關(guān)于高壓鍋銷(xiāo)售量的預(yù)測(cè)分析

1、高壓鍋銷(xiāo)售量的預(yù)測(cè)分析摘要Logistic增長(zhǎng)曲線模型和Gompertz增長(zhǎng)曲線模型是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的兩個(gè)常用模型，可以用來(lái)擬合銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)趨勢(shì)。本文運(yùn)用以上兩種曲線模型研究了某地區(qū)高壓鍋的銷(xiāo)售量的變化規(guī)律，并根據(jù)給定的1981年到1993年高壓鍋銷(xiāo)售量的數(shù)據(jù)，運(yùn)用趨勢(shì)分析法，分別建立指數(shù)增長(zhǎng)模型、Logistic增長(zhǎng)曲線模型和Gompertz增長(zhǎng)曲線模型來(lái)對(duì)高壓鍋的銷(xiāo)售量進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，并對(duì)各模型進(jìn)行了比較分析。一、模型的背景問(wèn)題描述趨勢(shì)分析法又叫比較分析法、水平分析法，它是通過(guò)對(duì)中各類(lèi)相關(guān)數(shù)字資料，將兩期或多期連續(xù)的相同指標(biāo)或比率進(jìn)行定基對(duì)比和環(huán)比對(duì)比，得出它們的增減變動(dòng)方向、數(shù)額和幅度

2、，以揭示企業(yè)財(cái)務(wù)狀況、經(jīng)營(yíng)情況和現(xiàn)金流量變化趨勢(shì)的一種分析方法。趨勢(shì)分析法在定量預(yù)測(cè)。趨勢(shì)分析法又可稱(chēng)為趨勢(shì)曲線分析、曲線擬合或曲線回歸。它是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)資料來(lái)擬合一條曲線，使得這條曲線能夠反映出研究對(duì)象本身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，然后按增長(zhǎng)趨勢(shì)曲線，對(duì)要求的未來(lái)的某一點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)，預(yù)測(cè)出該點(diǎn)該時(shí)刻的研究對(duì)象的預(yù)測(cè)值。能夠正確并掌握認(rèn)識(shí)銷(xiāo)售量的變化規(guī)律，才能建立正確的銷(xiāo)售量預(yù)測(cè)模型，做出準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，為企業(yè)未來(lái)發(fā)展方向，企業(yè)發(fā)展定位，商品生產(chǎn)作出有利預(yù)測(cè)。下表為某地區(qū)1981年到1993年間高壓鍋的銷(xiāo)售量列表（單位：萬(wàn)臺(tái)）。表1-1： 高壓鍋的銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)臺(tái)）年份ty年份ty1981043.6519

3、8871238.7519821109.8619898一五60.0019832一八7.2119909一八24.2919843312.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25本文根據(jù)表1-1高壓鍋的銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)，分析銷(xiāo)售量的變化規(guī)律，得到該地區(qū)高壓鍋的銷(xiāo)售量的變化趨勢(shì)的擬合曲線，建立銷(xiāo)售量的模型，通過(guò)建立的銷(xiāo)售量模型，得到模擬曲線，根據(jù)得到的擬合曲線，并對(duì)該地區(qū)的高壓鍋銷(xiāo)售量進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過(guò)預(yù)測(cè)對(duì)該地區(qū)高壓鍋生產(chǎn)企業(yè)作出指導(dǎo)。當(dāng)?shù)仄髽I(yè)可以根據(jù)預(yù)報(bào)的高壓鍋銷(xiāo)售量，對(duì)高壓鍋生產(chǎn)量進(jìn)行控制，避免了因?yàn)?/p>

4、市場(chǎng)的盲從效應(yīng)而造成的損失。二、基本假設(shè)1、產(chǎn)品的銷(xiāo)售不受人為因素影響。2、高壓鍋的銷(xiāo)售量隨時(shí)間連續(xù)變化。3、任一單位時(shí)刻，高壓鍋的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的高壓鍋總量成正比。4、銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)律短時(shí)間內(nèi)是不變的。5、在處理數(shù)據(jù)、擬合曲線，得到模擬曲線的過(guò)程，都不考慮隨機(jī)誤差。6、在一段時(shí)間里，銷(xiāo)售市場(chǎng)是平穩(wěn)發(fā)展的，在高壓鍋的銷(xiāo)售過(guò)程中，市場(chǎng)對(duì)高壓鍋的需求量穩(wěn)定。7、假設(shè)說(shuō)明：嚴(yán)格的說(shuō)，討論銷(xiāo)售量所建立的模型屬于離散型模型，但在銷(xiāo)售量基數(shù)很大的情況下，突然地增加或減少的只是單一的個(gè)體或少數(shù)幾個(gè)個(gè)體數(shù)，相對(duì)于全體數(shù)量而言，這種改變量是極其微小的，因此，銷(xiāo)售量可以看作是可隨時(shí)間的連續(xù)變化，這樣，就可以采用微分方

