一種數(shù)學應用題問題情境仿真支持系統(tǒng)P4S研究報告

1、 一種數(shù)學應用題問題情境仿真支持系統(tǒng)P4S研究 余小鵬 趙亞 殷浩摘 要：理解問題情境是表征應用題的前提，然而中小學生普遍存在著忽視問題情境等問題。問題情境仿真有助于問題情境的理解，但當前仿真技術難度較大。文章提出一種面向數(shù)學應用題的問題情境仿真支持系統(tǒng)P4S，以圖形化方式支持教師對問題情境進行個性化仿真創(chuàng)設，支持學生參與、重構問題情境，并通過分析學生重構問題情境的行為數(shù)據(jù)，構建其題意理解能力模型。P4S能有效支持廣大師生對數(shù)學應用題問題情境進行個性化仿真或重構，非常有利于學生對問題情境的理解。Key：應用題;問題情境;個性化仿真;情境重構：C931.6 文獻標志碼：A ：1673-8454（

2、2020）01-0041-05一、引言數(shù)學應用題是聯(lián)系數(shù)學理論與實際的橋梁，在整個中小學素質教育中占據(jù)著重要地位。新課程理念下“應用題”教學更側重于學生的問題意識和應用能力的培養(yǎng)。數(shù)學應用題解題包括表征和解決（執(zhí)行）兩個過程，表征是解決的前提，問題情境理解是表征的前提。但在問題情境理解方面，廣大中小學生普遍存在著忽視問題情境、缺乏數(shù)學思考等問題，絕大多數(shù)小學生的學習更依賴由直觀觀察所獲得的具體化經(jīng)驗和理解。根據(jù)構建主義等理論，問題情境仿真能從根本上支持理解問題情境，有利于教師的“教”，有利于學生的“學”。然而對于廣大中小學師生而言，當前仿真技術還存在著難度較大等情況。二、提出問題當前國內(nèi)外針對

3、數(shù)學領域動態(tài)仿真方面的研究很多。這些研究主要是圍繞一定的問題，采用一定的技術（例如VRML、Flash、Java、C+等），或者基于一定的軟件工具（MatLab），從3D、虛擬/增強實現(xiàn)、可視化、動畫和游戲等方面展開研究，在一定程度上有利于學生對問題情境的理解。很明顯，對于廣大中小學師生而言，掌握這些技術的難度較大。Scratch是圖形化編程的代表，但其編程模塊沒有語義信息且數(shù)量多、尺寸小，沒有明顯的多場景概念，需要復雜的編程模塊組合才能實現(xiàn)類似場景轉換的效果。同時，當前研究不支持對任意數(shù)學題中的問題情境進行仿真，只能對被作為研究對象的、特定數(shù)學題的問題情境進行仿真處理。這肯定不能滿足廣大師生

4、的個性化需求。其實，只有支持對任意題的問題情境進行可視化處理，相關技術研究才有普適性，才更有意義。當前一些研究成果與教育認知工具還不能有效支持用戶個性化仿真創(chuàng)設，用戶必須在工具提供的、固定的操作模式下進行處理。其實問題情境的理解是用戶的內(nèi)部表征，具有非常明顯的個性化特征。如果不能支持個性化仿真創(chuàng)設，就不能充分發(fā)揮學生“學”的主動性，不能真正體現(xiàn)學生的參與。基于上述問題，本文提出一種問題情境仿真支持系統(tǒng)（Problem Situation Simulation Support System，P4S），該系統(tǒng)支持師生對應用題問題情境進行個性化仿真、重構，以有利于教師對問題情境的可視化講解，以及學生

