北京市海淀區(qū)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性針對(duì)訓(xùn)練（10月） 數(shù)學(xué)試卷含答案

北京市海淀區(qū)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期階段性針對(duì)訓(xùn)練（10月）數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共10小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．“”是“直線：與直線：互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．直線不過(guò)第二象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．7．如圖，在四面體A-BCD中，點(diǎn)O為底面△BCD的重心，P為AO的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）

A． B．C． D．8．已知直線過(guò)定點(diǎn)M，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．9．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”；四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在塹堵中，，且.其中正確的是（

）

①四棱錐為“陽(yáng)馬”②四面體為“鱉臑”③四棱錐體積的最大值為④過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則面A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④10．已知圓直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線分別與圓相切于點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．最短時(shí)，弦AB長(zhǎng)為C．最短時(shí)，弦AB直線方程為D．直線AB過(guò)定點(diǎn)二、填空題（本大題共8小題）11．已知空間向量、，若，則．12．動(dòng)直線與一點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線的方程為（填一般式）.13．已知圓的半徑為3，則的值為.14．已知空間三點(diǎn)，，.若空間中點(diǎn)滿足平面，則符合條件的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.15．過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為．16．如圖，正三棱柱中，AB＝2，，，D為BC的中點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線AD與直線所成的角的余弦值為．

17．已知圓C：，若直線上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的圓C的兩條切線夾角為，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是18．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為線段，交點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是.①當(dāng)時(shí)，平面；②當(dāng)時(shí)，平面；③線段的最小值為；④直線，所成角取值范圍為.三、解答題（本大題共4小題）19．已知圓過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與垂直，且與圓相交于兩點(diǎn)，求.20．如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn).(1)證明：.(2)求直線與平面所成角的正弦值.(3)求點(diǎn)到平面的距離.21．如圖，在四棱錐中，，，為等腰直角三角形，，平面交平面于直線，，分別為棱，的中點(diǎn).(1)求證：；(2)設(shè)，則：①求平面與平面夾角的正切值；②在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由.22．對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束．（1）試問(wèn)和經(jīng)過(guò)不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫出經(jīng)過(guò)“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；（2）求經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件；（3）證明：一定能經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束．

參考答案1．【答案】B【詳解】直線的斜率為，則由，知，即故選B．2．【答案】D【詳解】設(shè)，則，所以，解得：，，．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D3．【答案】D【詳解】因?yàn)榕c垂直，所以，即，所以.又，所以.故選：D.4．【答案】A【詳解】依題意，，解得或，所以“”是“直線：與直線：互相垂直”的充分不必要條件.故選：A5．【答案】C【解析】分、兩種情況討論，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若，可得，直線的方程為，該直線不過(guò)第二象限，合乎題意；若，可得，直線的斜截式方程為，若直線不過(guò)第二象限，則，解得.綜上所述，.故選：C.6．【答案】B【詳解】由圓，得，則圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．7．【答案】B【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由重心的性質(zhì)可知，，且三點(diǎn)共線.因?yàn)樗裕蔬x：B．

8．【答案】B【詳解】由得，所以直線l過(guò)定點(diǎn)，依題意可知的最小值就是點(diǎn)M到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得．故選:B.9．【答案】C【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，在塹堵中，，側(cè)棱平面，A選項(xiàng)，，又，且，則平面，四棱錐為“陽(yáng)馬”，故正確；B選項(xiàng)，由，即，又且，平面，，則為直角三角形，又由平面，得為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形，四面體為“鱉膈”，故B正確；C選項(xiàng)，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，最大值為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，，，平面，所以平面，故D正確；故選：C.10．【答案】B【詳解】對(duì)于A，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，即，最短時(shí)，面積最小，故當(dāng)時(shí)，最短，即，，故A錯(cuò)誤；由上述可知，時(shí)，最短，故最小，且最小值為，所以，故B正確；當(dāng)最短時(shí)，則，又，所以，，，可設(shè)的直線方程為，圓心到直線的距離，解得或，由于直線在圓心的右側(cè)，且在直線的左側(cè)，所以，所以，即直線的方程為，故C錯(cuò)誤；設(shè)圓上一點(diǎn)，，，，，，易知，由于，所以，同理，，，，即，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)為，故D錯(cuò)誤．故選：B．11．【答案】1【詳解】因?yàn)椤⑶?，所以，則，即，解得，所以.故答案為：12．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，故直線恒過(guò)定點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立方程解得直線恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)與定點(diǎn)構(gòu)成的直線與垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，此時(shí)必有，即，解得.則，解得，故直線的方程為：.故答案為：.13．【答案】【詳解】圓的一般方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓的半徑為可知，，得.故答案為：14．【答案】（答案不唯一）.【詳解】，，設(shè)平面的法向量為，則，.令，則，..設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.由題知，，即.點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，其中.令，則.故答案為：（答案不唯一）.15．【答案】或【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，可知點(diǎn)在圓外，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)且斜率不存在時(shí)，，顯然與圓相切；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，且斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，則，解得，故方程為；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.16．【答案】；.【詳解】