5、程的工具來(lái)研究這一問(wèn)題。三、問(wèn)題分析本文要求根據(jù)某地的1981年到1993年間高壓鍋銷(xiāo)售量的數(shù)據(jù)，建立高壓鍋的銷(xiāo)售量模型。根據(jù) 表1-1：高壓鍋的銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)臺(tái)）提供的數(shù)據(jù)，以時(shí)間t為衡軸，銷(xiāo)售量y為縱軸，建立銷(xiāo)售時(shí)間t與銷(xiāo)售量的關(guān)系圖，如圖表3-1：圖表 3-1高壓鍋的銷(xiāo)售量高壓鍋的銷(xiāo)售量05001000一五0020002500300002468101214時(shí)間t銷(xiāo)量y根據(jù)圖表3-1，顯然，高壓鍋的銷(xiāo)售量隨時(shí)間的變化呈指數(shù)增長(zhǎng)。產(chǎn)品的銷(xiāo)售平穩(wěn)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展的穩(wěn)定，銷(xiāo)售市場(chǎng)的平穩(wěn)發(fā)展，高壓鍋在銷(xiāo)售過(guò)程中，市場(chǎng)的外部環(huán)境總體穩(wěn)定，在這一假設(shè)下，高壓鍋的銷(xiāo)售量是隨著時(shí)間的連續(xù)變化而變化的，也就是說(shuō)

6、，高壓鍋的銷(xiāo)售數(shù)量是連續(xù)變化的，但總體分析可以得出增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的高壓鍋總量成正比，銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)律是不變的。據(jù)此，建立高壓鍋的銷(xiāo)售量指數(shù)增長(zhǎng)模型。四、符號(hào)說(shuō)明 固有高壓鍋銷(xiāo)售量增長(zhǎng)率，即： 時(shí)段的高壓鍋銷(xiāo)售量數(shù) 高壓鍋的最大銷(xiāo)售量，顯然有五、模型建立1、建立高壓鍋指數(shù)增長(zhǎng)模型假設(shè)商品是自然銷(xiāo)售的，即不受人為因素影響，記時(shí)刻t的銷(xiāo)售量為x(t)，在銷(xiāo)售量基數(shù)很大的情況下，突然地增加或減少的只是單一的個(gè)體或少數(shù)幾個(gè)個(gè)體數(shù)，相對(duì)于全體數(shù)量而言，這種改變量是極其微小的，可以忽略不計(jì)。即銷(xiāo)售量可以看作是可隨時(shí)間連續(xù)變化的，將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時(shí)刻(t=0)的銷(xiāo)售量為，假設(shè)銷(xiāo)售量增長(zhǎng)率為常數(shù)

7、r，即單位時(shí)間內(nèi)的x(t)的增量等于r乘以x(t)?？紤]到時(shí)間內(nèi)高壓鍋銷(xiāo)售量的增量，有令，得到滿足微分方程 (1)由這個(gè)方程解出： （2）（2）式的參數(shù)r和可以用表1-1數(shù)據(jù)估計(jì)。為了利用最小二乘法，將（2）式取對(duì)數(shù)，可得， （3）分別以1981年到1992年的數(shù)據(jù)和1981年到1993年的數(shù)據(jù)擬合（3）式，用matlab計(jì)算：t=0:11; x=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60 一八24.29 2199 2438.89;y=log(x); p=polyfit(t,y,1) r=p(1),x0=exp(p(

8、2) Y=polyval(p,t); X=exp(Y); p = 0.3435 4.4914r = 0.3435x0 = 89.2424得到r0.3435，89.2424t=0:12; x=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60 一八24.29 2199 2438.89 2737.71;y=log(x); p=polyfit(t,y,1) r=p(1),x0=exp(p(2) Y=polyval(p,t); X=exp(Y);得到r0.3205，97.1060結(jié)果分析：用上面得到的參數(shù)r和代入（3）式，將結(jié)果與實(shí)

9、際數(shù)據(jù)比較。X1是用1981年到1992年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，計(jì)算人口x2用的是全部數(shù)據(jù)的擬合的結(jié)果。表5-1年實(shí)際銷(xiāo)售量計(jì)算銷(xiāo)售量x1計(jì)算銷(xiāo)售量想198143.6589.242497.10601982109.86125.8205一三3.79421983一八7.21177.3910一八4.34391984312.67250.0989253.99211985496.58352.6078349.95451986707.65497.一三2348225700.8937664.346019881238.75988.17一五9一五.34691989一五60.00一三93.21261