5、對問題情境的理解;并根據(jù)學生重構問題情境的行為數(shù)據(jù)構建學生題意理解模型，以有利于教師的個性化輔導。三、問題情境仿真支持系統(tǒng)1.相關定義數(shù)學應用題的問題情境包括其組成集合（Set）及其彼此之間的關系。集合往往用事物、數(shù)量、說明和角色四個“槽”（Slots）來表示。其實，可以用構件來表示集合，槽就是構件的屬性組成，其中“角色”槽所包含的開始、轉移、結果等圖式關系就是構件之間的情境關系。構件Component：構成問題情境的“集合”，其屬性為該集合相對應的槽。構件包括系列情境方法，這些方法執(zhí)行時修改屬性數(shù)據(jù)，并觸發(fā)重繪事件，實現(xiàn)問題情境動畫等可視化效果。構件分為簡單構件與復合構件兩種，后者由前者組成

6、。情境片段 （Situation Part，S_P）：構成問題情境的情境片段。S_Pi由構件及其彼此之間的情境方法S_Medthodi、執(zhí)行條件與終止條件conditionis，e、開始事件與結束事件eventis，e等組成，S_Pi=Component_Listi，S_Medthodi，conditionis，e，eventis，e。問題情境文件（Problem Stituation Description File，PS_File）：描述了數(shù)學應用題所在的問題情境，是系列情境片段S_P的集合，PS_File=S_P1，S_Pn。PS_File包括PS_File_T和PS_File_S兩種。

7、前者主要面向教師類用戶的問題情境創(chuàng)設，后者主要面向學生類用戶的問題情境重構。問題情境仿真支持系統(tǒng)P4S：一種以圖形化方式有效支持用戶定義問題情境的軟件工具，支持教師與學生仿真或重構系列情境片段S_Pi，并生成PS_File。P4S解釋PS_File，執(zhí)行單個情境片段S_Pi，或者串行執(zhí)行系列S_Pi，以動畫等可視化方式展示師生仿真問題情境的效果;通過診斷、分析學生重構問題情境的行為，構建其題意理解能力模型，以有利于教師對該學生的個性化輔導。P4S包括教師端和學生端。教師端的輸入為應用題題目，輸出為PS_File_T;學生端根據(jù)PS_File_T初始化仿真環(huán)境，支持學生類用戶參與、重構問題情境。

8、其工作示意圖如圖1所示。2.功能結構與關鍵模塊P4S提供了豐富的構件，以構件組裝的方式有效支持用戶仿真問題情境，使用戶不再陷入煩瑣的技術陷阱。其主要構成有仿真構件庫Component_DB、動畫庫Animation_DB、情境編輯模塊PS_Edit、情境仿真腳本語言xSSL#與PS_File、領域知識庫、學生題意理解能力模型構建模塊UP_SM等等。情境編輯模塊PS_Edit通過調用P4S核心部分，為用戶圖形化情境編輯提供支持。P4S功能結構如圖2所示。（1）仿真構件庫Component_DBComponent_DB是面向數(shù)學應用題領域的一系列仿真構件的集合，參考Mayer的8個族、47個類及其

9、變式，以及華師一附中光谷分校的動點與動角、鐘表問題等設計而成。例如：可從11類時間效率-行程問題、6類鐘表問題中提取出主要仿真構件“行程角色”（包括人、汽車、自行車等）、鐘表的“表盤”等。Componenti包括屬性、方法與事件，可描述為：Componenti=ID，Type，Arr_List，Method_List，Event_List，Description。其中Arr_List主要描述Componenti的屬性及屬性值，例如“行程角色”的屬性包括行程開始時間、方向（AB或者AB）、速度等，鐘表屬性包括表盤、刻度的顯示，秒針、分針與時針轉動的關系，以及初始轉動速度、初始時間等。Method

