變化率與導(dǎo)數(shù)-精講版課件

1、1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)1.1.1 變化率問(wèn)題問(wèn)題1 氣球膨脹率問(wèn)題2 高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度是引導(dǎo)：這一現(xiàn)象中，哪些量在改變？ 變量的變化情況？ 引入氣球平均膨脹率的概念當(dāng)空氣容量從增加時(shí)，半徑增加了 r(1)r(0)= 0.62 當(dāng)空氣容量從加時(shí)，半徑增加了 r()r()= 0. 探究活動(dòng) 氣球的平均膨脹率是一個(gè)特殊的情況，我們把這一思路延伸到函數(shù)上，歸納一下得出函數(shù)的平均變化率設(shè)某個(gè)變量 f 隨 x 的變化而變化，從 x 經(jīng)過(guò) x ，變量 f 的改變量為量 f 的平均變化率為平均速度反映了汽車(chē)在前10秒內(nèi)的快慢程度，為了了解汽車(chē)的性能，還需要知道汽車(chē)在某一時(shí)刻的速度瞬時(shí)速度2

2、 瞬時(shí)速度 平均速度的概念這段時(shí)間內(nèi)汽車(chē)的平均速度為 已知物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為ss(t)(表示位移，t 表示時(shí)間)，求物體在 t0 時(shí)刻的速度 如圖設(shè)該物體在時(shí)刻t0的位置是(t0)OA0，在時(shí)刻t0 +Dt 的位置是s(t0+Dt) OA1，則從 t0 到 t0 +Dt 這段時(shí)間內(nèi)，物體的 位移是 在時(shí)間段( t0+Dt) t0 = Dt 內(nèi)，物體的平均速度為: 要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng)，就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 s =s(t )，那么物體在時(shí)刻t 的瞬時(shí)速度v，就是物體在t 到 t+Dt 這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) Dt0 時(shí)平均速度的極限即 例 物體作自

3、由落體運(yùn)動(dòng)， 運(yùn)動(dòng)方程為： ，其中位移 單位是m ，時(shí)間單位是s ，g=9.8m/s2 求：(1) 物體在時(shí)間區(qū)間 2，2.1上的平均速度； (2) 物體在時(shí)間區(qū)間2，2.01上的平均速度； (3) 物體在t =2時(shí)的瞬時(shí)速度. (1) 將 Dt=0.1代入上式，得 (2) 將 Dt=0.01代入上式，得 平均速度 的極限為:( 3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)間間隔Dt 逐漸變小時(shí),平均速度 就越接近t0=2(s) 時(shí)的瞬時(shí)速度v=19.6(m/s) 即物體在時(shí)刻t0=2(s)的瞬時(shí)速度等于19.6(m/s). 要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng)，就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 s =s(t

4、)，那么物體在時(shí)刻t 的瞬時(shí)速度v，就是物體在t 到 t+Dt 這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) Dt0 時(shí)平均速度的極限即瞬時(shí)速度高臺(tái)跳水tt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049高臺(tái)跳水導(dǎo)數(shù)的概念一般地，函數(shù) y =f(x) 在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率是我們稱(chēng)它為函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記為 或，即導(dǎo)數(shù)的概念也可記作 若這個(gè)極限不存在，則稱(chēng)在點(diǎn)x0 處不可

5、導(dǎo)。 設(shè)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x=x0 的附近有定義，當(dāng)自變量 x 在 x0 處取得增量 x ( 點(diǎn) x0 +x 仍在該定義內(nèi)）時(shí)， 相應(yīng)地函數(shù) y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若y與x之比當(dāng) x0的極限存在，則稱(chēng)函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0 處可導(dǎo) ，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù) y = f(x)在點(diǎn) x0 處的導(dǎo)數(shù)， 記為 。即說(shuō)明：（1）函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限如果不存在極限，就說(shuō)函數(shù)在處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)點(diǎn)是自變量x在處的改變量，而是函數(shù)值的改變量，可以是零 （2）由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的增量:；（2）求平均變化率:；

6、（3）取極限，得導(dǎo)數(shù):例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第時(shí)，原油的溫度（單位：）為計(jì)算第2 h和第6 h，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義。例:高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中， 秒 時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度是 （單位： ），求運(yùn)動(dòng)員在 時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在 呢? 同理，運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為 ，上升下落這說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約 的速率 。你能借助函數(shù)的圖象說(shuō)說(shuō)平均變化率表示什么嗎？請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫(huà)出來(lái)割線AB的的變化情況在的過(guò)程中，請(qǐng)?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫(huà)出來(lái)你能描述一下嗎？3.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義Pxy0TPxyoT的切線方程為即 圓的切線

7、定義并不適用于一般的曲線。 通過(guò)逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點(diǎn)可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)P附近，曲線可以用在點(diǎn)P處的切線近似代替 。 大多數(shù)函數(shù)曲線就一小范圍來(lái)看，大致可看作直線，所以，某點(diǎn)附近的曲線可以用過(guò)此點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲” （以簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象） 1.在函數(shù) 的圖像上，(1)用圖形來(lái)體現(xiàn)導(dǎo)數(shù) ， 的幾何意義. (2)請(qǐng)描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在 附近呢？ (2)請(qǐng)描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在 附近呢？ 增（減

8、):增（減）快慢：=切線的斜率附近：瞬時(shí)變化率（正或負(fù)）即：瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）畫(huà)切線即：導(dǎo)數(shù)的絕多值的大小=切線斜率的絕對(duì)值的 大小切線的傾斜程度（陡峭程度）以簡(jiǎn)單對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象(2) 曲線在 時(shí)，切線平行于x軸，曲線在 附近比較平坦，幾乎沒(méi)有升降 曲線在 處切線 的斜率 0 在 附近，曲線 ，函數(shù)在 附近單調(diào)如圖，切線 的傾斜程度大于切線的傾斜程度， 大于上升遞增上升這說(shuō)明曲線在 附近比在附近 得迅速遞減下降小于下降 2如圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t)（單位：mg/ml）隨時(shí)間t（單位：min） 變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì) t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）時(shí)，血管中 藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格 的形式列出。(精確到0.1) 血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率,就是藥物濃度從圖象上看,它表示曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率.函數(shù)f(t)在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù),（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）以簡(jiǎn)單對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜的對(duì)象 抽象概括：是確定的數(shù)是的函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)的概念：t 0.2 0.4 0.60.8