因?yàn)闉檎庵覟橹悬c(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B＝2，，則，則，所以，即，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又，時(shí)，，解得，此時(shí)，設(shè)直線AD與直線所成的角為，則，即直線AD與直線所成的角的余弦值為.故答案為：；17．【答案】或．【詳解】圓，則圓心為，半徑，設(shè)兩切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，在中，，所?因此只要直線上存在點(diǎn)，使得即可滿足題意．圓心，所以圓心到直線的距離，解得或．故答案為：或．

18．【答案】①③④【詳解】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，平面,不在平面內(nèi)，所以平面，①正確；取為中點(diǎn)，如圖以為軸建系，當(dāng)時(shí)，,假設(shè)平面，則,但是矛盾，所以假設(shè)不成立，②錯(cuò)誤；因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，所以，所以所以,當(dāng)時(shí)，,③正確；因?yàn)樗运栽O(shè)直線，所成角為，,令，當(dāng)，因?yàn)?，所以，即得，所?故答案為：①③④19．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意設(shè)圓心，又圓過(guò)點(diǎn)和，所以，解得，所以圓心，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線為，即，又圓心到直線的距離為，，所以.20．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槔庵比庵?，所以面，平面，所以平面平面，又平面平面，面，則平面，又平面，所以，在矩形中，，為的中點(diǎn)，所以，

所以，故，又，面，面，所以平面，又平面，所以；（2）取的中點(diǎn)，連接，由（1）及題意易知，，兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.由，，則，，，，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，又，，則即令，則.設(shè)直線與平面所成的角為，又，則，故直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知平面的一個(gè)法向量為，，，所以點(diǎn)到平面的距離為.21．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①4；②存在，【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面直線，所以（2）①取的中點(diǎn)，連接，，由題意可得：，且，則為平行四邊形，可得，且，，，平面平面，

則平面，由，平面，則，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，可得，，，兩兩垂直

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，，，，可得，，

設(shè)平面的法向量n=x,y,z，則，

令，則，，即，

由題意可知：平面的法向量，可得，

所以平面AEF與平面PAD所成銳二面角的余弦值，故正切值為4，②由①可得：，

設(shè)，，則，可得，解得，即，可得，

若平面AEF，則，可得，解得，所以存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí).22．【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【詳解】分析：（1）根據(jù)定義，可得不能結(jié)束，數(shù)列能結(jié)束，并可寫出數(shù)列；（2）經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件，先證明，則經(jīng)過(guò)一次“變換”，就得到數(shù)列，從而結(jié)束，再證明命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”，即可得解；（3）先證明引理：“將數(shù)的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中”，再分類討論：第一類是沒(méi)有為的項(xiàng)，或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰，（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知，，第二類是含有為的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)，證明第二類數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”，一定可以得到第一類數(shù)列.詳解：（1）數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．?dāng)?shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；．（2）解：經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．若，則經(jīng)過(guò)一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束．當(dāng)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”．當(dāng)時(shí)，數(shù)列．由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列．其它情形同理，得證．在數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束時(shí)，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列．所以，數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．（3）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中”．證明：記數(shù)列中最大項(xiàng)為，則．令，，其中．因?yàn)?，所以，故，證畢．現(xiàn)將數(shù)列分為兩類．第一類是沒(méi)有為的項(xiàng)，或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知，．第二類是含有為的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)．下面證明第二類數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”，一定可以得到第一類數(shù)列．不妨令數(shù)列的第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)最大()．（其它情形同理）①當(dāng)數(shù)列中只有一項(xiàng)為時(shí)，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列；若，則；此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列；若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列；若，則；；，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列．②當(dāng)數(shù)列中有兩項(xiàng)為時(shí)，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列；若()，則，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列．③當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí)，只能是，則，，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類數(shù)列．總之，第二類數(shù)列至多經(jīng)過(guò)次“變換”，就會(huì)得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項(xiàng)又開始減少．又