2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、第6頁(yè) 共6頁(yè)2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題考試時(shí)間 2013題 號(hào)一二三總 分156101112 1314得 分評(píng)卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1用圓珠筆或鋼筆作答；2解答書寫時(shí)不要超過(guò)裝訂線；3草稿紙不上交一、選擇題共5小題，每題7分，共35分.每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分1設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b，c，滿足eq blcrc (avs4alco1(a2b+3c0,2a3b+4c0)那么eq f(ab+bc+ca,a2+b2+c2)的值為Aeq f(1,2)B0 Ceq f(1,2)D12a，b，c

2、是實(shí)常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)非零實(shí)根x1，x2，那么以下關(guān)于x的一元二次方程中，以eq f(1,x12)，eq f(1,x22)為兩個(gè)實(shí)根的是Ac2x2+(b22ac)x+a2=0Bc2x2(b22ac)x+a2Cc2x2+(b22ac)xa2=0Dc2x2(b22ac)xa23如圖，在RtABC中，O是斜邊AB的中點(diǎn)，CDAB，垂足為D，DEOC，垂足為E，假設(shè)AD，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，那么線段OD，OE，DE，AC的長(zhǎng)度中，不一定是有理數(shù)的為AODBOECDEDAC4如圖，ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BC=4CF，D

3、CFE是平行四邊形，那么圖中陰影局部的面積為A3B4C6D85對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“*為：=eq f(3x3y+3x2y2+xy3+45,(x+1)3+(y+1)360)，且，那么的值為Aeq f(607,967)Beq f(1821,967)Ceq f(5463,967)Deq f(16389,967)二、填空題共5小題，每題7分，共35分6設(shè)a=，b是a2的小數(shù)局部，那么(b+2)3的值為_(kāi)7如圖，點(diǎn)D，E分別是ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)F，CDF，BFE，BCF的面積分別為3，4，5，那么四邊形AEFD的面積是_8正整數(shù)a，b，c滿足a+b22c2=0，

4、3a28b+c=0，那么abc的最大值為9實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c，d，那么所有滿足條件的數(shù)組a，b，c，d為_(kāi)ABCED第7題)ABCFDE第4題)10小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元ABCED第7題)ABCFDE第4題)AABCODE第3題)三、解答題共4題，每題20分，共80分11如圖，拋物線y=ax2+bx3，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3OA，直線y=eq f(1,3)x2+1與軸交于點(diǎn)D，求DBCCBEAADBCOyxE12設(shè)AB

5、C的外心，垂心分別為O，H，假設(shè)B，C，H，O共圓，對(duì)于所有的ABC，求BAC所有可能的度數(shù)13設(shè)a，b，c是素?cái)?shù)，記x=b+ca，y=c+ab，z=a+bc，當(dāng)z2=y，eq r(x)eq r(y)=2時(shí)，能否構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)？證明你的結(jié)論14如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1，a2，an，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，在a1，a2，an中都至少有一個(gè)為的魔術(shù)數(shù)2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題1【答案】A

6、 【解答】由得，故于是，所以2【答案】B 【解答】由于是關(guān)于的一元二次方程，那么因?yàn)?，且，所以，且，于是根?jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以，為兩個(gè)實(shí)根的一元二次方程是，即第3題3【答案】D第3題 【解答】第3題答題因AD，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，所以，OAOBOC是有理數(shù)于是，ODOAAD第3題答題由RtDOERtCOD，知，都是有理數(shù)，而AC不一定是有理數(shù)第4題4【答案】C第4題 【解答】因?yàn)镈CFE是平行四邊形，所以DE/CF，且EF/DC第4題答題連接CE，因?yàn)镈E/CF，即DE/BF，所以SDEB=第4題答題因此原來(lái)陰影局部的面積等于ACE的面積連接AF，因?yàn)镋F/CD，即EF/AC，所以

7、SACE = SACF因?yàn)椋許ABC=4SACF故陰影局部的面積為65【答案】C 【解答】設(shè)，那么，于是二、填空題6【答案】 【解答】由于，故，因此7【答案】 【解答】如圖，連接AF，那么有：第7題第7題答題，解得，所以，四邊形AEFD的面積是8【答案】 【解答】由，消去c，并整理得由a為正整數(shù)及66，可得1a3假設(shè)，那么，無(wú)正整數(shù)解；假設(shè)，那么，無(wú)正整數(shù)解；假設(shè)，那么，于是可解得，= 1 * romani假設(shè)，那么，從而可得；= 2 * romanii假設(shè)，那么，從而可得綜上知的最大值為9 【答案】，為任意實(shí)數(shù)【解答】由韋達(dá)定理得由上式，可知假設(shè)，那么，進(jìn)而假設(shè)，那么，有為任意實(shí)數(shù)經(jīng)檢驗(yàn)

8、，數(shù)組與為任意實(shí)數(shù)滿足條件10【答案】207 【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，那么所以，于是是整數(shù)又，所以，故y的最小值為207，此時(shí)三、解答題第11題11如圖，拋物線，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OBOC3OA直線與軸交于點(diǎn)D第11題求DBCCBE【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直線過(guò)點(diǎn)B第11題答題將點(diǎn)C(0，)的坐標(biāo)代入，得第11題答題拋物線的頂點(diǎn)為(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE因?yàn)锽C2CE2BE2，所以，BCE為直角三角形，因此tan=又tanDBO=，那么DBO所以，12設(shè)的外心

9、，垂心分別為，假設(shè)共圓，對(duì)于所有的，求所有可能的度數(shù)【解答】分三種情況討論= 1 * romani假設(shè)為銳角三角形因?yàn)?，所以由，可得，于是第?2題答題 = 2 * roman ii第第12題答題 = 1 * roman i= 2 * romanii假設(shè)為鈍角三角形當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由，可得，于是。?dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，因?yàn)?，所以由，可得，于? 3 * romaniii假設(shè)為直角三角形當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，此時(shí)點(diǎn)B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及13設(shè)，是素?cái)?shù)，記，當(dāng)時(shí)，能否構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)？證明你的結(jié)論【解答】不能依題意，得因?yàn)椋杂钟捎跒檎麛?shù)，為素?cái)?shù)，所以或，當(dāng)時(shí)，進(jìn)而，與，是素?cái)?shù)矛盾；當(dāng)時(shí)，所以，不能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)14如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，在中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù)【解答】假設(shè)n6，取1，2，7，根據(jù)抽屜原理知