7.系統(tǒng)函數(shù)與特性

1、第七章 系統(tǒng)函數(shù)7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性 系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布圖 系統(tǒng)函數(shù)H()與系統(tǒng)的因果性 系統(tǒng)函數(shù)與時域響應(yīng) 系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)一、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布圖LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式，即 A(.)=0的根p1，p2，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的極點；B(.)=0的根1，2，m稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的零點。 將零極點畫在復(fù)平面上得零、極點分布圖。 例例：已知H(s)的零、極點分布圖如圖示，并且h(0+)=2。求H(s)的表達(dá)式。解：由分布圖可得根據(jù)初值定理，有二、系統(tǒng)函數(shù)H()與系統(tǒng)的因果性 因果系統(tǒng)是指，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(.)不會出現(xiàn)于f(.)之前的系統(tǒng)。 連續(xù)因

2、果系統(tǒng)的充分必要條件是：沖激響應(yīng) h(t)=0,t0 離散因果系統(tǒng)的充分必要條件是：單位響應(yīng) h(k)=0, k0 三、系統(tǒng)函數(shù)H()與時域響應(yīng)h() 沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(.)的極點確定。 下面討論H(.)極點的位置與其時域響應(yīng)的函數(shù)形式。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1連續(xù)因果系統(tǒng) H(s)按其極點在s平面上的位置可分為:在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。 （1）在左半平面 若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實單極點p= (0)，則A(s)中有因子(s+)，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-t(t) (b) 若有一對共軛復(fù)極點p12=-j，則A(s)中有因子(s+)2+2 K e-tcos(t+)(t)

3、(c) 若有r重極點，則A(s)中有因子(s+)r或(s+)2+2r，其響應(yīng)為Kiti e-t(t)或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,1,2,r-1) 以上三種情況：當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于0。暫態(tài)分量。 （2）在虛軸上 (a)單極點p=0或p12=j，則響應(yīng)為K(t)或Kcos(t+)(t)-穩(wěn)態(tài)分量 (b) r重極點，相應(yīng)A(s)中有sr或(s2+2)r，其響應(yīng)函數(shù)為Kiti(t)或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)遞增函數(shù) （3）在右半開平面 ：均為遞增函數(shù)。 結(jié)論LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點確定。 H(s)在左半平面的極點所對應(yīng)的

4、響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于0。 H(s)在虛軸上的一階極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。 H(s)在虛軸上的高階極點或右半平面上的極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t時，響應(yīng)均趨于。 2離散因果系統(tǒng) H(z)按其極點在z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類。根據(jù)z平面與s平面的影射關(guān)系，得結(jié)論： H(z)在單位圓內(nèi)的極點所對應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。即當(dāng)k時，響應(yīng)均趨于0。 H(z)在單位圓上的一階極點所對應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 H(z)在單位圓上的高階極點或單位圓外的極點，其所對應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)k時，響應(yīng)均趨于。 四、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng) 1.

5、連續(xù)系統(tǒng) 若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域包含虛軸（對于因果系統(tǒng)， H(s)的極點均在左半平面） ，則系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系為 H(j)=H(s)|s= j 下面介紹兩種常見的系統(tǒng)。(1)全通函數(shù)(all-pass function) 若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)| H(j)|為常數(shù)，則稱為全通系統(tǒng)，其相應(yīng)的H(s)稱為全通函數(shù)。 凡極點位于左半開平面，零點位于右半開平面，并且所有零點與極點對于虛軸為一一鏡像對稱的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。 (2)最小相移函數(shù)(minimum phase/最小相位） 對于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)函數(shù)而言，右半開平面沒有零點的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。2. 離散系統(tǒng) 若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓 (對于因果系統(tǒng)， H(z)的極點均在單位圓內(nèi)) ，則系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系為 H(ej)=H(z)|z= ej ，式中=Ts，為角頻率，Ts為取樣周期。 舉例例：某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(1) 若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k);(2) 若系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k);(3) 若系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，求單位序列響應(yīng)h(k);解 (1) |z|3，h(k) =(-0.5)k