10、_List就是Componenti所應具備的方法列表，例如“行程角色”沿線段AB移動、鐘表時針與分針的轉動等。Event_List響應用戶鼠標鍵盤等交互信息，例如：鐘表初始時間設置時的按鈕點擊、屬性（“槽”）值的編輯等。（2）動畫庫Animation_DBAnimation_DB是實現(xiàn)問題情境中動畫等可視化效果的方法集，采用增量更新的方法設計，通過PS_Edit的調用，可以有效使對象“動”起來。動畫庫為不同構件所共享，因此在系統(tǒng)架構設計方面，動畫庫不能作為構件的方法集，而必須作為獨立的模塊供構件調用。Animation_DB的方法集主要包括：屬性之間常見圖式關系的實現(xiàn)，例如移入、移出、整體與部

11、分等。構件方法的實現(xiàn)，例如行程問題、動點等問題中“動點”沿一定軌跡的移動;鐘表問題、動角問題中“角”的旋轉及其“角度”的變化;邏輯坐標與物理坐標之間的映射等。其中動點“移動”的方法Point_Move需要計算移動距離Distance在Path上的映射、計算出動點新的坐標;參數(shù) Path為該動點移動的路徑，其類型包括垂線、水平線、斜線、折線、弧線等。Point_Move函數(shù)體偽代碼如表1所示。（3）xSSL#與PS_File文件xSSL#（xml-based Situation Simulation Language Sharp，xSSL#）是一種基于xml的情境仿真腳本語言，用“+、-、/”等

12、常規(guī)運算符、 id.屬性|方法等方式來描述環(huán)境參數(shù)、構件屬性，及構件之間的情境關系等。PS_File是由xSSL#語言描述的問題情境仿真文件，由PS_Edit自動生成，也可由用戶編寫，其屬性Type包含T和S兩種。PS_File_T主要包括Environment和Teacher兩部分;其中Environment描述了教師對畫布等全局構件、參數(shù)的設置，Teacher描述了教師對情境片段S_Pi的創(chuàng)設;PS_File_S在PS_File_T基礎上，增加節(jié)點Student，描述了學生對S_Pi的重構，其構成類似于Teacher。Teacher是學生重構問題情境的目標，以及評價學生重構問題情境質量的判

13、斷依據(jù)。（4）情境編輯模塊PS_EditPS_Edit主要支持用戶通過圖形化界面，對構件進行組裝，并調用封裝在構件庫中的構件函數(shù)，以及動畫庫中的“情境函數(shù)”，實現(xiàn)問題情境仿真編程。PS_Edit使用戶將注意力集中在問題情境描述上，而不被編程語言和算法所影響。該部分包括教師端PS_Edit_T和學生端PS_Edit_S。PS_Edit_T的輸入為應用題本身，輸出為PS_File_T。PS_Edit_S的輸入為PS_File_T，輸出為PS_File_S。PS_Edit工作示意圖如圖3所示。PS_Edit包括圖形化情境編輯、情境實現(xiàn)、學生重構行為診斷等。學生重構行為診斷模塊把PS_Edit_S中的

14、Student節(jié)點所描述的“源”情境與Teacher節(jié)點中相應的“目標”情境進行匹配，以對學生重構行為進行提示、檢錯與糾錯。情境實現(xiàn)部分主要解釋PS_File中各情境片段S_Pi，當滿足條件conditionis時，生成Component_Listi、執(zhí)行一次eventis，循環(huán)執(zhí)行S_Medthodi，修改相關構件屬性數(shù)據(jù)，并通知構件重繪以實現(xiàn)情境仿真效果;當滿足條件conditionie時，執(zhí)行eventie，并停止運行S_Pi。情境實現(xiàn)部分運行代碼如表2所示。圖形化情境編輯主要功能包括：全局參數(shù)的設置，例如畫布大小、時間與空間比例尺等。窗口管理，有工具欄窗口、屬性設置面板窗口、情境管理窗