10、.21990一八24.29196421737.719912199.00276932394.219922438.89390443298.819932737.71550474545根據(jù)表5-1的數(shù)據(jù)，用matlab制作指數(shù)增長(zhǎng)型擬合圖形，圖5-1.1表示用1981年到1992年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果圖，圖5-1.2表示用全部數(shù)據(jù)（1981年到1993年）擬合的結(jié)果。圖5-1.1、圖5-1.2中曲線是計(jì)算結(jié)果，“*”表示實(shí)際數(shù)據(jù)。圖表 5-1.2圖表 5-1.2通過(guò)以上數(shù)據(jù)及圖表，明顯地，對(duì)于高壓鍋的銷(xiāo)售量的分析指數(shù)模型并不適用，其原因是高壓鍋的銷(xiāo)售是受市場(chǎng)的影響的，人的消費(fèi)觀念不會(huì)一成不變，購(gòu)買(mǎi)欲是不隨

11、時(shí)間穩(wěn)定變化的，由此可見(jiàn)，高壓鍋的銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)律是不變的假設(shè)不成立。需重新建立模型分析。2.高壓鍋銷(xiāo)售線性模型的假設(shè)由圖表3-1，假設(shè)y和t滿足線性關(guān)系，所以建立線性模型，設(shè)利用最小二乘法確定的具體值，并根據(jù)的值擬合高壓鍋的銷(xiāo)售情況，與原數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。MATLAB的程序?qū)崿F(xiàn)如下：y=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60.00 一八24.29 2199.00 2438.89 2737.71;t=0:12;p=polyfit(t,y,1);yy=polyval(p,t,1) plot(t,y,*,t,yy)畫(huà)出原數(shù)

12、據(jù)與擬合曲線，如圖5-2圖5-2線性模型的誤差分析預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：.模型分析從圖形及標(biāo)準(zhǔn)誤差可以看出，線性模型雖然簡(jiǎn)單，但誤差太大。并且當(dāng)時(shí)，而高壓鍋銷(xiāo)售量是有限的，也就是說(shuō)高壓鍋的銷(xiāo)售量是一個(gè)有限的數(shù)，不可能是一個(gè)無(wú)限大的。所以，用線性模型不能完全反映高壓鍋的銷(xiāo)售情況。必須尋找一個(gè)更好的模型去分析高壓鍋的銷(xiāo)售情況。3.建立高壓鍋logistic模型由于高壓鍋在進(jìn)入市場(chǎng)初期沒(méi)有太多人家了解或清楚高壓鍋，致使人們對(duì)高壓鍋的購(gòu)買(mǎi)數(shù)量不大，所以此時(shí)高壓鍋銷(xiāo)售數(shù)量的增長(zhǎng)率??；隨著時(shí)間的推移，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到使用高壓鍋的好處，高壓鍋的銷(xiāo)售量增長(zhǎng)率也逐漸提高；之后越來(lái)越多的人家都有高壓鍋了，而高壓鍋的經(jīng)久

13、耐用決定了高壓鍋銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)率會(huì)逐漸減少；到最后該地區(qū)基本上所有人家都有高壓鍋了，高壓鍋的銷(xiāo)售數(shù)量將趨于一個(gè)定值，即L，此時(shí)銷(xiāo)售數(shù)量的增長(zhǎng)率將趨于0.所以，綜上所述，高壓鍋的銷(xiāo)售情況滿足Logistic模型。設(shè)高壓鍋的銷(xiāo)售數(shù)量的增長(zhǎng)率為 r（t），高壓鍋的銷(xiāo)售量的上限為L(zhǎng) ， 銷(xiāo)售量為 y（t）則有 ： . （2-1）. （2-2）建立模型. (2-3) 模型分析 當(dāng)L與y(t)相比很大時(shí)，與ry相比可以忽略不計(jì)，Logistic模型可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)模型；而當(dāng)L與y相比不是很大時(shí)，就不能忽略，其作用是使高壓鍋的銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)速度減緩下來(lái)。用Matlab對(duì)一階常微分方程模型做分析，程序如下：y=43

