【詳解】求解.因為 BC AB ) 2 AB 又因為 ，AC ，BC 所以AB 152，所以DB AD ) AC AD ) 2

18、1 AB AC 3 2 AB AB 9 4 4 4.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量基本定理和向量的線性運算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔 題19【分析】首先以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)表示再求取 值范圍【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系當(dāng)時取得最小值當(dāng)時取得最大值所以 的取值范圍為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)法解解析： 【分析】首先以點 為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示 ，求取值范 圍【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系， A DM ，DM ， x ，當(dāng) x 時取得最小值 ，當(dāng) x 時取得最大值 ， 所以 的取值范圍為 4 4 故答案為：

19、【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用坐標(biāo)法解決數(shù)量積的范圍問.20【分析】根據(jù)題意將其代入并且結(jié)合化簡整理進(jìn)而可求得最小值【詳解】 解：由題得將條件代入可得上式當(dāng)且僅當(dāng)取等號故的最小值是故答案為：【點 睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)以及二次式的最值問題 解析：【分析】根據(jù)題意， a22 ，其代入 | c t a b ) | ，并且結(jié)合| c ， ，b ，簡整理 | t t 3 (t 36 進(jìn)而可求得最小值 4【詳解】解： c t b ) t c t c t t b ， 由題得 ，| c ， ， b ， 將條件代入可得上式 t a b abt a t c t t b t t t t

20、 12 t 364 t t (t 4) 4 36 ，當(dāng)且僅當(dāng)t ，t 4取等號，故 c a b | 2的最小值是，故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)以及二次式的最值問題，還考查了運算求解 的能力三、解題5211） ， 2 ；（） arccos 5【分析】 ， ， （）算 和 可得；（）求出 點標(biāo)，再求 和 的角即得 【詳解】（）題意 AB ， AC ， (2,6) 2 2 ，AB (4,4) 2；所以所求對角線長為 和 4 ；（）P (0, )，則由 AP得3 y 2 ，y ，即P (0, ，PB (2,6)， 2)， PB 5 PB PC 2 5所以 【點睛】關(guān)鍵點點

21、睛：根據(jù)向量加減法的幾何意義，以線段 AB、為鄰邊的平行四邊形的對角線長就是 AC 和差的模而求 BPC 可以算作是 PB , 的夾角，也可以兩直 線的夾角公式求解221） 12；（） x ， 或x ，y .【分析】（）據(jù)向量直的坐標(biāo)運算即可求解；（）模的向坐標(biāo)運算及夾角的向量坐標(biāo)運算聯(lián)立方程即可求. 【詳解】（） ， b ， ， .，即 ，（） ， b ，m a y b 2 y,3 y y 又m 3， y y，又 m x y y 3 2，即x ， 由 ， 解得 或 x y ， ， 或 y .【點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，考查了垂直關(guān)系，夾角公式，模的運算，屬于中檔23） 32；（）【

22、分析】(I）立標(biāo)系，求出向量坐標(biāo)，代入數(shù)積公式計算；）用向量坐標(biāo)運算，得到三角函數(shù)，根據(jù)角函數(shù)求出最大. 【詳解】（）AB AB ) AB AB 2 2.（）立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 ， 3 ) . 2設(shè) (cos，由 ，得 (cos (1,0) ( 3, ) . 2所以 ,sin 2所以 y 1sin 2 sin cos 2 3 3 3 1 ( sin cos 3 sin(2 ) ，因為2 7 ， 2 , 3 6 6.所以，當(dāng)262，即3時， 的大值為 .【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量的坐標(biāo)運算，正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬 于中檔題241）t ；（）3.【分析】（）據(jù)題意設(shè) a kb ，有 ( e ) ( ) ，分析可得 ， 1 解可得 t 的值；（）據(jù)題意設(shè)向量 a ， b 的夾角為數(shù)量積的計算公式可得 a 、 | |以及 b，由cos b計算可得答案【詳解】（）根據(jù)題，向量 a ， b 1 2 1則有 ( ) ( ) ， ，若 b，則設(shè) a kb ， 則有 ，解可得t ；（）據(jù)題意設(shè)向量 a ， b 的角為 若