15、口、仿真預覽窗口、仿真實現(xiàn)窗口，構件拖放、刪除、選擇等操作。構件屬性設置，通過智能屬性窗口等，識別、編輯不同構件的屬性值等。情境關系設置，設置構件屬性之間的圖式，例如移入、移出;行程問題、動點等問題中動點“動”的策略設置等。一個行程問題的PS_Edit界面如圖4所示，用戶可以從工具欄中選擇“動點”，在編輯區(qū)定義問題情境。（5）其它模塊領域知識庫（Domain_DB）根據(jù)數(shù)學應用題領域知識設計而成的數(shù)據(jù)庫，包括定義、公式等。例如距離與速度、時間的關系，分解因式、提取公因數(shù)、最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的算法規(guī)則等。學生題意理解能力模型構建模塊支持收集學生重構問題情境過程中的行為數(shù)據(jù)，并運用BNT-SM

16、、DINA等算法進行分析，構建UP_SM。輔助功能主要包括用戶行為數(shù)據(jù)的存取、PS_File的動態(tài)裝載與卸載等。前者由用戶以圖形化方式調用，以便利存取其重構問題情境的行為數(shù)據(jù)。后者通過在newDomain中動態(tài)加載PS_File，以實現(xiàn)情境仿真;通過卸載newDomain，以釋放相關資源，提高P4S性能。四、P4S的應用以如下行程問題為例：甲、乙二人在400米長的環(huán)形跑道上練習自行車，甲的速度比乙的速度快，當他們都從某處同時出發(fā)背向行駛時，每隔40秒鐘就相遇一次，同向行駛時，每隔6分40秒相遇一次，求甲、乙兩人騎車的速度。傳統(tǒng)的教學方式中教師往往以“口頭講解+繪制示意圖”的方式進行。而P4S系

17、統(tǒng)支持教師通過仿真動畫進行講解，仿真界面如圖5所示，整個PS_Edit過程分為兩個情境片段S_P1（同向而行）和S_P2（背向而行），教師設置各情境片段中仿真構件Componenti屬性值與彼此之間的情境關系，由系統(tǒng)生成PS_File_T文件。學生可以通過執(zhí)行PS_File_T來觀看問題情境動畫，同時可根據(jù)PS_File_T對問題情境進行重構。重構界面如圖5所示。本文以某小學10名教師以及五年級50名學生作為調查對象，采用問卷調查法測試其對該系統(tǒng)的接受程度。問卷共15道題，包括功能、操作便利性、使用效果等指標，主要從實用性、滿意度兩個方面展開，采用用來量化滿意狀態(tài)的5級量表即利克特量表進行分析

18、。問卷回收95份，回收率為95%，有效數(shù)為92份，有效率為96.8%。調查結果如表3所示，可以看出：實用性和滿意度的均值都接近4分且標準差偏低，說明師生一致認為該系統(tǒng)對學生理解題意是有幫助的，且愿意使用該系統(tǒng);同時，教師對其實用性和滿意度的均值比學生高，說明教師更接受該系統(tǒng)。該調查表明：師生對P4S接受程度整體偏高，認為該系統(tǒng)有利于學生理解題意。五、結論理解問題情境是解題的關鍵，然而對廣大中小學生來說，問題情境的理解是難以逾越的鴻溝。從仿真角度對問題情境展開研究，是輔助教師講解問題情境、學生理解問題情境的有效途徑。本文提出一種面向數(shù)學應用題的問題情境仿真支持系統(tǒng)P4S，支持廣大師生對問題情境進

19、行個性化仿真處理。應用表明該系統(tǒng)有利于廣大中小學學生更形象逼真地理解數(shù)學應用題問題情境與題意，進而有助于學生表征、解決應用題。Reference：1王慧琴.小學數(shù)學“解決問題”教學研究以應用題為例D.呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學，2009.2羅奇，唐劍嵐.數(shù)學問題表征與數(shù)學問題圖式J.數(shù)學教育學報，2013（2）：19-22.3Duncker K. On problem-solvingJ.Psychological Monographs， 1945，58（5）： （Whole No. 270）.4Mayer， R. E， Dillon R F & Stemberg R J （Eds.）. Cogn

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