14、.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60.00 一八24.29 2199.00 2438.89 2737.71;t=0:12;y0=43.65;tt,yy=ode45(xLogistic,t,y0); plot(t,y,*,tt,yy); 作圖結(jié)果，如圖5-3圖5-3對(duì)線性化Logistic增長(zhǎng)模型并做非線性回歸線性化Logistic增長(zhǎng)曲線模型Logistic增長(zhǎng)曲線模型為. (3-1)兩邊同時(shí)取倒數(shù)得 ，整理得. (3-2)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得 . (3-3)令，.即可得到一個(gè)線性關(guān)系式：. (3-4)所以Logist

15、ic增長(zhǎng)曲線模型能線性化。用Matlab對(duì)Logistic模型做非線性回歸Matlab程序如下：y=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60.00 一八24.29 2199.00 2438.89 2737.71;t=0:12;L=3000; y1=log(L./y-1); p=polyfit(t,y1,1);k=-p(1);a=exp(p(2);yy=L./(1+a*exp(-k*t);plot(t,y,*,t,yy);擬合Logistic模型，畫(huà)出擬合圖形，如圖5-4圖5-44擬合Gompertz模型線性化Gom

16、pertz模型Gompertz增長(zhǎng)曲線模型為. (4-1)兩邊同時(shí)除以 L 得. (4-2)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù) 得. (4-3)再兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得. (4-4)令，. 得線性關(guān)系式. (4-5)擬合Gompertz模型用Matlab擬合Gompertz模型 Matlab程序如下y=43.65 109.86 一八7.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 一五60.00 一八24.29 2199.00 2438.89 2737.71;t=0:12;L=3000; y1=log(log(y/L);a=polyfit(t,y1,1);b=-exp(a(2);k=-a

17、(1);yy=L*exp(-b*exp(-k*t);plot(t,y,*,t,yy); 畫(huà)出Gompertz模型并與原數(shù)據(jù)比較，作圖如圖5-5圖5-5六綜合評(píng)價(jià)與結(jié)論兩模型相同之處Logistic增長(zhǎng)曲線模型，俗稱(chēng)“S曲線”，由Verhulst于一八45年提出，當(dāng)時(shí)主要目的是模擬人口的增長(zhǎng)。其一般形式為. (5-1)也稱(chēng)狹義的邏輯增長(zhǎng)曲線模型。增長(zhǎng)曲線有兩個(gè)重要特征。一是y隨著t的增加直至+而趨向于K，K即是Y的飽和值；反過(guò)來(lái)，當(dāng)t-時(shí)，y0。二是增長(zhǎng)曲線具有一個(gè)拐點(diǎn)，在拐點(diǎn)之前，y的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；在拐點(diǎn)之后，y的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，逐漸趨近于0。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，許多指標(biāo)的增長(zhǎng)過(guò)程具有這兩

18、個(gè)特征。例如，一種新產(chǎn)品、新技術(shù)的普及率，一種耐用品的存量，它們的增長(zhǎng)過(guò)程都遵循邏輯增長(zhǎng)曲線模型。所以，邏輯增長(zhǎng)曲線模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中有廣泛的應(yīng)用，是一種重要的預(yù)測(cè)模型。Gompertz曲線用于描述這樣一類(lèi)現(xiàn)象：初期增長(zhǎng)緩慢，以后逐漸加快，當(dāng)達(dá)到一定程度后，增長(zhǎng)率又逐漸下降，最終接近一條水平線。Gompertz曲線通常用于描述事物的發(fā)展由萌芽、成長(zhǎng)到飽和的周期過(guò)程。在現(xiàn)實(shí)生活中有許多現(xiàn)象符合Gompertz曲線形式，如工業(yè)生產(chǎn)的增長(zhǎng)、產(chǎn)品的壽命周期和一定時(shí)期的人口增長(zhǎng)等。可見(jiàn)Gompertz增長(zhǎng)曲線與邏輯增長(zhǎng)曲線相似，只是二者的拐點(diǎn)的位置不同。分析兩種模型的拐點(diǎn)Logistic模型轉(zhuǎn)化為微分形式

19、是. (5-2)Gompertz模型轉(zhuǎn)化為微分形式是. (5-3)在Logistic模型中dy/dt是關(guān)于y的二次函數(shù)，很容易看出，當(dāng)y=L/2是增長(zhǎng)率最大，即是模型的拐點(diǎn)。利用Matlab作圖，去L=3000，很容易作出Logistic模型與Gompertz模型的拐點(diǎn)，估計(jì)處Gompertz模型的拐點(diǎn)在y=10一五.2處，如圖5-1圖6-1七參考文獻(xiàn)1姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2005，一三-216.2 中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型3數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)介及其給予MATLAB的實(shí)現(xiàn).遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系.2008年8月 DATE M.d.yyyy 9.15.2022 D